一類四維超混沌系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的新結(jié)果

尹社會(huì)，張　勇

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 南陽(yáng) 473000)

一類四維超混沌系統(tǒng)全局指數(shù)吸引集的新結(jié)果

尹社會(huì)，張勇

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 南陽(yáng) 473000)

[摘要]基于微分方程的基本理論和方法，采用理論分析和計(jì)算機(jī)模擬相結(jié)合的方式，利用微分方程比較定理研究了一類四維超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集.對(duì)于系統(tǒng)的不同參數(shù)，得到了該超混沌系統(tǒng)全局吸引集統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)得到了正半軌線的速率估計(jì).最后，用計(jì)算機(jī)模擬驗(yàn)證了計(jì)算理論的正確性.該研究結(jié)果為超混沌系統(tǒng)的混沌控制、混沌同步、吸引子維數(shù)的估計(jì)提供了理論依據(jù).

[關(guān)鍵詞]超混沌系統(tǒng)；全局指數(shù)吸引集；混沌同步；計(jì)算機(jī)仿真

0引言

混沌理論可以追溯到1900年龐加萊關(guān)于三體問(wèn)題的研究.混沌系統(tǒng)的發(fā)展大致可以分為4個(gè)階段[1]：第1階段從1900年至1974年，主要貢獻(xiàn)為三體問(wèn)題、KAM理論、蝴蝶效應(yīng)Lorenz混沌吸引子的發(fā)現(xiàn)、Henon映射的研究；第2階段從1975年至1989年，主要貢獻(xiàn)為L(zhǎng)ogistic人口模型的提出、混沌同步理論的提出、Chua電路的發(fā)現(xiàn)；第3階段從1990年至1999年，主要貢獻(xiàn)為混沌控制OGY方法的實(shí)現(xiàn)、混沌系統(tǒng)同步的實(shí)現(xiàn)、混沌保密通信的研究、混沌反控制的提出、Chen系統(tǒng)的提出；第4階段從2000年至今，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步研究與發(fā)展，從而推動(dòng)了混沌理論的發(fā)展，主要貢獻(xiàn)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究.

混沌系統(tǒng)有著對(duì)系統(tǒng)初值和系統(tǒng)參數(shù)的敏感依賴性.1963年，美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣層的熱對(duì)流問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了第1個(gè)混沌模型即Lorenz混沌系統(tǒng)；1999年，陳關(guān)榮等[2]提出了一類與Lorenz系統(tǒng)為對(duì)偶系統(tǒng)的Chen混沌系統(tǒng)；2002年，Lü等人[3]提出了一類處于Lorenz與Chen之間的過(guò)渡系統(tǒng)，即Lü混沌系統(tǒng)，同年Lü等人[4]提出了統(tǒng)一混沌系統(tǒng)模型；2007年，王興元[5]等提出了超混沌Lorenz系統(tǒng).人們不斷發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，并且揭示新的動(dòng)力學(xué)特性是動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要研究方向.混沌系統(tǒng)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、電路、混沌保密通信、圖像加密、控制理論、激光、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值[6-24].本文研究了一類新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，該結(jié)果將為超混沌系統(tǒng)的混沌控制、混沌同步、吸引子維數(shù)的估計(jì)提供理論依據(jù).

1動(dòng)力系統(tǒng)模型及其主要結(jié)果

一類新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力系統(tǒng)模型為[25]：

(1)

其中A，b，c，d，e，f，g，h均為系統(tǒng)(1)的正參數(shù).并且當(dāng)A=35，b=4，c=25，d=5，e=35，f=100，g=1，h=1 時(shí)，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)典型的超混沌吸引子[25].

當(dāng)A=35，b=4，c=25，d=5，e=35，f=100，g=1，h=1時(shí)，系統(tǒng)(1)軌線相圖見(jiàn)圖1.

圖1　系統(tǒng)(1)軌線的相圖

定理對(duì)于任意的A>0，b>0，c>0，d>0，e>0，f>0，g>0，h>0，令：

(2)

取上極限得

從而

為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.

證明定義

從而有

(3)

令t→+∞，取上極限得

從而

為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中

說(shuō)明：

圖2　系統(tǒng)(1)的正半軌線最終進(jìn)入橢球之內(nèi)

(1)本文得到系統(tǒng)(1)的最終界估計(jì)不僅比文獻(xiàn)[25]中的界估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確，而且給出了軌線的速率估計(jì).

(2)取參數(shù)A=35，b=4，c=25，d=5，e=35，f=100，g=1，h=1，由定理可知系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集為

系統(tǒng)(1)的正半軌線在xyw相空間中的最終界估計(jì)見(jiàn)圖2.

2結(jié)論

本文基于微分方程的理論與方法研究了一類超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集，得到了其統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式.該研究結(jié)果為系統(tǒng)電子振蕩電路的實(shí)現(xiàn)和通信工程設(shè)計(jì)等應(yīng)用提供了理論依據(jù).

[參考文獻(xiàn)]

[1]閆振亞.復(fù)雜非線性波的構(gòu)造性理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2002：15-17.

[2]CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7)：1465-1466.

[3]Lü J H，CHEN G R.A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and chaos，2002，12(3)：659-661.

[4]Lü J，CHEN G，CHENG D，et al.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(12)：2917-2926.

[5]WANG XINGYUAN，WANG MINGJUN.A hyperchaos generated from Lorenz system[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2008，387(14)：3751-3758.

[6]汪威，朱曉剛，李俊杰，等.Feigenbaum 吸引子的動(dòng)力性質(zhì)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(4)：48-51.

[7]梁春輝，張運(yùn)波，孟祥萍，等.自適應(yīng)反演控制在一類非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46 (4)：66-71.

[8]汪威，李健，朱曉剛，等.一類代換系統(tǒng)及其超空間系統(tǒng)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47(3)：9-11.

[9]SONG ZIGEN，ZHEN BIN，XU JIAN.Species coexistence and chaotic behavior induced by multiple delays in a food chain system[J].Ecological Complexity，2014，19：9-17.

[10]SONG ZIGEN，XU JIAN，LI QUNHONG.Local and global bifurcations in an SIRS epidemic model[J].Applied Mathematics and Computation，2009，214：534-547.

[11]SONG ZIGEN，XU JIAN.Stability switches and double Hopf bifurcation in a two-neural network system with multiple delays[J].Cognitive Neurodynamics，2013，7：505-521.

[12]SONG ZIGEN，XU JIAN.Stability switches and multi-stability coexistence in a delay-coupled neural oscillators system[J].Journal of Theoretical Biology，2012，313：98-114.

[13]WANG XINGYUAN，HE GUOXIANG.Cryptanalysis on a novel image encryption method based on total shuffling scheme[J].Optics Communications，2011，284(24)：5804-5807.

[14]趙國(guó)輝，舒永錄.一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的控制與自適應(yīng)同步[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，28(1)：1-7.

[15]何興，舒永錄，趙顯鋒.離散混沌系統(tǒng)的脈沖控制[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2010，27(5)：431-434.

[16]張勇，付木亮.高維混沌模型的動(dòng)力學(xué)分析及仿真[J].江西科學(xué)，2015，33(2)：160-161.

[17]袁紅，張付臣，李小武.關(guān)于 Hopf 分岔中向量函數(shù)泰勒公式中算子系數(shù)表示的評(píng)注[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，29(10)：6-10.

[18]湯志浩，張勇.幾類高維類 Lorenz 混沌模型的穩(wěn)定性分析及其仿真[J].江西科學(xué)，2015，33(4)：464-466.

[19]HE XING，YU JUNZHI，HUANG TINGWEN，et al.Neural networks for solving nash equilibrium problem in application of multiuser power control[J].Neural Networks，2014，57(9):73-78.

[20]HE XING，LI CHUANDONG，HUANG TINGWEN，et al.A recurrent neural network for solving bilevel linear programming problem[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2014，25(4)：824-830.

[21]LIU HONGJUN，WANG XINGYUAN.Color image encryption using spatial bit-level permutation and high-dimension chaotic system[J].Optics Communications，2011，284(16)：3895-3903.

[22]LEONOV G，KUZNETSOV N.Hidden attractors in dynamical systems.From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov，Aizerman，and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2013，23：1330002-1-1330002-69.

[23]ZHANG FUCHEN，SHU YONGLU，YANG HONGLIANG.Bounds for a new chaotic system and its application in chaos synchronization[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16(3)：1501-1508.

[24]ZHANG FUCHEN，SHU YONGLU，YANG HONGLIANG，et al.Estimating the ultimate bound and positively invariant set for a synchronous motor and its application in chaos synchronization[J].Chaos，Solitons & Fractals，2011，44(1)：137-144.

[25]張曉丹，崔麗娟.一類四維超混沌系統(tǒng)的界及同步的研究[J].物理學(xué)報(bào)，2011，60 (11)：1-7.

(責(zé)任編輯：石紹慶)

New results of globally exponentially attractive set for a class of hyperchaotic systems

YIN She-hui，ZHANG Yong

(Department of Basic Teaching，Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China)

Abstract:Based on the theory and the method of differential equations，this paper investigates complex dynamical behaviors of a new class of hyper-chaotic systems by theoretical analysis and matlab simulation combined method.The global attractive sets of this hyperchaotic system are obtained.In this paper，the unified mathematical expression of the global attractive sets of the system are obtained by the comparison theorem of differential equations.Finally，computer simulation verifies the correctness of the theoretical calculation.This article provides a theoretical basis for chaos control，chaos synchronization，the attractor dimension estimate of this system.This method can be extended to study other chaotic systems.

Keywords:hyperchaotic system；globally exponentially attractive set；chaos synchronization；computer simulation

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)02-0052-04

[收稿日期]2013-12-14

[基金項(xiàng)目]河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)項(xiàng)目(142300410416)；南陽(yáng)市科學(xué)技術(shù)發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2012GG035).

[作者簡(jiǎn)介]尹社會(huì)(1979—)，男，碩士，講師，主要從事物理、混沌控制等研究；通訊作者：張勇(1981—)，男，碩士，講師，主要從事數(shù)學(xué)理論研究.

[中圖分類號(hào)]O 241.84；O 29；O 242.1[學(xué)科代碼]110·61

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.013