高等數學課堂教學融入數學建模思想的研究與實踐

李宗秀（黑龍江財經學院基礎部，哈爾濱150025）

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高等數學課堂教學融入數學建模思想的研究與實踐

李宗秀
（黑龍江財經學院基礎部，哈爾濱150025）

摘要：高等數學課程是應用型本科院校的公共基礎必修課程，它的學習思想與方法直接影響學生后續課程的學習效果。為了提高高等數學課程的教學效果，試將高等數學課堂教學融入數學建模思想，通過具體應用實例闡明應用高等數學知識怎樣去解決實際問題，強化學生學以致用的能力，培養了學生的學習興趣和創新能力。

關鍵詞：高等數學；數學建模；均勻貨幣流；平均變化率；商業貸款；公積金貸款

1 高等數學課堂教學現狀分析

高等數學是理論性強、邏輯性嚴密、計算煩瑣、定理證明推導嚴謹的一門基礎學科［1］。應用型本科院校高等數學課時少、教學容量大，為在有限的課時內完成教學大綱所要求，不得不對授課內容蜻蜓點水，導致學生理解不夠深刻。學生學習目的不夠明確，很多學生認為學習高等數學對后續課程作用不大，因此學習興趣不濃。

2 將數學建模思想融入課堂教學的意義

大學生數學建模競賽［2］最早于1994年國家教委倡導，我院是從2001年開始組織學生參加大學生數學建模競賽的，為了讓更多學生受益于數學建模，將數學建模思想滲入課堂教學，是一個非常值得探索的試驗。

3 高等數學課堂教學中的數學模型案例

引入數學建模思想，可以最大限度調動學習積極性。適當引入與之對應的應用實例，彌補傳統教學不足。

案例：均勻貨幣流的總價值與投資回收期的計算。

若初始年（t=0）將資金A0一次性存入銀行，年利率為r，則這筆資金以連續復利方式結算的t年未來值即為：At=A0ert。但如果采用的是均勻貨幣流存款方式，即貨幣像水流一樣以定常流量源源不斷地流入銀行（類似于“零存整取”），則計算t年末的資金總價值就可以采用定積分的方法。現用微元法分析如下：設T年內有一均勻貨幣流，年流量為a，則在［t,t+dt］時間段內的貨幣流量為adt，于是可得該貨幣流T年末總價值的微元為：dAT=adt·er(T-t)=aerT·e-rtdt。從而該貨幣流年末的總價值為：

由式（B），投資回收期為：

4 用數學建模思想解決實際問題

例：貸款購房——函數的應用。

在高等數學教學中，介紹數學建模思想方法，使學生能夠從實際問題中篩選出有用的數據和信息，建立數學模型，讓學生真實地感覺到數學知識在實際中的應用。

貸款買房已成為新的購房方式，日漸盛行。以100萬元20年的房貸為例，建立數學模型，推導出月均還款總額、還款總額和利息負擔總和的公式。

4.1 問題提出

某人購房向銀行貸款100萬元，銀行年利率為0.49%，借款期限為20年，求月均還款金額、還款總額和20年內共計支付多少利息。

4.2 問題分析

2015年最新發布個人住房貸款利率如表1所示。

表1 個人住房貸款利率表Tab.1 Interest table of individual housing loan

貸款額A=100萬元，貸款期限m=20年，年利率R=49%（商業貸款且貸款期限5年以上、公積金貸款且貸款期限5年以上)。分別計算兩種情況下月均還款金額、還款總額和20年內共計支付多少利息。

4.3 模型假設

a. 20年內銀行利率保持不變。b. 20年貸款人始終具有還款能力，不提前還清貸款。c.還款方式是每月等額還款。d.假設銀行貸給該人的本金是在某個月的20號一次到位，在本金到位后的下個月20號開始還款。

4.4 參數說明

A：客戶向銀行貸款的本金。B：客戶平均每期應還的本金。C：客戶應向銀行還款的總額。D：客戶的利息負擔總和。r：客戶向銀行貸款的月利率。R：客戶向銀行貸款的年利率。m：貸款期。n：客戶總的還款期數。

4.5 模型的建立與求解

4.5.1 模型的建立

根據已知各參數有以下關系n=12m；C- A=D；A=nB；R=12r。x（元）是月均還款總額；ai（i=1,2,…n）是客戶在第i期20號還款前還欠銀行的金額；bi（i=1, 2,…n）是客戶在第i期20號還錢后欠銀行的金額。

根據上面的分析，有：

第1期還款后欠銀行的金額：b1=a1- x=A(1+r)- x。

第2期還款后欠銀行的金額：

b2=b1(1+r)- x=A(1+r)- x……

第i期還款后欠銀行的金額：

bi=bi-1(1+r)- x=A(1+r)i- x(1+r)i-1-…- x(1+r)x。

第n期還款后欠銀行的金額：

因為第n期還款后，欠款還清，也就是說：bn=0，即解方程得：A (1+1)n- x［（1+r）n-1-…（1+r）- 1］=0。

這就是月均還款總額的公式。總的還款總額為：

利息負擔總和等于：

4.5.2 模型的求解

某人購房向銀行貸款100萬元，銀行年利率為0.49%，借款期限為20年，求每月應還款金額、還款總額和20年內共計支付多少利息。

情形1：商業貸款。

情形2：公積金貸款。

表2 商業貸款與公積金貸款的比較表Tab.2 Comparative table of commercial loan and housing provident fund loan

從付息角度看，公積金貸款要比商業貸款利息低很多，總額差距很大。但實際生活中還應考慮國家政策、開發商情況等。

參考文獻：

［1］同濟大學數學教研室.高等數學(第五版)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］葉其孝.大學生數學建模競賽輔導教材（二）［M］.長沙：湖南教育出版社，1994.

Study on the integration of mathematical modeling idea into classroom teaching of higher mathematics and its practice

LI Zong- xiu
(Foundation Department of Heilongjiang Universityof Finance and Economics, Harbin 150025, China)

Abstract:Higher mathematics is compulsory public basic course of application- oriented colleges, and its learning ideas and methods directly affect learning outcomes of students' follow- up courses. In order to improve the teaching effect of higher mathematics courses, this paper tried to integrate higher mathematical classroom teaching into the idea of mathematical modeling, clarified how to apply knowledge of higher mathematics to solve practical problems, strengthened students' ability toapply their knowledge and cultivated students' interest and innovation.

Key words:Higher mathematics; Mathematical modeling; Uniform currency flow; The average rate of change; Commercial loans; Housingprovident fund loans

中圖分類號：O13- 4

文獻標志碼：A

文章編號：1674- 8646（2016）09- 0052- 03

收稿日期：2016- 03- 29

基金項目：黑龍江省教育教改項目（JG2014010930）；黑龍江省教育科學規劃課題（GJD1215031）；黑龍江財經學院院級課題（2016YB05)