我心中的一次函數

江蘇省江陰市利港中學八（7）班　王興標

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我心中的一次函數

江蘇省江陰市利港中學八（7）班王興標

函數的神奇和神秘之處，就在于和我們往常接觸的數學知識不同.

1.它不同于計算，工工整整，順理成章，簡單易懂；

2.它不同于幾何，有復雜多變的圖形.

函數是一個抽象化的概念，打個比喻，函數如同一張大網，為什么這么說呢？請看下題——設直線l1：y1=k1x+b1與l2：y2=k2x+ b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線.

（2）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式.

圖1

圖2

圖3

【解析】第一問不難，畫圖正確，很明顯可以發現①③是點C的直角線.此題主要難在第二問.首先要求直線l1與l2的解析式，就要先確定它的位置，如圖2所示，在圖中，可以發現有多個直角三角形，由此可以聯想到勾股定理，觀察圖形，要求點P的坐標，由于點P在線段OC上運動，所以點P位置不確定，我們不妨采用“未知設元”，即設OP=x，則很明顯CP=OC-OP=7-x，這里因為點A（3，0）、B（2，7），所以OA=3，BC=2，在Rt△OAP中，馬上想到勾股定理，可得AP2=OA2+OP2，所以AP2=9+x2，同理在Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2= 4+（7-x）2，題目中又已知l1與l2是點P的直角線，根據直角線的定義可以知道l1⊥l2，即AP⊥BP，馬上想到通過Rt△APB的三邊關系建立方程.這里還需要解決線段AB的長度，過點B作BD⊥AD，垂足為D（如圖3所作），得D（2，0），即OD=2，進而得出AD =AO -OD =1，BD =CO =7，AB =.在Rt△APB中，由AB2=AP2+BP2，可轉化為9+x2+4+（7-x）2=50.此方程最后化簡為2x2-14x+12=0，這里很容易卡住——一元二次方程怎么解？我們沒有學過啊！其實不然，還記得我們曾經學過的因式分解嗎？對于方程的左邊，我們進行十字相乘，得到（2x-2）（x-6）=0，故x=1或x=6.所以P（0，1）或（0，6）.當P點坐標為（0，1）時，直線l1的解析式為y=3x+1；直線l2的解析式為；當P點坐標為（0，6）時，直線l1的解析式為，直線l2的解析式為y=-2x+6.

解完此題后，思緒繼續前行：

此題如果改為求△ABP的周長是多少，則此題就要進行分類討論，當點P（0，1）時，可以求出△ABP的周長為，當P（0，6）時，△ABP的周長為.

回頭觀察已知條件：設直線l1：y1=k1x+ b1與l2：y2=k2x+b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線，發現k1·k2= -1，這里讓我聯想起直線l1：y1=k1x+b1與l2：y2=k2x+b2如果平行，那么k1=k2，真是有趣！

我之所以比喻函數如同一張大網，是因為它將各方面的數學知識連接、匯合.例如該題很好地說明了函數是數與形的結合，這一道題就覆蓋了“勾股定理”、“因式分解”、“未知設元”、“方程思想”、“分類討論”等等.函數的神秘與神奇之處就在這里，完美結合數與形、連結各方面數學知識點，這便是函數獨特的數學魅力所在.

劉老師點評：從小王同學這篇作品可以看出他鉆研的真實心路歷程.文中“聯想”“馬上想到”等詞點出了他的頓悟過程.數學思想方法在小作者的解題分析的心路歷程中得到完美的詮釋，像發現點P在運動時，OP的長度就采用“未知設元”，在直角三角形中，馬上聯想到勾股定理、方程思想.當出現了一元二次方程這個沒有學過的知識點時，小作者并沒有放棄，反而激發了斗志，馬上注意到方程左邊的式子可進行因式分解，這種探究精神值得表揚！這里特別值得一提的是，小作者具有較好的數學素養，具體體現在解完題后，能自己提出問題（雖然這個問題的含金量不高，但具備這樣的問題意識是值得稱贊的），第二個問題滲透著由特殊到一般、歸納類比等思想.

（指導教師：劉杰）