一類雙色代數的構造

王　涵，那惠欣，張慶成

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

一類雙色代數的構造

王涵，那惠欣，張慶成

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

[摘要]引入了Novikov色代數和Gel’fand-Dorfman雙色代數的概念，構造了三類Gel’fand-Dorfman雙色代數.

[關鍵詞]李代數；Novikov色代數；Gel’fand-Dorfman雙色代數

李色代數是李代數和李超代數的自然推廣，近年來逐漸成為數學家和物理學家感興趣的課題并得到了許多研究成果.[1-11]共形超代數在弦理論和共形場理論中起著基本作用，文獻[12-15]系統地研究了共形超代數，得到其結構、分類和表示的一系列成果.文獻[13]研究了二次共形超代數的分類，并證明了二次共形超代數和超Gel’fand-Dorfman雙代數是等價的，同時指出這類代數的徹底分類仍是一個挑戰.受文獻[15]的啟發，我們把二次共形超代數推廣到更一般的情形，在一般情形下給出了Novikov色代數和Gel’fand-Dorfman雙色代數的概念，構造了三類Gel’fand-Dorfman雙色代數，有助于我們了解這類代數的結構.

1Novikov色代數

設f是一個域，g是一個交換群，映射ε:g×g→f被稱為g上的反對稱特征標，如果下列條件成立：

ε(f，g+h)=ε(f，g)ε(f，h)，f，g，h∈g；

(1)

ε(g+h，f)=ε(g，f)ε(h，f)，f，g，h∈g；

(2)

ε(g，h)ε(h，g)=1，g，h∈g.

(3)

不難得到，對任意的g∈g，ε(g，g)=±1，可以把g分解成兩個子集合：

g+={g∈g|ε(g，g)=1}；

g-={g∈g|ε(g，g)=-1}.

顯然g+是g的一個子群.當g被定義了反對稱特征標時，一個g-階化代數(或者一個g-階化向量空間)被稱為一個色代數(或者色向量空間).本文涉及的理想，子空間，子模都是色的.

[u，v]=-ε(u，v)[v，u]，

(4)

ε(w，u)[u，[v，w]]+ε(u，v)[v，[w，u]]+ε(v，w)[w，[u，v]]=0.

(5)

其中所有的元素都是齊次的，并且u，v，w∈L，ξ，η∈g.特別地，g={1，g}?Z2和ε(g，g)=-1給出了一個通常的李超代數.

(u°v)°w=ε(v，w)(u°w)°v，

(6)

(u，v，w)=ε(u，v)(v，u，w).

(7)

其中(u，v，w)=(u°v)°w-u°(v°w)，u，v，w∈A，ξ，η∈g.

例1.1如果g={0}，即ε(0，0)=1，則每一個Novikov代數都是Novikov色代數.

例1.3設A是一個色交換代數，滿足

u°v=ε(u，v)v°u.

則A是一個Novikov色代數.

定義1.2設A是一個Novikov色代數，h是A的一個g-階化向量空間，滿足

其中g∈g.

(1)如果對所有的x∈A，y∈h，我們有x°y∈h，y°x∈h，則稱h為A的一個Novikov色子代數.

(2)如果h°A?h，A°h?h，則稱h為A的一個Novikov色理想.

定義1.3設A是Novikov色代數，?∈(EndA)η，η∈g.如果?(Aξ)?Aξ+η，且

?(u°v)=?(u)°v+ε(u，v)u°?(v)，ε，η∈g，

則?被稱為次數為η的色導子；如果η∈g+，則稱?是一個偶導子；如果η∈g-，我們稱η為奇導子.

對于Novikov色代數(A，°)，我們在A上定義運算[·，·]：

[A，b]=A°b-ε(A，b)b°A，A，b∈A.

(8)

2Gel’fand-Dorfman雙色代數

[w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u-w°[u，v]=0，u，v，w∈A.

(9)

定理2.1設(A，°)是一個Novikov色代數.則(A，[·，·]，°)(見(8)式)是一個Gel’fand-Dorfman雙色代數.

證明不難驗證(A，[·，·]，°)是一個李色代數.對u，v，w∈A，利用(6)─(7)式有

[w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+

[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u-w°[u，v]=

(w°u)°v-ε(u+w，v)v°(w°u)-ε(u，v)(w°v)°u+

ε(w，u)u°(w°v)+(w°u)°v-

ε(w，u)(u°w)°v-ε(u，v)(w°v)°u+

ε(u+w，v)(v°w)°u-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

-ε(u+w，v)v°(w°u)+ε(w，u)u°(w°v)-ε(w，u)(u°w)°v+

ε(u+w，v)(v°w)°u+ε(u，v)w°(v°u)-w°(u°v)=

ε(u+w，v)((v°w)°u-v°(w°u))-

ε(w，u)((u°w)°v-u°(w°v))-

w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u+w，v)(v，w，u)-ε(w，u)(u，w，v)-

w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u，v)(w，v，u)-(w，u，v)-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=

ε(u，v)(w°v)°u-ε(u，v)w°(v°u)-(w°u)°v+

w°(u°v)-w°(u°v)+ε(u，v)w°(v°u)=0，

從而(9)式成立.

設A是一個色交換結合代數.用w(A)表示A的導子代數的集合，在w(A)上定義括積[·，·]為

[?1，?2]=?1?2-ε(?1，?2)?2?1，

(10)

(ad)(v)=ad(v)(A，v∈A，d∈w(A))

(11)

構成一個左A-模.

令N=w(A)?A，在N上定義代數運算[·，·]，“°”如下:

[d1+ξ1，d2+ξ2]=[d1，d2]+d1(ξ2)-ε(d1，d2)d2(ξ1)，

(12)

(d1+ξ1)°(d2+ξ2)=ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2，

(13)

其中d1+ξ1，d2+ξ2∈N.

定理2.2代數(N，[·，·]，°)是一個Gel’fand-Dorfman雙色代數.

證明不難驗證(N，[·，·]，°)是一個李色代數.設di+ξi∈N，i=1，2，3，有

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)=(ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2)°(d3+ξ3)=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1+ξ1ξ2ξ3，

(14)

ε(d2，d3)((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)=

ε(d2，d3)(ε(d1，d3)ξ3d1+ξ1ξ3)(d2+ξ2)=

ε(d2，d3)(ε(d1，d3)ε(d1+d3，d2)ξ2ξ3d1+ξ1ξ3ξ2)=

ε(d1+d2，d3)ε(d1+d3，d2)ε(d2，d3)ξ3ξ2d1+ε(d2，d3)ξ1ξ3ξ2=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1+ξ1ξ2ξ3.

(15)

上面兩個表達式意味著結合性

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)=

ε(d2+d3)((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)，

(16)

而且有

((d1+ξ1)°(d2+ξ2))°(d3+ξ3)-(d1+ξ1)°((d2+ξ2)°(d3+ξ3))=

(ε(d1，d2)ξ2d1+ξ1ξ2)°(d3+ξ3)-(d1+ξ1)°(ε(d2，d3)ξ3d2+ξ2ξ3)=

ε(d1，d2)ε(d1+d2，d3)ξ3ξ2d1)-ε(d2，d3)ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1(1-ε(d2，d3))，

(17)

ε(d2，d3)[((d1+ξ1)°(d3+ξ3))°(d2+ξ2)-(d1+ξ1)°((d3+ξ3)°(d2+ξ2))]=

ε(d2，d3)ε(d1，d3)ε(d1+d3，d2)ξ2ξ3d1-ε(d2，d3)ε(d1，d2+d3)ε(d3，d2)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1-ε(d1，d2+d3)ε(d2，d3)ξ2ξ3d1=

ε(d1，d2+d3)ξ2ξ3d1(1-ε(d2，d3)).

(18)

(17)─(18)式證明了(7)式中的第二個等式成立，因此(N，°)是一個Novikov色代數.

下面我們驗證相容性條件成立.

[(d3+ξ3)°(d1+ξ1)，d2+ξ2]-

ε(d1，d2)°[(d3+ξ3)°(d2+ξ2)，d1+ξ1]+

[d3+ξ3，d1+ξ1]°(d2+ξ2)-

ε(d1，d2)[d3+ξ3，d2+ξ2]°(d1+ξ1)-

(d3+ξ3)°[d1+ξ1，d2+ξ2]=

[ε(d1，d3)ξ3d3+ξ3ξ1，d2+ξ2]-

ε(d1，d2)°[ε(d2，d3)ξ2d3+ξ3ξ2，d1+ξ1]+

([d3，d1]+d3(ξ1)-ε(d1，d3)d1(ξ3))°(d2+ξ2)-

ε(d1，d2)°([d3，d2]+d3(ξ2)-ε(d2，d3)d2(ξ3))°(d1+ξ1)-

(d3+ξ3)°([d1，d2]+d1(ξ2)-ε(d1，d2)d2(ξ1))=

ε(d1，d3)ξ1[d3，d2]-ε(d1，d3)(d2，d1+d3)d2(ξ1)d3+

ε(d1，d3)ξ1d3(ξ2)-ε(d2，d1+d3)d2(ξ3ξ1)-

ε(d2，d1+d3)ξ2[d3，d1]+ε(d3，d1+d2)d1(ξ2)d3-

ε(d2，d1+d3)ξ2d2(ξ1)+ε(d1，d3)d1(ξ3ξ2)+

ε(d2，d1+d3)ξ2[d3，d1]+(d3(ξ1)-ε(d1，d3)d1(ξ3))ξ2-

ε(d1，d3)ξ1[d3，d2]-ε(d1，d2)(d3(ξ2)-ε(d2，d3)d2(ξ3))ξ1-

ε(d3，d1+d2)d1(ξ2)d3+ε(d1，d3)ε(d2，d1+d3)d2(ξ1)d3-

ξ3d1(ξ2)+ε(d1，d3)ξ3d2(ξ1)=0.

定義2.2一個李Poisson色代數A是一個g-階化向量空間有兩種代數運算°和[·，·]，使得(A，°)是一個色交換結合代數，(A，[·，·])是一個李色代數，并滿足相容性條件

[u，v·w]=[u，v]·w+ε(u，v)v·[u，w]，u，v，w∈A.

(19)

設(A，[·，·])是一個Poisson色代數，w(A)是A的導子空間.假設d∈w(A)0滿足

d[u，v]=[d(u)，v]+[u，d(v)]+ξ[u，v]，u，v∈A，

(20)

其中ξ∈f是一常數.現在我們在A上定義一個新的代數運算·如下:

u·v=u°d(v)+ξu°v，u，v∈A.

(21)

定理2.3代數(A，[·，·]，·)是一個Gel’fand-Dorfman雙色代數.

證明對于u，v，w∈A，有

(u·v)·w=(u°d(v)+ξu°v)·w=(u°d(v))·w+ξ(u°v)·w=

(u°d(v))°d(w)+ξ(u°d(v))°w+ξ(u°v)°d(w)+ξ2(u°v)°w，

ε(v，w)(u·w)·v=ε(v，w)(u°d(w)+ξu°v)·v=

ε(v，w)((u°d(w))°d(v)+ξ(u，d(w))°v+ξ(u°w)°d(v)+ξ2(u°w)°v=

(u°d(v))°d(w)+ξ(u，d(v))°w+ξ(u°v)°d(w)+ξ2(u°v)°w，

從而(6)式成立.可以類似證明(7)式的正確性，因此(A，·)是一個Novikov色代數.

進一步，對于u，v，w∈A，有

[w·u，v]-ε(u，v)[w·v，u]+

[w，u]·v-ε(u，v)[w，v]·u-w·[u，v]=

[w°(d+ξ)(u)，v]-ε(u，v)[w°(d+ξ)(v)，u]+

[w，u]°(d+ξ)(v)-ε(u，v)[w，v]°(d+ξ)(u)-w°(d+ξ)[u，v]=

[w°d(u)，v]-ε(u，v)[w°d(v)，u]+[w，u]°d(v)-

ε(u，v)[w，v]°d(u)+ξ([w°u，v]-ε(u，v)[w°v，u]+

[w，u]°v-ε(u，v)[w，v]°u)-w°([d(u)，v]+[u，d(v)]+2ξ[u，v])=0.

因此(A，[·，·]，·)是一個Gel’fand-Dorfman雙色代數.

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(責任編輯：李亞軍)

The structure of a kind of double color algebra

WANG Han，NA Hui-xin，ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun，130024，China)

Abstract:The concepts of Novikov color algebra and color Gel’fand-Dorfman double algebra are introduced.Meanwhile，three types of color Gel’fand-Dorfman double algebra are constructed.

Keywords:Lie algebra；Novikov color algebra；color Gel’fand-Dorfman double algebra

[文章編號]1000-1832(2016)02-0001-05

[收稿日期]2014-10-21

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11471090);吉林省自然科學基金資助項目(20130101068JC).

[作者簡介]王涵(1990—)，女，碩士，主要從事李理論研究；通訊作者:張慶成(1960—)，男，博士，教授，主要從事李理論研究.

[中圖分類號]O 152.5[學科代碼]110·2130

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.001