基于高斯偽譜法的飛機下降段軌跡優化

薛鵬飛, 劉小雄, 李創, 馬青原

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710072)

基于高斯偽譜法的飛機下降段軌跡優化

薛鵬飛, 劉小雄, 李創, 馬青原

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710072)

摘要:以大型運輸機為研究對象,進行風干擾下的飛機下降段軌跡優化。通過對飛機下降過程的分析,建立了飛機的運動學模型、油耗模型和大氣模型,得出了問題的目標函數和約束。運用高斯偽譜法把最優控制問題轉化為非線性規劃問題,并用序列二次規劃求解非線性規劃問題。仿真計算得到飛機最短下降時間的最優軌跡,討論了不同的成本指數對下降時間和燃油消耗的影響。仿真結果表明,成本指數越大,飛機下降時間越短,燃油消耗越多。

關鍵詞:最優控制; 序列二次規劃; 最優軌跡; 成本指數

0引言

軌跡優化技術作為未來飛機空中交通管理和飛行管理的核心技術,已得到越來越多的重視。軌跡優化有利于提高飛行器飛行品質，以滿足既定任務要求;軌跡優化技術的應用可以緩解機場交通的擁擠情況,降低飛行過程中的燃油消耗,提高經濟效益，并滿足人們的出行要求。

從早期的龐特里亞金最小值原理到新方法的出現,對飛行軌跡優化方法可歸納為兩大類:直接方法和間接方法。間接方法是以變分法和龐特里亞金原理為基礎,在飛機的運動方程和狀態變量等約束下,對性能指標函數求取極值。其優點是解的精度較高,最優解滿足一階最優性必要條件;缺點是推導最優解的過程比較復雜和繁瑣,求解兩點邊值問題時的收斂域小。近幾年,解決非線性最優控制問題的偽譜法發展迅速,它同時將控制變量和狀態變量在時間區間上進行離散,利用正交多項式對控制和狀態變量進行逼近,將軌跡優化問題轉化成了相應的參數優化問題。目前,求解參數優化問題的方法有很多,序列二次規劃(Sequential Quadratic Programming,SQP)法是求解參數優化問題最有效的方法,也是飛行器軌跡優化的主流優化算法[1]。偽譜法對數值迭代的初始值敏感性很低,收斂性非常好,已廣泛應用于解決無人機航跡規劃、導彈制導和航天器軌道機動等大量的最優控制問題,成為目前解決最優控制問題和軌跡最優化問題最有效的工具之一[2]。

本文以大型運輸機為研究對象,利用高斯偽譜法對飛機下降段進行軌跡優化,得到了飛機的最省燃油下降軌跡,并驗證了偽譜法的快速收斂性。

1問題描述

1.1飛機運動學模型

考慮飛機質量變化的三自由度運動學模型為:

(1)

式中:T,L,D分別為發動機的推力、升力和阻力;Ffuel為單位燃油消耗量[3];Wx為風場沿經度方向的分量;Wy為風場沿緯度方向的分量。

在一定油門開度下,發動機的推力隨著飛行高度和飛行馬赫數的改變而改變,可以表示為:

T=T0(H,Ma)u

式中:u為油門開度。

1.2約束限制

飛機起飛后,要經過特定的航路點才能到達著陸機場。在特定的航路點,飛機完成轉彎、改變航向。飛機過航路點的約束一般表示為經緯度和高度的約束,即:

式中:ε為約束的容忍誤差。飛機的航跡角約束為γ∈[-10°,10°];航向角約束為χ∈[-180°,180°];起始點狀態約束為X(t0)=X0。

1.3目標函數

成本指數是飛行管理系統實施垂直導航功能計算的主要參數之一[4],是指航班成本中飛行時間引起的成本與燃油成本的比值,即:

式中:Ci為成本指數;Ctime為飛機飛行1 h的時間成本;Cfuel為飛機消耗1 lb燃油的成本。

飛機軌跡優化的目的是使上述直接成本最小,選擇不同的成本指數進行優化,得到在各個時刻飛機的狀態不同。本文將討論在有風的情況下,不同的成本指數對飛機的高度、馬赫數等狀態量的影響,以及對飛機到達時間的影響。

1.4歸一化處理

為了提高算法在求解優化問題時的收斂速度,將飛行器運動方程歸一化。定義無量綱物理量:

(2)

將式(2)代入式(1)中,可得到歸一化后的運動方程。

綜上所述,飛機的軌跡優化問題可以歸結為在飛機運動學模型約束、中間過程約束、邊界條件約束和狀態變量控制變量約束條件下,以最小時間成本和到達時間為目標函數的最優控制問題,即:

(3)

2最優控制問題求解

Gauss偽譜法將最優控制問題的狀態變量和控制變量在一系列Legendre Gauss(LG)點上離散,并以離散點為節點構造拉格朗日插值多項式來逼近狀態變量和控制變量。通過對全局插值多項式求導來近似狀態變量對時間的導數,從而將微分方程約束轉換為一組代數約束。性能指標中的積分項由Gauss積分計算。經過上述變換后,可將最優控制問題轉化為具有一系列代數約束的NLP問題[5-6]。

2.1時域變換

最優控制問題的時間定義為區間[t0,tf],但偽譜方法的時間區域為[-1,1],因此要將時間從[t0,tf]變換到為[-1,1],對時間變量t作變換:

(4)

即將t∈[t0,tf]映射到τ∈[-1,1]。

2.2離散化

Gauss偽譜法的Legendre-Gauss配點位于開區間τ∈(-1,1)中,這些點不包括初始值點和終端值。N個離散點包括N-2個內部LG配點,初始值點τ0≡-1,終端值點τf≡1。利用N-1個Lagrange插值基函數組成多項式對狀態變量進行逼近:

利用N-1個Lagrange插值基函數組成的多項式對控制變量進行逼近,表示為:

在配點上的正交分配方程為:

終端狀態應滿足動力學方程約束:

將終端狀態約束條件離散并用Gauss積分來近似,可得:

式中:wk為Gauss正交權重;τk為LG配點。

目標函數包括終端性能指標和積分型性能指標,即:

其中,積分型性能指標可以用Gauss積分來近似,離散化后的目標函數為:

經過上述離散化處理,Gauss偽譜法將連續型最優控制問題轉化為離散型NLP問題,轉化的NLP問題可以表示為:

(5)

式中：k=1,…,N。

3SQP法求解非線性規劃問題

SQP的基本思想是:在每一迭代通過求解一個二次規劃子問題(QP)來確立一個下降方向,以減少價值函數來取得步長,重復這些步驟直到求得原問題的解。SQP算法具有整體收斂和局部超一次收斂的特性,被認為是目前求解NLP問題的最有效的算法之一[7]。考慮NLP問題:

式中:f(x),h(x)，g(x),分別為目標函數、等式約束和不等式約束。

在主迭代過程中,搜索方向dk由下述QP子問題確定:

SQP算法序列地求解一系列的二次規劃子問題,逐步得到原問題的最優解。

4算例分析

4.1參數設置

某大型運輸機的機體性能參數為:最大起飛重量265.5 t;機翼面積353 m2;最大速度230.5 m/s;最小速度55 m/s;最大航跡角10°;最小航跡角-10°;翼展50.29 m;升限13.715 km;最大迎角10°;最小迎角-10°;最大航向角180°;最小航向角-180°。

飛機在巡航段結束后進入下降段,主航線下降點的起始航路點為東經105.8°、北緯31.57°和高度8 371 m,中間航路點為東經104.49°、北緯30.61°和高度3 342 m,終點航路點為東經103.55°、北緯30.5°和高度552 m,飛機速度達到進場速度59.2 m/s。高斯偽譜法具有很高的收斂性,但是選取的高斯配點數過少,求解問題的誤差較大;選取的高斯配點數過多,設計的變量數目比較龐大。設高斯點的個數為k,則設置的變量數目為10k+22。為了獲得精確解,同時防止計算量過大,本文選取高斯節點數為14個,應用Gauss偽譜法,把最優控制問題轉換為NLP問題,采用SQP方法求解。

4.2最短時間軌跡

取Ci=9 999,得到飛機下降段的最短時間為30 min,仿真結果如圖1所示?？梢钥闯?飛機經過3個航路點,高度平緩下降,飛行速度比較大,下降時間短;航跡角、航向角和迎角滿足約束條件。

圖1　最短時間軌跡優化結果Fig.1　Optimization results of minimum time

4.3最小直接成本優化軌跡

選擇不同的成本指數Ci,得到不同的到達時間和燃油消耗。分別選取Ci為500和1 000,得到對應的最小直接成本軌跡,如圖2所示。從優化的軌跡可以看出,飛機采用階梯下降的策略,航跡角、航向角和迎角滿足約束條件;Ci=500和Ci=1 000得到的時間均大于最短時間,飛行速度小于最短時間軌跡得到的速度。

表1對比了Ci=500和Ci=1 000時的燃油消耗和到達時間,結果顯示:飛機按照Ci=1 000比按照Ci=500優化的軌跡進行下降,到達時間少了0.8 min,燃油消耗多了119.2 kg。根據1.3節目標函數,假設燃油消耗的權重固定,到達時間的權重為Ci,Ci增大,表明到達時間的權重增大。優化結果為到達時間減小,仿真結果與理論分析一致。

表1　不同成本指數軌跡優化結果

5結束語

本文利用高斯偽譜法對大型運輸機下降段的軌跡優化問題進行研究。研究結果表明，成本指數越大,飛機下降的時間越短,燃油消耗越多。研究內容對于飛機控制經濟成本具有一定的實際意義。

參考文獻：

[1]雍恩米,陳磊,唐國金.飛行器軌跡優化數值方法綜述[J].宇航學報,2008,29(2):397-406.

[2]胡松啟,陳雨.偽譜法在飛行器軌跡優化中應用分析[J].火箭推進,2014,40(5):61-68.

[3]閆國華,魏娜,楊曉軍.基于BADA模型的我國民用飛機持續進近燃油經濟性研究[C]//第五屆中國智能交通年會暨第六屆國際節能與新能源汽車創新發展論壇.北京:電子工業出版社,2009:411-414.

[4]楊俊,蘇彬.運輸飛行成本指數計算[J].飛行力學,2000,18(1):85-88.

[5]Benson D.A Gauss pseudo-spectral transcription for optimal control[D].Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology,2005.

[6]雍恩米,唐國金,陳磊.基于Gauss偽譜方法的高超聲速飛行器再入軌跡快速優化[J].宇航學報,2008,29(6):1766-1772.

[7]Dehdari V,Oliver D S,Deutsch C V.Comparison of optimization algorithms for reservoir management with constraints—a case study[J].Journal of Petroleum Science and Engineering,2012,100:41-49.

(編輯：李怡)

Approach trajectory optimization for aircraft using Gauss pseudo-spectral method

XUE Peng-fei, LIU Xiao-xiong, LI Chuang, MA Qing-yuan

(School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Abstract:With the large transport aircraft as the research object, this paper focuses on trajectory optimization in approach airspace under disturbance of wind. By analyzing of the approach stage, the dynamitic model, oil consumption model and aerodynamic force model of the aircraft were built. Then, the cost function and constraints of trajectory problem were proposed. The optimal control was translated into a nonlinear programming problem (NLP) by Gauss pseudo-spectral method, and the NLP was solved with the sequential quadratic programming. The optimal trajectory of the shortest descent time was obtained by simulating calculation. Meanwhile, this paper discussed the effect of the different cost indexes on descent time and fuel consumption. Simulation results show that the descent time is less when the cost index is high and fuel consumption is more.

Key words:optimal control; sequential quadratic programming; optimal trajectory; cost index

收稿日期:2015-09-10;

修訂日期:2015-12-11; 網絡出版時間:2016-02-29 16:37

基金資助:國家自然科學基金資助(61374032)；航空科學基金資助(20150753009)；民機專項基金資助(MJ-S-2011-16)

作者簡介:薛鵬飛(1991-)，男，河南焦作人，碩士研究生，研究方向為飛行控制與軌跡優化； 劉小雄(1973-)，男，陜西周至人，副教授，博士，研究方向為飛行控制與仿真、容錯控制。

中圖分類號：V249.1

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0853(2016)03-0034-05