排列組合中的易錯問題

張小松

【摘要】排列組合問題通常涉及多種情況，需要進行分類討論，解題過程中若分類或分步不正確，容易重復或者遺漏，從而導致出錯；特殊元素特殊位置比較多時，考慮不全面也易導致計算不正確；本文結合例題，分析了排列組合問題的易錯點.

【關鍵詞】排列組合；特殊元素；重復；遺漏

例1 三部車床加工四個不同的零件，不同的加工方法有種.

錯解 每一部車床都可加工四種零件，所以一共有 43=64 種加工方法.

錯解分析 混淆了“元素”與“位置”的主次關系，分步不正確，應視零件為“元素”，車床視為“位置”.

正確解答 第一個零件有3種加工方法，第二個零件有3種加工方法，第三個零件有3種加工方法，同樣第四個零件也有3種加工方法，則一共有34=81種加工方法.

例2 5名同學站成一排，其中女生3名，男生2名，要求男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位相鄰，則不同的站法共有種.

A.60B.48C.42D.36

錯解1 （1）第一類女生在兩端，先用捆綁法選兩名女生排列，再與第三名女生排列，最后兩位男生在中間排列：A23A22A22=24；（2）第二類男生乙在兩端，再選中間兩個位置給女生，剩下的一個中間位置排甲，另一個位置排第三名女生，共C12C23A22=12種排法；兩類情況相加得總排法數為36種，答案為D.

錯解分析1 特殊元素特殊位置多引起混亂，第二類中忽略了3個女生之間可排列的情況.

錯解2 為保證女生分開（1）第一類先將甲排在中間，乙也在中間，剩余三位女生排列：C23C12A33=36.（2）第二類將甲排在五個位置中的正中間，乙和三位女生排列在兩邊位置：A44=24；兩類結合共有36+24=60種排法，答案為A.

錯解分析2 第二類A44=24包含了甲乙均在中間的情況，和第一類有重復.

正確解答 （1）第一步先排女生，將其中兩名女生用捆綁法組合排列后視為一個元素，再與另外一名女生排列：C23A22A22=12；（2）第二步，將兩名男生插入已排好的女生中，分兩類情況，甲乙均在中間，甲在中間乙在兩邊，則一共有 A22+C12=4 種排法； 綜合兩步，總共有12×4=48種排法，正確答案為B.

例3 某交通崗位共有職工3人，從周一到周日7天中，每天安排一人值班，每人每周至少值班2天，則不同的值班排法有種.

A.5040B.1260C.920D.630

錯解 第一人挑2天，第二人挑2天，剩余3天由第三人值班，共有C27C25C33A33=1260種排班方法.

錯解分析 平均分組后再進行排列導致重復.

正確解答 選一人值班3天，剩余2人各值班2天，一共有C13C37C24=630種值班排法.

例4 班級晚會上一共有六個節目，其中節目甲和乙不相鄰，節目丙和乙相鄰，則一共有種排法.

錯解 （1）第一步，先將節目甲和其余三個節目排列好，共有A44=24種排法；（2）第二步，再排節目乙，與甲不相鄰，利用插空法有C13=3種排法；（3）第三步，節目丙要與甲相鄰，只能在其前面或者后面，排法為C12種；則一共有24×3×2=144種排法.

錯解分析 由于特殊位置較多，遺漏了節目丙在甲和乙之間的一類排法.

正確解答 （1）把錯解中的情況作為第一類，有144種排法；（2）第二類，先將節目甲和其余三個節目排列好，共有A44=24種，再將丙排在甲和乙之間，有C12=2種排法，共有24×2=28種排法；兩類綜合，總共的排法為144+48=192.

例5 已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f是A到B的映射，若B中每個元素都有原像，則這樣的映射有個.

A.24B.36 C.72D.81

錯解 （1）第一步從集合A中選兩個元素對應集合B中的一個元素，一共有C24C13=18種排法；（2）第二步再從集合A中選擇一個元素，從集合B中選擇一個元素相對應，有C12C12=4種排法； 兩步綜合排法為18×4=72種.

錯解分析 第二步中將集合A中剩余兩個元素與B中剩余兩個元素構成映射時兩次組合導致重復.

正確解答 第一步同錯解，第二步兩集合中剩余元素可構成的集合種類為A22=2種，所以一共能構成18×2=36個映射，正確答案為B.

結束語

總之，學生在解答排列組合問題時要做到分步有序，分類不重不漏，合理處理特殊元素，才能提高解題能力，降低出錯幾率.

【參考文獻】

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