濾子與濾子圖

史艷維，姚　杰

(西安培華學(xué)院通識教育中心，陜西 西安 710125)

濾子與濾子圖

史艷維，姚杰

(西安培華學(xué)院通識教育中心，陜西 西安 710125)

[摘要]討論了有限集合上濾子與濾子圖的性質(zhì).證明了有限集合上的濾子都是主濾子，并得到其基數(shù)的計算公式；通過給出濾子的后繼定義了濾子圖，討論了濾子圖的性質(zhì)，進(jìn)而繪制出了濾子圖.

[關(guān)鍵詞]濾子；主濾子；后繼；濾子圖

1937年法國布爾巴津?qū)W派的創(chuàng)始人之一Carten在研究拓?fù)淇臻g中的Moore-Smith收斂理論時，提出了濾子的概念.作為網(wǎng)的概念的替代，濾子揭示了收斂理論中更加豐富的特征和屬性.一般說來，濾子是偏序集合的一類特殊子集，通常考慮的是某個集合的冪集在集合包含關(guān)系下所得偏序集合的一類特殊子集，濾子不僅在拓?fù)鋵W(xué)理論中得到充分發(fā)展，而且在模型理論、非標(biāo)準(zhǔn)分析理論、格論等數(shù)學(xué)其他分支中也得到了廣泛的應(yīng)用.[1-10]

本文主要討論了有限集合上濾子和濾子圖的性質(zhì)，這為濾子理論與圖論的結(jié)合發(fā)展提供了一種嘗試.首先，證明了有限集合上的濾子都是主濾子，并且得到其基數(shù)的計算公式；其次，通過給出濾子的后繼定義了濾子圖；最后，討論了濾子圖的性質(zhì)，進(jìn)而繪制出了濾子圖.

1有限集合上的濾子

定義1設(shè)x是非空集合，2x是x的冪集(即x的全體子集之族).F?2x，若F滿足以下條件：

(1)x∈F，??F；

(2)若A，b∈F，則A∩b∈F；

(3)若A∈F，且A?b∈2x，則b∈F.

那么稱F是x上的一個濾子，并記x上的全體濾子族為F(x).

例1對于任意的A∈2x，A≠?，令F(A)={b∈2x|A?b}，則F(A)是x上的一個濾子，這是因為:

(ⅰ)由于A∈2x，且A≠?，則顯然x∈F(A)，??F(A);

(ⅱ)若b，C∈F(A)，則A?b，A?C，于是A?b∩C，從而b∩C∈F(A);

(ⅲ)若b∈F(A)，且b?C，則A?b?C，于是C∈F(A).

稱此濾子為由A生成的主濾子，集合A稱為主濾子F(A)的生成集.

例2設(shè)x是無限集.令Fx={A∈2x|x-A是有限集}，容易驗證Fx是x上的一個濾子.顯然Fx不是x上的主濾子.

引理1設(shè)A，b∈2x.則A?b，當(dāng)且僅當(dāng)F(A)?F(b).進(jìn)而，A=b，當(dāng)且僅當(dāng)F(A)=F(b).

證明對于任意的f∈F(b)，f?b?A，于是f∈F(A).反之，因為b∈F(b)，而F(b)?F(A)，所以b∈F(A)，從而A?b.

可見，主濾子完全由生成集所決定.由例2可知，在無限集上存在非主濾子，但在有限集合上，這是不可能的.

定理1設(shè)x是有限集.則F∈F(x)，當(dāng)且僅當(dāng)存在A∈2x且A≠?，使得F=F(A).

證明充分性由例1可得，下證必要性.若F是x上的一個濾子，由于x是有限集，則F是2x的有限子集，于是∩F=∩{f∈2x|f∈F}∈F，從而∩F≠?，且對于任意的f∈F，∩F?f，即F=F(∩F).

2濾子圖

定義2設(shè)F(A)，F(xiàn)(b)∈F(x)，且滿足以下條件：

(2)對于任意的F(C)∈F(x)，F(xiàn)(A)F(C)F(b)不成立.

則稱F(b)是F(A)的后繼.

證明由定義2和引理1可得F(b)是F(A)的后繼，當(dāng)且僅當(dāng)F(A)F(b)且對于任意的F(C)∈F(x)，F(xiàn)(A)F(C)F(b)不成立，當(dāng)且僅當(dāng)Ab且對于任意的C∈2x，ACb不成立，當(dāng)且僅當(dāng)Ab且.

考慮有限集x上的濾子圖g=(v，f)，其中v=F(x)，映射f:v→2v為后繼映射，即對于任意的F(b)∈f(F(A))當(dāng)且僅當(dāng)F(b)是F(A)的后繼.

關(guān)于濾子圖，可以得到如下結(jié)論.

(1)g分為n層；

(4)第i(i=1，2，…，n-1)層中每個頂點的出度為n-i+1，第i(i=2，…，n)層中每個頂點入度為i-1.

證明(1)由定理2可知F(b)是F(A)的后繼，當(dāng)且僅當(dāng)Ab且=1，于是兩個濾子具有相同基數(shù)的生成集當(dāng)且僅當(dāng)它們在同一層，而=n，從而g分為n層；

推論2在濾子圖g=(v，f)中，F(xiàn)(A)∈F(x)是起點，當(dāng)且僅當(dāng)A=x；F(A)是終點，當(dāng)且僅當(dāng)A={x}(x∈x).換句話說，F(xiàn)∈F(x)是起點，當(dāng)且僅當(dāng)F是x上的最小濾子；F是終點，當(dāng)且僅當(dāng)F是x上的主超濾子.

結(jié)合定理3中濾子圖的性質(zhì)，可以畫出n=2，3，4，5，6時的濾子圖，見圖1—2.

圖1　n=2，3，4時的濾子圖

圖2　n=5，6時的濾子圖

[參考文獻(xiàn)]

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[10]李海洋.一般格論基礎(chǔ)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2012：34-41.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Filters and graph of filters

SHI Yan-wei，YAO Jie

(Center of General Courses，Xi’an Peihua University，Xi’an 710125，China)

Abstract:The properties of filters and graph of filters，on a finite set，are shown.Firstly，it is proved that all filters，on finite set，are principle，and the formula of its cardinal is obtained.Then，graph of filters is defined by follower of filter.At last，some properties of graph of filters are discussed，and some graph of filters are drawn.

Keywords:filter；principle filter；follower；graph of filters

[文章編號]1000-1832(2016)02-0011-03

[收稿日期]2015-04-02

[基金項目]陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2007A12)；陜西省教育廳科學(xué)研究項目(15JK2093)；西安培華學(xué)院校級科研課題(PHKT20150734).

[作者簡介]史艷維(1980—)，女，碩士，講師，主要從事非標(biāo)準(zhǔn)分析理論研究.

[中圖分類號]O 144[學(xué)科代碼]110·41

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.003