楊輝三角性質的新發現

崔國棟（甘肅武威二中 甘肅武威 733000）

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楊輝三角性質的新發現

崔國棟
（甘肅武威二中 甘肅武威 733000）

摘 要：二項式定理溝通了多項式乘法和排列組合的關系。是每年高考的必考內容。其中二項式系數有很多奇妙的性質，一千多年來中外數學家在這塊土地上勤奮耕耘，篳路藍縷，取得了豐碩的成果，也引起筆者濃厚的興趣，從指數n＝1、2、3……變化規律發現二項式系數橫向排列恰好是111、112、113……這是巧合？還是必然？

關鍵詞：二項式定理 楊輝三角 加法法則 新發現

表1 二項式系數表

上面的表叫做二項式系數表，它有這樣的規律，表中每行兩端均為1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和，事實上，該表中任一不為1的數C，那么它肩上的兩個數分別C、C，由組合數的性質可知道：C=C+C.這個表早在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里已經出現了。因而又把此表稱之為楊輝三角。在歐洲，這個表被認為是法國數學家帕斯卡（Blaise.Pascae.1623年- 1662年）首先發現的，它們把這個表叫帕斯卡三角，這就是說，楊輝三角的發現要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族的自豪的。

表2

這個表有許多性質.在此不做主要討論。只就自己教學中發現的一條新性質，不揣淺陋，提供出來，與各位商榷。

通過觀察，楊輝三角中各數滿足表2規律：在n=0、1、2、3、4……時，那么，115是否就是15101051呢？答案是否定的，但依據上述規律能否找到11n（n ∈N，n≥5）與楊輝三角中相應數的內在聯系呢？

根據表2第六行與第十一行各數做如下（圖1）運算：

圖1

由此可見，可以將楊輝三角中第n+l行數“相加”算出11n

“加法法則”：

把楊輝三角中節n+l行的n+l個數字，從左到右自下而上逐層往前錯一位書寫，然后按照平常算術豎式加法把各個數位上的數字加起來，滿10進1，則其結果為11n。［2］

原理：11n=（1+10）n的二項展開式共有n+1項，其通項Tr+l=Cl0r，當r=0，1，…n時按照10r項進行升冪排列，說明C中的每個數1表示10r，而C中的每個1表示10r-1.因而在求和的過程中，每相鄰的兩數之間必然在數位上相差l位，實際上如n=5時

C51101表示5個10，C102表示C個102，C102=1000而相加時，數位總是向前遞增一位，加法過程如下圖2所示：

圖2

總結：筆者通過大量的演算與推理得出了本文的結論：“加法法則”：把楊輝三角中節n+l行的n+l個數字，從左到右自下而上逐層往前錯一位書寫，然后按照平常算術豎式加法把各個數位上的數字加起來，滿10進1，則其結果為11n。

參考文獻

［1］ 王雄偉. 楊輝三角數字排列的一些性質［J］. 中學數學月刊，2005（5）：28-29.

［2］ 王廷楨. 楊輝三角的行列式性質［J］. 數學教學研究， 1987（3）.