透析初中數(shù)學(xué)折疊問題的特點和方法

吳貴霞

【摘要】 折疊問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要專題，也是近幾年中考的考試熱點，此類型題目是屬于圖形變換中軸對稱變換的有關(guān)問題，不僅能考查學(xué)生的抽象思維能力，而且能考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力。

【關(guān)鍵詞】 折疊 軸對稱變換 基本活動經(jīng)驗

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）06-029-01

瀏覽一下近幾年浙江各地的中考試題，可以看到有關(guān)翻折或旋轉(zhuǎn)的試題在各種考題中頻頻出現(xiàn)，可見圖形變換在中考中的地位是非常重要，一些專家的講座中也多半利用圖形的變換設(shè)計例題進(jìn)行講解。在初中的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往對折疊的實質(zhì)理解不透徹，導(dǎo)致對這類問題失分嚴(yán)重，本文通過初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的幾種折疊的典型問題的剖析，從中概括出基本圖形的規(guī)律，找到解決的常規(guī)方法。

一、折疊圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀和大小不變，是全等圖形，所以有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

1. 如圖，有一張面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC邊的中點，將C點折疊至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ，則PQ= _________.

2.如圖，在一張長方形的紙片ABCD中，AD=25cm，AB=20cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點.現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH的大小及EG的長（精確到0.1cm）。

解題策略：以上兩小題都是比較基礎(chǔ)的題目，通過折疊中全等圖形對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識就能很快解出題目的答案，如（1）中由折疊可得△BNP≌△BCQ，可得BP=BC=2BN，所以∠BPN=30°，∠PBN=60°，∠QBC=∠PBQ=30°，所以PQ=CQ=BC*tan30°；（2）中由折疊可得△AFG≌△ABH，可得AB=AG=2AF，所以∠GAB=60°，∠BAH=30°，∠DAH=60°，EG=EF-GF=25-10*1.732=7.7.

二、折疊問題求線段可以用設(shè)所求的線段為x，運用勾股定理列方程思想求解

1.如圖，一張矩形紙片ABCD的長AD=8 cm，寬AB=4 cm，現(xiàn)將其折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，求BE的長是 cm，折痕EF的長是 cm.

解題策略：設(shè)BE=x，則AE=8-x，在RT△ABE中用勾股定理列出方程求解即可。

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F.連接DE，求DF的長度為 。

解題策略：先證AF=CF，設(shè)DF=x，則AF=4-x，在RT△ADF中用勾股定理列出方程求解。

三、在矩形（紙片）折疊問題中，重疊部分是一個等腰三角形，底角相等可以由角平分線和平行線性質(zhì)得出

1. 如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F.連接DE，（1）判斷△ACF是什么三角形，并說明理由；（2）求證：DE//AC.

解題策略：由折疊可得∠BAC=∠FAC，由AB//CD可得∠DCA=∠BAC，所以∠FAC=∠DCA，可證AF=CF，△ACF是等腰三角形；由（1）得AF=CF，AE=CD，所以DF=EF，可得DF：CF=EF：AF，又因為∠AFC=∠DFE，所以△ACF與△DEF相似，繼而得出∠ACF=∠EDF，所以DE//AC.

四、折疊問題實質(zhì)上是軸對稱變換，折痕就是對稱軸，對稱軸是對稱點的連線的垂直平分線

1.如圖AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直線AD折疊，點C落在點C`處，連結(jié)BC`，那么BC`的長為_____________。

解題策略：連結(jié)CC`交于O，則折痕AD垂直平分CC`，OD為△BCC`的中位線，BC`=2OD=CD=3.

2. 如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE. （1）求證：（1）四邊形AFCE是菱形； （2）若AB=8cm，BC=16，求△ABF的周長。

解題策略：方法一，由等角對等邊可證AF=AE，同理CF=CE，可證AF=FC=CE=AE，四邊形AFCE是菱形；方法二，因為折痕EF垂直平分AC，而AE=AF，由等腰三角形三線合一可證AC也垂直平分EF，所以四邊形AFCE是菱形。

以上是筆者在這一輪初三復(fù)習(xí)中總結(jié)概括的一些特點和方法，雖然列舉的是小題目，但是可以以小見大，從小題目中積累的方法同樣適用大題目，在講解折疊問題的時候，仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)學(xué)生做不出來的原因大多是對折疊的特點了解不透徹，學(xué)生動手能力和空間想象能力差，繼而就不敢大膽的猜想和論證，這些方面的原因，其實受傳統(tǒng)的“以教師的講解為主、以題練題”的數(shù)學(xué)教學(xué)思想影響，所以我認(rèn)為在中考復(fù)習(xí)方法的探究上，對學(xué)生在解題方法的引導(dǎo)和總結(jié)時更重要的是讓學(xué)生來總結(jié)和分享。

總之，在解決折疊問題時，首先要對圖形折疊有一定準(zhǔn)確定位，借助方程思想和構(gòu)造直角三角形的思想，把握對稱的性質(zhì)，抓住圖形之間的軸對稱變換，進(jìn)一步挖掘圖形的數(shù)量關(guān)系，折疊問題就能輕松解決。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).

[2] 欒春霞.數(shù)學(xué)課程論與數(shù)學(xué)課程教材改革.教育部師范教育司組織評審.