基于溫度分布的烤盤形狀最優化分析

黃嘉欣

（華南師范大學數學科學學院，廣東廣州510631）

基于溫度分布的烤盤形狀最優化分析

黃嘉欣

（華南師范大學數學科學學院，廣東廣州510631）

摘要：通過探究烤盤形狀對烤箱空間利用率和受熱烤盤溫度分布的影響，分析矩形烤盤四角容易烤焦食物的原因，結合實際和假設條件提出優化模型，設計出最優的烤盤，并對上述模型進行測試和評價.在模型測試中，給出了在p改變時的結果；在模型評價中，分析了各個模型的優缺點.

關鍵詞：溫度分布；熱傳導方程；評價函數；參數量化

1　問題重述

隨著經濟的發展，越來越多的烤箱進入人們的日常生活，烘烤食物成為了最普通的需求之一.人們在使用不同烤盤烘烤食物的時候，會出現不滿意的情況，如矩形烤盤四角的食物容易被烤焦、圓形烤盤在烤箱內的空間利用率不高.因此建立烤盤形狀最優化模型有著重要的實際意義.

下面建立數學模型來給出可挑選的最佳烤盤形狀，并考慮以下情況.

（1）烤箱容納烤盤數目最大化（N）；

（2）烤盤的均勻受熱程度最大化（H）；

（3）優化組合上述兩個條件，分別用p和（1-p）來表示其權重分配，隨著烤箱形狀與p的變化，展示出結果的變化.

在建立優化模型的過程中，將分為以下幾個步驟，即：

（1）建立描述不同形狀烤盤的熱均勻程度的量（即模型1的分析結果）；

（2）選取、確定烤盤擺放方式；

（3）構造組合優化的評價函數.

2　基本假設

（1）烤箱內部溫度恒定；

（2）烤盤用導熱性能良好且各項同性的介質制成；

（3）烤盤的形狀近似為無蓋的長方體（或正多邊形、圓形）盒子.

3　模型解決

3.1模型1：多邊形烤盤溫度分布模型

根據熱傳導理論［1］，一種材料本身或者當與其他材料接觸時，產生的能量傳遞的過程（或效率）也被稱為該種材料的導熱系數.而熱輻射［2］則是另一種可以在沒有任何媒介或者接觸下產生熱量交換的方法，烤箱的加熱原理正是利用熱輻射的方法［2］，對食物進行加熱.

3.1.1模型假設

（1）烤盤內部沒有熱源；（2）忽略烤盤的厚度.

3.1.2建立模型

基于基本假設中的各向同性條件，恒溫箱中烤盤的各個面所接受的熱流密度相同，因此，烤盤的溫度分布不均勻是烤盤金屬材料之間的熱傳導造成的.根據熱傳導方程

其中：u表示溫度；F（x,y,z,t）表示內熱源；ρ表示材質密度；c表示比熱容；k表示熱傳導系數.由上式可得無內熱源的瞬態熱傳導方程，即烤盤的瞬態熱傳導方程：

該微分方程的邊界條件采用諾曼邊界條件［3］，即已知各面的法向熱流密度= -k?u .

如果僅考慮烤盤底面受熱，忽略烤盤側面，則烤盤表面的溫度將會平均分布.因此，烤盤溫度分布不均主要是側面接收的熱量向底面傳導所造成的，故可以將三維熱傳導模型簡化為二維平面熱傳導模型，其熱流示意圖如圖1所示.

圖1　烤盤的熱流示意圖

二維熱傳導模型［4］的瞬態解可以利用有限元分析法求解，利用MATLAB提供的PDEtool工具［5］計算，可得二維熱傳導模型的數值解.

為了對比矩形烤盤及圓形烤盤在上述條件下的溫度分布，不妨把烤盤的參數設置如表1所示.計算結果如圖2所示.

表1　各項參數設置表

由圖2可知，矩形烤盤的四角溫度偏高，中心溫度最低，邊緣的溫度變化差異大.而等面積的圓形烤盤則邊緣溫度均勻，中心溫度較低.

現保持烤盤面積不變，將正多邊形的邊數增加，可以計算烤盤溫度方差代表其均勻受熱程度，如表2所示.

由表2可見，在面積一定的條件下，圓形烤盤的溫度方差比其他形狀的烤盤的要小，也就是說圓形烤盤的均勻受熱程度最大，使得食物受熱最均勻.

隨著正多邊形邊數的增加，受熱烤盤整體溫度方差逐漸減小.邊緣形狀不僅影響邊緣溫度分布，還影響整體溫度分布的均勻程度.正多邊形的邊數越多，整體溫度分布也越均勻.因此，可用整體溫度分布的方差來衡量受熱烤盤溫度分布的均勻程度.

3.2模型2：烤盤排布模型

若要使得烤盤數量N排布最多，則必須盡量使用密排布；同時，根據生活實際，對于各種形狀的烤盤都可以轉化成矩形密排布的方式擺放.

圖2　溫度分布三維示意圖（左為矩形烤盤，右為圓形烤盤）

3.2.1矩形烤盤

根據矩形面積公式，以及給定的烤盤面積A和長寬比B，可以求出矩形的長和寬如下：

現在建立矩形排布模型來獲得最終排布圖案，其排布草圖如圖3所示.幾何約束條件如下：

由上述分析可知，當僅當烤箱總面積S是每個烤盤面積A的整數倍時，矩形烤盤才能完全密排布.

表2　不同多邊形烤盤溫度方差表

圖3　排布方式草圖

按照此模型排布時，將會優先貼近某三邊排布，最后將剩余的位置劃為（N - nwnl）個面積不同的矩形，如圖4所示.

圖4　一種矩形排布方式

表3　每個烤盤i及其Ni和Hi

3.2.2正多邊形烤盤

考慮烤盤形狀是規則的邊數為偶數的正多邊形，對于每一個這樣的正多邊形，可以找到與之對應的外接矩形，如圖5所示，其長度l和寬度w分別如下：

現在，根據實際生活使用習慣，不妨假設正多邊形烤盤的排布采用規則排布，即也利用矩形排布模型進行排布.基于矩形烤箱形狀與正多邊形烤盤形狀的差異，可以發現，正多邊形的排布不能做到完全緊密排布.其排布草圖如圖6所示.

3.3模型3：評價目標函數模型

根據模型1和模型2可以求出每個具體形狀的烤盤i的Ni和Hi，如表3所示，進而求出其中的最大值，記為Nmax和Hmin.

為了利用評價函數優化結合Ni和Hi，有必要將Ni和Hi作標準化處理.當Ni越大時，說明烤箱內烤盤數目越大，烤箱的利用率越高；當Hi越小時，說明烤盤均勻受熱的程度越好，因此，將其標準化處理為和，并建立如下的評價目標函數：

圖5　正多邊形及其外接矩形

圖6　一種正六邊形排布方式

所以，對于烤箱空間利用率和烤盤均勻受熱程度這兩大因素的考量（在模型中具體表現為p和1-p），以及不同的烤箱的性質（在模型中具體表現為W/L），都可以通過評價函數求出與不同烤盤相應的fi.當烤盤i對應的fi最大時，則表示在綜合考慮兩個因素下，烤盤i是滿足條件的最佳烤盤.

4　模型測試

隨機選取美的型號為ETC56MY-ERS的烤箱進行仿真測試，其長595 mm，寬575 mm，平均每個烤盤面積為7 853.98 mm2，一共有3種形狀烤盤可選：矩形烤盤（長寬比為1/2）、正方形烤盤和圓形烤盤.

根據模型2，計算出對應烤盤的最大數目N1，N2，N3.而由模型1，即二維熱傳導模型，可以計算出在相同時刻，3種烤盤溫度的方差H1，H2，H3.最后再結合評價函數模型中的權重分配系數p和（1-p），得到結果如表4所示：

表4　仿真測試結果

5　模型評價

5.1優點

（1）基于熱量與溫度之間的線性關系，本文建立了二維的熱傳導模型，通過這個模型發現每個烤盤的溫度分布情況，間接反映了烤盤的熱量分布情況.除此以外，利用熱傳導模型，可以得到受熱烤盤的瞬時熱量分布情況，呈現烤盤受熱的整個動態過程.

（2）利用數學軟件MATLAB，我們可以直接求出以三維圖像呈現的結果.而在圖像中，通過不同的顏色，我們在圖中分析受熱烤盤的溫度分布情況，其中藍色表示低溫，紅色表示高溫.另外，該軟件的PDE工具箱可以幫助我們快速地求解熱傳導模型中的偏微分方程，而且其以圖像這種直接的形式呈現結果，為后續的分析節省了時間，提高了解決問題的效率.

（3）本文給出的是針對某種烤箱最佳烤盤的挑選方法，若是實際中的烤箱數據不同，我們可以根據實際情況，修改熱傳導模型中的邊界條件方程，同樣也可以求解出符合要求的最佳烤盤.

5.2缺點

（1）本文只就幾種特殊的烤盤形狀進行分析，忽略了其他形狀的烤盤，這樣可能會使優化結果局限在有限的烤盤形狀之內.

（2）本文假設烤盤的上下兩個表面在加熱過程中都是均勻受熱的，僅考慮其余的側面的受熱情況，這可能與實際結果存在細小誤差.

參考文獻：

［1］LUIKOV A V. Analytical Heat Diffusion Theory［M］. New York：Academic Press, 1968：219-513.

［2］CARSLAW H S, JAEGER J C. Conduction of Heat in Solid［M］. Oxford：Oxford University Press, 1986：147-326.

［3］BERTOLA V, CAFARO E. Incorporating boundary conditions in the heat conduction model［J］. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2009, 52（3/4）：644-646.

［4］劉連壽，王正清.數學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1990：86-268.

［5］熊靜，張薇. MATLAB PDE-tool在熱傳導問題中的應用［J］.工業加熱，2009，38（4）：42-44.

An Optimization Analysis of Pan Shape Based on Temperature Distribution

HUANG Jiaxin
（School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzhou 501631, China）

Abstract：Based on the analysis of the space utilization of an oven and the temperature distribution of the heated pans affecting different pan shapes, this paper finds the reason why the product at the edges has been overcooked when using a rectangle pan. Moreover, according to the fact and requirement of the problem, the author proposes the optimization model for designing the ultimate baking pan. The model simulation and evaluation are performed. During the model simulation, the results are also proposed when the p changes. In the model evaluation, strengths and weaknesses are analyzed for different models.

Key words：temperature distribution；heat conduction equation；evaluation function；parameter quantification

中圖分類號：O242.2

文獻標識碼：A

文章編號：1008-2794（2016）02-0100-05

收稿日期：2015-02-15

通信作者：黃嘉欣，碩士研究生，研究方向：數學建模，E-mail：garfieldhjx@hotmail.com.