零點分布在直線上的亞純函數的正規定則

洪蘇敏,　劉曉俊

(上海理工大學 理學院,上海　200093)

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零點分布在直線上的亞純函數的正規定則

洪蘇敏,劉曉俊

(上海理工大學 理學院,上海200093)

摘要：對零點分布在給定直線上的亞純函數的正規性進行了討論,設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F滿足:f(z)=0?;f(z)的零點分布在一條給定直線上;f(z)的極點重數至少為≠zm,則F在區域D上正規.

關鍵詞：亞純函數; 例外函數; 零點; 正規族

1問題的提出

Bloch[1]曾經提出:相應于每一個Picard型定理,必定存在一個正規定則.

Picard型定理:設P是一個亞純函數的性質,若復平面上的亞純函數f在復平面上滿足性質P,即〈f,〉∈P,則必有f≡常數.根據Bloch原理,那么對于區域D上的亞純函數族F,它的每一個元素f在區域D上滿足性質P,即〈f,〉∈P,則必在區域D上正規.

1959年,Hayman[2]證明了如下的Picard型定理1,取性質P1={f(z)≠0,f(k)(z)≠1,k∈+}.

定理1設f為復平面上的亞純函數,若f∈P1,則f≡常數.

1979年,顧永興[3]證明了對應的正規定則,得到了定理2.

定理2設F為區域D的亞純函數族,k∈+,若對于任意的f∈F,f∈P1,則F在D內正規.

由此可見,上述性質P1滿足Bloch原理.

此后,楊樂[4]、龐學誠等[5-6]、方明亮等[7]、常建明[8]均對上述P1下所得的正規定則作了不同程度的推廣.

2013年,童曉麗等[9]首先考慮將“f(z)≠0”減弱為“f(z)的零點分布在一條給定的直線上”,得到了定理3.

定理3設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規:

b.f(z)的零點分布在一直線上;

c.f(z)的極點重級m≥3;

d.f′(z)≠1.

2014年,張培[10]將定理3中的條件“f′(z)≠1”改為“f′(z)≠z”,得到定理4.

定理4設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規:

b.f(z)的零點分布在一直線上;

c.f(z)的極點重級m≥3;

d.f′(z)≠z.

本文在上述定理的基礎上,將例外函數推廣到一般形式zm,得到定理5.

定理5設F是定義在單位圓盤D上的亞純函數族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規:

a.f(z)的零點分布在一直線上;

c.f(z)的極點重級l≥3;

d.f′(z)≠zm,這里m∈+.

下面通過一些例子來說明定理5中條件a和c的必要性.

例3取

簡單計算得

例4取

且簡單計算可得

當n→時,故顯然有fn=0?,且這里的M>0可取為任意小.但是,在z=0處不正規.實際上,這個例子是對例2中函數fn的兩個不同的重級零點作擾動所得.

例5取

上面的反例中當零點不位于直線時,都位于某個圓心在原點的圓周上,接下來研究是否存在其他情況.

例6取

簡單計算得

2相關引理

a. 點列zn→z0;

b. 函數列fn∈F;

c. 正數列ρn→0+.

引理2[1]設f在上非常值亞純,b≠0是復常數,k∈+,則f或f(k)-b有零點;若f為超越亞純函數,則f或f(k)-b有無窮多個零點.

引理3[12]設f為上有窮級亞純函數,則對于f的每一個非直接漸近值a,存在zn,使得f(zn)→a,且f′(zn)=0.

引理4[13]設f是上的亞純函數,其有限臨界值集和漸近值集有界,則存在正數r0,使得當>r0和>r0時,有

a.n=k,且n!an=1;

引理6設f是上的非常值有窮級亞純函數,M>0是常數,f(z)=0?,且f′(z)≠zm,則或者,其中是有窮復數,l∈+,或者,其中α(≠0),β是有窮復數.

故由Denjoy-Carelman-Ahlfors的結果,g(z)的直接漸近值≤2ρg個,于是g(z)的有窮臨界值和漸近值構成的集合有界.

不妨設R0是它的某個上界,則由引理4得

a.f(z)為多項式.

b.f(z)是非多項式有理函數.

因為f′(z)≠zm,所以h′(z)≠1.由引理5,得

則

即得引理6.

3定理5的證明

由定理3,只要證明F在z=0處正規即可.

假設F1在z=0處不正規.

由引理1,存在zn→0,ρn→0+,Fn∈F1,使得

其中,g為非常值有窮級亞純函數,且滿足g#(ζ)≤g#(0)=M+1.

斷言g′(ζ)≠1.

令

顯然

情況2.1G′(ζ)?ζm.

或

這里a,b≠0,c和α≠0,β都是復常數,l∈+.

不妨設M1(ξ)的零點分別為t1

另一方面,M1′(ξ)=(ξ+η)l-1[(m+1)·(ξ+γ)m(ξ+η)+l(ξ+γ)m+1+al/A],則-η作為M1′(ξ)的零點只可能是τj中的某個,故其重數只能是1,與l-1≥2矛盾.

于是,H(ξ)不存在,從而這樣的G(ζ)亦不存在.

于是,可以假設

再分兩種情況討論.

若存在η>0,使得fn在Δ(0,η)上僅以zn,j=ρnζn,j為零點,則令

但

矛盾.

于是,任意η>0,fn在Δ(0,η)內除zn,j(j=0,1,2)外至少還有一個零點,記為zn,3=ρnζn,3,顯然當n→時,ζn,3→.令,易得在*={0}上正規.

若Kn在z=0處正規,則Kn在上正規,記Kn?K在上.

故

但由

此時,若fn在Δ(0,δ)上僅有3個非零的零點zn,j=ρnζn,j,j=0,1,2,則在上有

但當n→時,

矛盾.

于是,fn在Δ(0,δ)上至少還有一個零點zn,3=ρnζn,3,ζn,3→,n→.

下面再分3種情況討論:

情況2.2G′(ζ)≡ζm.

4定理5的相關分析

在定理5的證明過程中,可得

這里b≠0是常數.若此時,G僅有簡單極點,則l=1,且

這里

由定理1的條件a可得,H的零點分布在一條直線上.不妨設其在實軸上,即H僅有實零點.因為degH=m+2,所以H有m+2個實零點(計重數).由羅爾定理得,H″有m個實零點(計重數).但H″(ζ)=(m+1)ζm-1[2ζ+m(ζ+c)],其至多僅有兩個不同零點.

a. 若c=0,則H″以0為m重零點,故當m≥2時,H至多僅有兩個不同零點.設H=(ζ-x0)p·(ζ-x1)q,由于

故x0≠x1.再由p+q=m+2≥4得,p≥2或者q≥2.若p,q≥2,則由羅爾定理得,H″至少有兩個不同零點,矛盾.故p,q中至少一個為1,不妨設p=1,q=m+1,則由b≠0得,x1≠0,故H=(ζ-x0)(ζ-x1)m+1,H″(x1)=0,矛盾.更進一步,若m=1,則不妨設

由于b≠0,且xi∈,故a≠0.兩邊展開比較得,-x0x1x2=2b.再由定理1的條件b得|G′(xi)|≤M|xi|,代入前式得,i.此時,若要求M≤1,則必有xjxk<0,則必存在某個j≠k,使得xj=xk.不妨設x0=x1,再由x0+x1+x2=0得,x2=-2x0≠0,再代入,得,矛盾.

故x0≠x1.再由p+q=m+2≥5得,p≥3或者q≥3.若p,q≥3,則由羅爾定理得,H″至少有3個不同零點,矛盾.故p,q中至少一個為2,不妨設p=2,q=m,則由m≥3得x1≠0,再由羅爾定理得,H″至少有3個不同零點,矛盾.

綜上所述,當函數族F僅有簡單極點時,其反例應該類似于例3. 同理可得,當F的極點為二重時,其反例也應該類似于例2或者例4.

參考文獻：

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(編輯:丁紅藝)

Normal Criterion of Meromorphic Functions Whose Zeros Distribute on a Certain Straight

LineHONG Sumin,LIU Xiaojun

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The normality of meromorphic functions whose zeros distribute on a certain straight lines was discussed and obtained:let F be a family of meromorphic functions on the unit disc D,if there exists M≥0,such that for each f∈F,f(z)=0?,all zeros of f(z) distribute on a certain straight line,all of whose poles have multiplicity at least 3,and ≠zm,z∈D,then F is normal on D.

Keywords：meromorphic functions; exceptional function; zeros; normal family

文章編號：1007-6735(2016)03-0211-07

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.002

收稿日期：2015-09-18

基金項目：國家自然科學基金青年基金資助項目(11401381)

通信作者：劉曉俊(1982-),男,副教授.研究方向:復分析.E-mail:xiaojunliu2007@hotmail.com

中圖分類號：O 174.52

文獻標志碼：A

第一作者： 洪蘇敏(1992-),女,碩士研究生.研究方向:復分析.E-mail:hongsuminyun@163.com