表面張力對自由落體液滴形變的影響

丁思源，王瑞祥，徐榮吉，張一灝，蔡驥馳（北京建筑大學北京市建筑能源高效綜合利用工程技術研究中心，北京 100044）

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表面張力對自由落體液滴形變的影響

丁思源，王瑞祥，徐榮吉，張一灝，蔡驥馳
（北京建筑大學北京市建筑能源高效綜合利用工程技術研究中心，北京 100044）

摘要：液滴運動過程中的形狀變化對液滴的蒸發、燃燒等過程有重要影響，表面張力是影響其形狀變化的因素之一。為研究表面張力對液滴形變的影響規律，采用低濃度的表面活性劑（十二烷基苯磺酸鈉SDBS）配制表面張力為30～72 mN·m?1的水溶液。利用不同外徑的針管得到3～5 mm粒徑的液滴。高速攝像機（Phantom V211，1000 pps，800×600 pixel）對這些液滴在自由落體過程中的形變規律進行了可視化實驗研究，得到了關于E?tv?s數（Eo）的半經驗關系式。實驗結果表明，液滴在自由落體過程中會形成周期性振動形變，振動周期和振幅隨表面張力增大而減小。進一步研究發現，初始時液滴形成并斷裂所引起的瞬態沖量使液滴內部動量傳遞進而表現出周期性振動形變。

關鍵詞：蒸發；表面活性劑；表面張力；動量傳遞；液滴；形變；E?tv?s數

2015-12-09收到初稿，2016-02-14收到修改稿。

聯系人：王瑞祥。第一作者：丁思源（1990—），男，碩士研究生。

Received date: 2015-12-09.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (51506004).

引　言

液滴在氣體中運動過程中會因表面受力不均而發生形變。影響液滴形變的因素很多，如粒徑、速度、表面張力等。在自然科學和工程技術領域，許多物理過程涉及液滴在氣流中的形變，如蒸發冷卻[1-2]、蒸氣冷凝[3]、噴霧燃燒[4]、顏料濃縮液的分散[5]、飛沫傳播[6]過程等。采取措施如降低液滴表面張力、加快液滴的形態變化是改善噴霧燃燒和蒸發冷卻效果的常用技術手段，需要了解相應過程中液滴的形變規律。大多數對氣液兩相流的數值模擬分析中常假設液滴為球形[7-10]，但在實際情況中，液滴的形變對受力、蒸發的影響不容忽略[11-12]。因此通過實驗方法研究液滴形變的一般規律對修正數學模型以及優化工程實際應用具有重要意義。

液滴垂直滴入靜止空氣流場下落過程中，受到的質量力為重力(空氣與液滴的密度相差很大忽略浮力影響)，表面力為曳力和表面張力。特征長度取等體積當量直徑de），則液滴的形變特征可由量綱1數(重力與表面張力之比)、We=ρcurelde/ σ (曳力與表面張力之比)，（慣性力與黏性力之比）、表示。Clift等[14]根據上述量綱1數得到了不同范圍內液滴或氣泡的形變特征區間，可由此大致判斷形狀變化。液滴下落過程中，周圍流體繞過液滴，初始會在液滴后部形成穩定的線性或者帶有渦旋的尾跡。隨著Re的不斷增大，液滴后部形成非穩態的尾跡剝離使液滴自身發生非穩定性形變即振動現象[15]。對于高黏度比κ，如液滴在氣體中運動，當Re≈200時振動現象產生，對于低κ如氣泡在液體中運動，產生振動的臨界Re≈1000[11]。對于穩態形變Savic[16]提出了高Re下界面正壓平衡公式，Pruppacher等[17]在其基礎上進行了修正并確定了不同粒徑范圍液滴的形變情況。對于非穩態形變，一般常用周期和振幅來描述，Lamb[18]建立了忽略黏性力的液滴自然振動周期的基本模型并得到了Yao等[19]的驗證。對于振動周期與尾跡剝離周期的關系，Winnikow等[20]和Edge 等[21]分別得到了不同的結論。隨著高速攝像技術的發展，實驗研究成為揭示非穩態液滴形變振動周期和振幅變化規律的重要途徑之一。Kenneth等[22]研究了2.5～4 mm粒徑范圍的雨滴從25 m自由下落的振幅變化規律，發現液滴在達到終速度前振幅不斷減弱，達到終速度后不斷增強，最后形變振動與渦旋尾跡剝離達到共振而逐漸趨于穩定。Dubrovskii 等[23]研究了純液滴和兩相液滴的形變規律，并得到了Laplace數（Lp）與振動周期之間的關系。Volkov 等[24-25]在Dubrovskii等的基礎上分別研究了粒徑、瞬時速度、液滴與流場溫差對振動周期及振幅的影響。表面張力直接影響液滴的形狀，但單純控制表面張力比較困難，前人研究中多通過改變工質來間接得到表面張力與非穩態形變規律的關系。

本文通過低濃度的十二烷基苯磺酸鈉(SDBS)調節液體的表面張力，改變針管的口徑控制液滴的大小，利用高速攝像機采集液滴下落過程中的形狀和位置，觀察液體表面張力的變化對液滴下落過程中的形變周期和振幅的影響進而建立描述液滴形變規律的數學模型。

1　實驗方案及設備

1.1實驗液體及表面張力測定

實驗所用表面活性劑為十二烷基苯磺酸鈉SDBS（北京化學試劑公司，分析純，含量≥90.0%，干燥失重≤3.0%，硫酸鈉≤7.0%），其臨界膠束濃度CMC為1.48 mmol·L?1[26]，以此為標準分別配制0.74 mmol·L?1（0.5CMC）、1.48 mmol·L?1（1CMC）和2.22 mmol·L?1（1.5CMC）的SDBS水溶液。液滴形成過程中液體在毛細管端部積聚形成新的表面，表面活性劑由液滴內部擴散到新表面需要一定老化時間，故液滴表面的表面張力為動表面張力。室溫下（25℃±1℃）用白金版法測量溶液吸附平衡狀態下的靜表面張力，滴重法[27]按式（1）測量3種溶液的動表面張力

式中，F是矯正系數，F= f( Vdc?3)可由文獻[27]中提供的矯正系數表查得；dc是針頭外徑。

圖1為白金板法和滴重法測得的表面張力隨濃度的變化曲線。兩種方法測得純水的表面張力分別為71.48 mN·m?1和71.19 mN·m?1，與25℃純水的標準表面張力71.79 mN·m?1偏差僅為0.8%和0.42%，可認為兩種方法的測量結果準確。白金板法測得0～0.5CMC區間溶液的靜表面張力急速下降，至1CMC時靜表面張力達到最低值30.41 mN·m?1，試劑中不可避免地含有非極性不純物占據了原有表面活性劑分子在表面的位置，因此1.5CMC時靜表面張力比1CMC時略高。滴重法測量得到動表面張力，根據Gibbs效應表面活性劑分子的擴散動力源于表面過剩濃度，隨著溶液濃度的增加以及大于臨界膠束濃度后內部膠束的形成，液體內部表面活性劑的濃度不斷增大，表面過剩濃度隨之增大導致相同條件下SDBS分子的擴散速率增大，動表面張力逐漸降低。由于液滴形成時間（2.4 s±0.1 s）遠小于擴散平衡時間，所以動表面張力測量值均大于靜表面張力。實驗采樣液滴下落的時間極短（＜300 ms），故液滴的表面張力按動表面張力測定為準。

圖1　表面張力等溫線Fig.1　Surface tension isotherm

1.2液滴形變測定

實驗裝置如圖2(a)所示，液滴由平口針管5以接近于0的初速度釋放，自由落體落入燒杯13中。由于高速攝像機1（采樣頻率1000 pps，分辨率800×600 pixel）視窗限制，不能一次將完整的下落過程全部拍攝。因此采用分段拍攝的方法將下落過程分為9段每段取景5.5 cm，記錄液滴由針管滴出至下落約41 cm過程的形狀變化以及精確位置，其中每段拍攝圖像與上一段圖像有約1 cm重合區，通過上下兩段相同位置液滴的重合來對各段圖像銜接，形成完整的下落圖像。由于各段所拍攝的并非同一液滴，需通過閥12控制流量從而控制液滴在針管5端部形成的時間（2.4 s±0.1 s），保證液滴的大小以及初速度相同。表1為液滴大小以及初速度的實驗數據，橫軸粒徑的最大偏差為2.4%，縱軸粒徑的最大偏差為1.3%，初速度的最大偏差為8.2%，滿足實驗精度要求。

圖2　實驗裝置Fig.2　Experimental set-up

表1　液滴大小與初速度Table 1　Size and initial velocity of drop

矩形腔7的主要作用是減少液滴下落過程中受外界流場的干擾。在矩形腔側壁中間嵌入一個鋼直尺15（精度0.1 cm），用于確定液滴下落位置以及為分析液滴大小定標尺。利用可定位三維滑軌6固定針頭5的位置，保證針頭5垂直并與直尺15在同一平面上。由于采樣頻率高且為保證圖像清晰度需控制曝光時間在一較短范圍造成成像偏暗，因此用補光燈4進行補光并調節成像亮度。為保證圖像各部位亮度均勻，在后補光燈4外罩一張白紙，作為拍攝圖片的背景。直尺不透光，在后補光燈4形成的高對比度情況下圖像中顯示為黑色，所以在高速攝像機1右側加一個前補光燈2提高直尺亮度。輸液器11保證儲液瓶16內外氣壓相同，使液體可在重力勢能下順利滴出。主要實驗設備的具體型號及參數列于表2。

表2　實驗設備型號和參數Table 2　Experimental equipment type and parameter

2　實驗結果

2.1液滴形變可視化

液滴在針管端部的形成時間是由前一液滴滴落為起點，到當前液滴滴落為終點，時間控制在2.3～2.5 s之間，以保證每次滴落液滴的大小和初速度基本保持不變。圖3中可以看出 0～2370 ms表面張力與液滴自身重力平衡，液滴處于平衡狀態，頸部收縮并不明顯。但是在2370～2390 ms液滴重力略大于表面張力，液滴經歷一個短暫的非平衡階段，頸部迅速收縮最后變為一條細線，液滴下落。

圖3　液滴形成Fig.3　Formation of drop

對于下落過程，設液滴剛下落還未下落時為時間起點，此時液滴受到一個頸部施加的向上瞬態拉力，形成瞬態沖量，使液滴頂部表面的曲率變大。根據Laplace效應，彎曲液面會在液體內部產生附加壓強，其大小可由式（2）計算

當液滴處于球形時，液體內部各個方向的附加壓強相等并相互抵消，但當其發生變形時，由于各個位置的曲率不同，附加壓強也隨之變化，不同位置處的附加壓強不能保持平衡，使得液滴內部流體產生動量的傳遞。初始時由于頸部瞬態拉力而產生的頂部附加壓強變大，導致了在Re小于臨界值（Re≈200）下在未產生非穩態尾跡剝離時液體內部的動量傳遞，在自由落體過程中表面能與內能相互轉化使得液滴形狀持續周期性變化。

圖4　液滴下落形態Fig.4　Deformation of falling drop

如圖4所示，液滴在下落過程中經歷了球形—扁橢球形—球形—長橢球形—球形的周期變化，定義這一系列變化所經歷的時間為液滴的振動周期td。圖4(a)、(b)分別為相同表面張力，de= 4.45、3.11 mm兩種不同粒徑的液滴第1個周期與第5個周期內的形狀。可以看出大粒徑的液滴的周期以及形變幅度明顯大于小粒徑液滴。相同液滴第5個周期比第1個周期液滴的形狀更趨于平滑圓潤，這是由于液滴內部黏性力所引起的動量傳遞耗散，降低了表面曲率。圖4(c)、(d)為相同粒徑de= 3.78 mm不同表面張力的液滴第1周期與第7周期的下落形態，可看出表面張力小的液滴，其周期較大，形變幅度也稍有增大。比較第7周期的形態也可看出表面張力小的液滴更加平滑圓潤，這是由于黏度相同即動量傳遞的阻力相同，但表面張力小的液滴周期長，所以對動量傳遞削弱更明顯。為方便對液滴形態定量描述，根據液滴實際的形態建立理想化模型如圖5所示，并定義液滴橫軸與縱軸振幅分別為

圖5　液滴形狀理想化模型Fig.5　Ideal model of drop deformation

2.2表面張力對液滴形變周期及振幅的影響

25℃下用型號為16 G、13 G、11 G、10 G的針管分別滴純水、0.74 mmol·L?1、1.48 mmol·L?1和2.22 mmol·L?1的SDBS溶液，得到粒徑近似相同（= 3.78mm，最大偏差1.82%）但表面張力不同（37.44～71.19 mN·m?1）的液滴。圖6定量展示了相同大小的液滴表面張力與振動周期的變化規律。其中，實驗的結果與Lamb[18]理論推導的忽略重力以及黏度的條件下液滴的自然振動周期結果相吻合。液滴在此過程中量綱1數范圍是Eo＜4、Re＜100、We＜1，表明重力場下由于液滴頸部拉伸斷裂產生的振動周期與Lamb推導的自然振動周期相一致，可按自然振動周期式（3）計算

當密度比γ較大時，浮力對對液滴的影響可以忽略，由此可將式（3）變形為式（4）。式（4）與簡諧運動的周期形式一致，相當于邊長為液滴等效半徑一半的正方體在回復力系數為σ的系統下簡諧運動的振動周期。Dubrovskii等[23]和Volkov等[24]通過實驗均得到液滴的振動周期隨粒增大而增大的變化規律，但若將式（1）代入式（4）中并消去粒徑、密度等變量，則可得

式中變量僅為針管直徑dc，與σ無關，即同一尺寸的針管所滴出的不同表面張力的液滴雖然粒徑不同但周期基本相同。圖5中也可看出外徑為1.61 mm的針管所滴出的液滴的振動周期均基本在21.4 ms左右呈直線分布，對上述理論進行了驗證。

圖6　表面張力對周期的影響Fig.6　Effect of surface tension on period

液滴的振幅通過對圖像處理分析得到。圖7(a)、(b)分別為σ=37.44～71.19 mN·m?1，de= 3.78 mm的液滴x軸、y軸振幅隨時間的變化規律。由于重力的作用，x軸振幅要小于y軸振幅，液滴由球形—扁橢球形—球形的時間Δt1也要略小于由球形—長橢球形—球形的時間Δt2。表3為σ= 71.19 mN·m?1，de= 3.78 mm的液滴下落過程中不同周期的周期長，雖然?t1＜? t2，但?t1、?t2、在下落過程中基本不變，最大偏差分別為6.3%、6.8%和5.7%，并且由現有數據可以得到?t1/ td≈0.45±0.05。

將圖7(a)、(b)曲線分解為4個分段正弦函數，設液滴橫軸（x軸）、縱軸（y軸）的最大最小振幅為?xmax、?xmin、?ymax、?ymin，則可建立描述液滴形變規律的數學模型式（6）、式（7），由于所測下落范圍限制，這里k≤12。

圖7　液滴振幅隨時間變化規律Fig.7　Amplitude changed by time

表3　不同周期的周期長度Table 3　Length of different period

圖8為de= 3.78 mm的液滴振幅的最大最小值隨表面張力變化的關系，隨表面張力增大振幅略有降低。液滴的最大最小振幅與其受力有關，低Re下曳力較小其影響可忽略，僅考慮表面張力和重力。根據量綱1數假設振幅的關系式為a(Eo?b)c。實驗數據擬合得到?xmax= 0.06(Eo?1)0.3，?xmin=?0.05Eo0.3，?ymax= 0.15(Eo?1)0.3，?ymin=? 0.1Eo0.3。這里所用數據為各周期和振幅的平均值，由于黏性耗散的作用，振幅逐漸衰減，在接下來的研究中將討論這個問題。通過擬合的半經驗公式與式（4）、式（6）、式（7）可在模型的角度對液滴自由落體的形態進行描述。

圖8　振幅隨表面張力變化規律Fig.8　Amplitude changed by surface tension

3　結　論

本文通過實驗方法對Eo＜4、Re＜100、We＜1下自由落體液滴在靜止流場中的形變規律進行了可視化研究，結果表明：

（1）液滴拉伸斷裂時，由于初始瞬態沖量引起表面附加壓力不平衡，導致液滴在下落后產生周期性振動；

（2）其他參數不變的情況下，隨著表面張力的減小，振動周期延長，振幅增大；

（3）采用口徑相同針管滴落不同表面張力液體，得到的液滴粒徑不同，但振動周期不變；

（4）由液滴拉伸斷裂引起振動的振動周期與Lamb的理想模型理論推導結果相一致，可按其導出公式計算，當密度比γ較大時，可看成是質量為(re/2)3ρl回復力系數為σ的系統下簡諧運動；

（5）建立了液滴形變規律的數學模型，液滴的形變是一個三維過程，由于實驗條件的限制本文僅從二維角度分析了其形狀變化的相關規律，接下來的研究中會著重從三維角度出發探究其形變規律。

符號說明

dc——針頭外徑，mm

de——液滴等體積當量直徑，mm

dx，dy——分別為液滴x軸、y軸直徑，mm

Eo——E?tv?s數，Eo= g?ρ de2/ σ

F——矯正系數，F= f( V / dc3)

g——重力加速度，m·s?2

Mo——Morton數，Mo= gμc?ρ/ ρc2σ3

p——表面附加壓強，Pa

Re——Reynolds數，Re=ρcurelde/μc

R1，R2——分界面上兩正交曲線的曲率半徑，m

re——等體積當量半徑，mm

td，Δt1，Δt2——分別為振動的周期、前半周期、后半周期，ms

uc，ul，urel——分別為周圍流場速度、液滴速度、流場與液滴間相對速度（urel= ul? uc），m·s?1

V——液滴的體積，mm3

We——Weber數，We=ρcurelde/ σ

Δx，Δy——分別為液滴橫軸、縱軸振幅

γ——密度比，γ= ρl/ ρc

κ——黏度比，κ=μl/μc

μc，μl——分別為周圍流場黏度、液滴黏度，Pa·s

ρc，ρl，Δρ——分別為周圍流場的密度、液滴的密度、液滴與流場密度差，kg·m?3

σ——表面張力，mN·m?1

下角標

c——周圍流體

e——當量長度

l——液滴

max，min——最大，最小

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Effect of surface tension on deformation of free falling drops

DING Siyuan, WANG Ruixiang, XU Rongji, ZHANG Yihao, CAI Jichi
(Beijing Engineering Research Center of Sustainable Energy and Buildings, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China)

Abstract:The deformation of moving drop plays an important role in its evaporation and combustion. Surface tension is one of the factors which influence the deformation. For investigating the effect of surface tension on the deformation, the low concentration SDBS surfactant water based solutions with surface tension in the range of 30 to 72 mN·m?1are used as the experimental liquid. The different sizes of needles are employed to get drops with diameter at 3—5 mm. The image processing is utilized to analyze the drop shape by using a high speed camera (Phantom V211, 1000 pps，800×600 pixel). The complete drop falling image process is assembled by 9 sections at different position with different drops. A stable drop formation time of (2.4±0.1) s makes the dispersion of size and initial velocity of these drops meet the experimental accuracy. Analyzing the experimental data by Image-pro plus obtains the semi-empirical correlations of E?tv?s number (Eo). The results show that the period and amplitude of drop deformation decrease with increasing surface tension. Furthermore, the momentum transfer inside the drop causes initial transient impulse, which makes the drop periodic deformation when it falls down.

Key words:evaporation; surfactants; surface tension; momentum transfer; drop; deformation; E?tv?s number

中圖分類號：O 353.1

文獻標志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）06—2495—08

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151867

基金項目：國家自然科學基金項目（51506004）。

Corresponding author:Prof. WANG Ruixiang, wangruixiang@ bucea.edu.cn