線性方程組課堂教學的應用案例

金曉燦 王海俠 張麗琴

【摘要】線性方程組是線性代數的核心，但是傳統的教學法重理論、輕應用，不利于激發學生學習興趣.本文從求解線性方程組的不同方法入手介紹線性方程組課堂教學的幾個典型應用案例，培養了學生運用數學知識解決實際問題的能力.

【關鍵詞】線性方程組；克萊默法則；矩陣的逆；高斯消元法

【課題】南京理工大學高等教育教學改革研究課題（2013A25）

線性代數是高等院校一門重要的基礎數學課程，具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性，學好線性代數對培養學生的邏輯思維能力和抽象思維能力起著重要的作用.同時線性代數又是一門實用性很強的、工具性的數學課程，它所介紹的矩陣運算方法、線性方程組解的理論、矩陣對角化理論與方法等廣泛運用于工程技術、經濟與管理等各個領域.如何把線性代數嚴謹而抽象的理論內容與其廣泛使用的工具性方法完美的結合，使得學生一方面受到嚴格的理論熏陶，體會嚴謹的數理邏輯的魅力，同時又熟練掌握其主要的計算方法，為后續的課程學習與科學研究打下數學基礎，一直是廣大數學工作者與教育家不懈追求的目標.

傳統的教學法比較偏重理論的系統性，往往對線性代數在其他領域的應用重視不夠；現行教材多重理論，輕應用，重公式推導，輕數值計算，教材大多忽略了概念，原理和模型的實際意義.往往學生學完線性代數這門課程后，只會套用解題，即“算數學”，并不知道線性代數在哪些領域應用，如何應用，即“用數學”.導致學生學習目的不明確，為了應付考試而學習，這不利于激發學生學習興趣，不利于培養學生創新能力和實踐能力.

線性方程組是線性代數的核心，行列式、矩陣、向量空間等都是為研究線性方程組創造的工具.線性方程組廣泛的應用于商業、經濟學、社會學、生態學、人口統計學、遺傳學、電子學、工程學以及物理學等領域，大量實際問題都可以轉換成線性方程組求解問題.

根據線性方程組的解的理論，通常可用克萊默法則；矩陣的逆以及更一般的將增廣矩陣進行初等行變換的方法（即高斯消元法）求解.本文將通過這幾個方面給出線性方程組課堂教學的幾個典型應用案例.

一、利用克萊默法則求解的應用案例

二、利用矩陣的逆求解的應用案例

案例3 減肥食譜問題[2]

這是一種在20世紀80年代很流行的食譜，是由Alan H.Howard博士領導的科學家團隊經過八年對過度肥胖病人的臨床研究，在劍橋完成的，稱為劍橋食譜.這種低熱量的粉狀食品精確地平衡了碳水化合物、高質量的蛋白質和脂肪、配合維生物、礦物質、微量元素和電解質.近年來，數百萬人應用這一食譜實現了快速和有效的減肥.

設三種食物脫脂牛奶、大豆粉和乳清每100克中蛋白質、碳水化合和脂肪的含量如下表.

一個城市有三個重要的企業：一個煤礦，一個發電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦必須支付0.25元的電費來驅動它的設備和照明，還需支付0.25元的運輸費.而生產一元錢的電力，發電廠需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的電費來驅動輔助設備及支付0.05元的運輸費.而提供一元錢的運輸費，鐵路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的電費驅動它的輔助設備.某個星期內，煤礦從外面接到50000元錢煤的訂貨，發電廠從外面接到25000元電力的訂貨，外界對地方鐵路沒有要求.問這三個企業在那一個星期內生產總值多少時才能精確地滿足它們本身的要求和外界的要求？

得煤礦總產值為102087元，發電廠總產值為56163元，鐵路總產值為28330元.

這是宏觀經濟學中投入—產出模型中的開式模型.投入—產出模型是哈佛大學教授瓦西里·列昂惕夫（Wassily Leontief，1906-1999）于1949年夏末提出的.并由此誕生了研究宏觀經濟學的投入-產出法，它是列昂惕夫的杰出創作，編制投入-產出表、建立相應的線性代數方程體系，就能綜合分析和確定國民經濟各部門之間錯綜復雜的聯系，分析重要的宏觀經濟比例關系及產業結構等基本問題.總之，投入-產出模型就是用數學形式體現投入產出表所反映的經濟內容的線性代數方程組.列昂惕夫由于從事“投入產出分析”，于1973年獲得第五屆諾貝爾經濟學獎，他的一生研究是數學在經濟領域里應用的最好典范.

三、利用高斯消元法求解的應用案例

案例5 百雞問題

該問題記載于我國古代算書《張邱建算經》中.百雞問題是中國古代解一次不定方程的整數解一種方法，導致三元不定方程組，其重要之處在于開創“一問多答”的先例，這是過去中國古算書中所沒有的.

問題：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞芻鳥三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、芻鳥各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞芻鳥七十八，值錢二十六.又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞芻鳥八十一，值錢二十七.又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四，值錢十二；雞芻鳥八十 四，值錢二十八.

如果方程式中的每個系數乘兩倍的話，該方程式也是配平的.然而在一般情況下，人們更傾向于使用全體系數盡可能小的數來配平方程式.

總之，線性方程組的應用非常廣泛，小到“雞兔同籠”問題，大到國民經濟“投入產出”問題，從“減肥食譜”問題到“化學方程式配平”問題等等.教師在講授線性方程組理論時，可從實際問題出發，通過對實際問題的分析引入線性方程組，再從解決實際問題的需要，運用矩陣相關理論，可使用數學軟件解決實際問題.這樣，一方面能讓學生認識到學習線性方程組理論的重要性和必要性，另一方面能讓學生了解運用數學知識解決實際問題的基本過程，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.當他們了解到現實中許許多多實際問題與復雜線性方程組的聯系時，就能認識到學習線性代數的必要性.

【參考文獻】

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