輔助圓的妙用

仇喜勤

【摘要】合理添加輔助圓，對于解析平面幾何題，常會起到事半功倍的作用，因此，本文以實題為例，闡述合理添加輔助圓解題思維和技巧在實際解題過程中的運用，顯現其四兩撥千斤的靈妙作用.

【關鍵詞】輔助圓；妙用

我們在解平面幾何題時，最棘手的莫過于添加輔助線.常用添加輔助線的方法，有連接、延長、平移或旋轉，這些都是對直線而言的.至于利用輔助圓解（證）平面幾何題，雖不如直線那么為人所熟知，但如果輔助圓添加合理，同樣可以使分散的條件集中、隱蔽的條件明顯；同樣使條件與結論之間的內在關聯形象直觀；同樣可以溝通數學知識之間的聯系.因此，在平時的學習中，將已知條件、欲求結論及所給圖形三個特點進行認真分析、思考，即可發現，適當添加輔助圓，可起到“搭橋鋪路”的作用.下面舉例說明：

一、運用四點共圓的判定方法添加輔助圓

四點共圓是一個常用的知識，它除了可以靈活運用于角與角之間的等量轉換外，還可以解決與圓冪定理（相交弦定理和切割線定理）相關的問題.四點共圓的判定是個難點，現歸納總結出四點共圓的幾種常用判定方法，以解決添加輔助圓的問題.一是直接找出一點到所正四點的距離相等；二是證明四個點構成的四邊形的對角互補或外角等于內對角；三是利用相交弦定理或切割線定理的逆定理證明四點共圓；四是證明線段同側的兩個點對線段的張角相等，則這兩個點與線段的兩個端點共圓.

對于在已知條件的線上找點與已知點構成一定的角的問題，如果能根據題目的題設和結論，構造出符合題意特征的輔助圓，即把題目中的固定角轉化為圓的圓周角問題，就能使問題得以順利解決，這種方法利用數形結合，使代數與幾何等知識相互滲透，綜合應用，它不但能較好的達到解題的目的，還有利于培養學生分析問題的能力.

綜上所述，我們可以把某些與定點成定角的問題轉化為圓周角問題，轉化為直線與圓的位置關系問題，則能輕易加以解決.

可見，只要我們認真分析題意，靈活聯系知識，巧妙借助輔助圓，尤其添加輔助圓，必能達到以一博十、出奇制勝的效果.