多自由度模型NOFRFs估計及損傷檢測的數值模擬

馬少花，李欣欣，2，鄭偉學，毛漢領，2

（1.廣西大學廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西 南寧530004；2.廣西大學機械工程學院，廣西 南寧530004）

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試驗與研究

多自由度模型NOFRFs估計及損傷檢測的數值模擬

馬少花1，李欣欣1，2，鄭偉學1，毛漢領1，2

（1.廣西大學廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西 南寧530004；2.廣西大學機械工程學院，廣西 南寧530004）

摘要：基于Volterra級數理論定義的NOFRFs相當于非線性系統中的“傳遞函數”，可很好的表征非線性系統的本質特性，是非線性檢測的重要工具。結合NOFRFs的一般估算理論，考察了脈沖錘擊信號的特點，進而推導了脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算方法。對一維八自由度模型的數值模擬分析，驗證了該估算方法的有效性，此外，還利用前人構建的NOFRFs指標實現了對該模型系統非線性特性的檢測。

關鍵詞：脈沖錘擊激勵；NOFRFs；非線性檢測；模擬仿真

隨著非線性理論的發展，非線性檢測問題已得到了各領域學者的廣泛關注，結構損傷、時間序列的混沌特性等均屬于非線性問題。程長明等［1，2］基于NARMAX模型和系統NOFRF提取結構的非線性特性，進而實現了對橋梁模型等結構的損傷檢測。姜可宇等［3］針對時間序列的非線性問題，基于非線性AR模型，提出以該模型的非線性檢測量來檢測時間序列混沌特性的非線性檢測方法。鑒于非線性現象在實際工程中普遍存在，因此有必要建立一種方便、快速的檢測系統非線性的方法。

眾所周知，系統傳遞函數是一種很好的直接表征系統本質特性的方式。基于Volterra級數理論定義的NOFRFs，相當于非線性系統的“傳遞函數”，可很好的刻畫系統的內在本質特性。Peng和Lang等［4］提出了NOFRFs的一般估算方法，使得NOFRFs在檢測系統非線性方面得到了廣泛應用。Peng等［5-7］利用各階NOFRFs之間的關系實現了對一維循環結構非線性的檢測；此外，他們還基于系統各階NOFRFs值實現了對損傷梁非線性特性的檢測［8］。韓清凱等［9］基于NOFRFs值實現了對轉子系統內部非線性特性的識別。員險峰、李志農等［10，11］利用各階NOFRFs值實現了轉子系統非線性程度分有效辨識。

利用NOFRFs實現對系統非線性特性有效檢測的前提是準確、快速的估算系統的NOFRFs。考慮到非線性檢測的實用性，本文針對實際工程中易獲取的脈沖錘擊信號，結合NOFRFs的一般估算理論，提出并推導了脈沖錘擊激勵下NOFRFs的算法。基于該算法，結合Lang等［12］提出的NOFRFs指標，實現了對一維八自由度彈簧質量塊模型系統的非線性檢測和分析。

1　NOFRFs理論

若系統輸入信號能量有限，則可用Volterra級數表示連續時不變非線性系統，其輸出頻譜可以如下表示［13］：

其中：Y（jω）和U（jω）分別是系統輸入和輸出頻譜，Hn（ω1，…，ωn）是n階Volterra頻域核，即廣義頻率響應函數 （General frequency response function，GFRF）.對任意結構，其動態特性都可由GFRF來描述，然而由于GFRF Hn（n=1，…，N）是多維的，在實際中很難測量、表示和解釋。

在非線性系統的Volterra級數理論基礎上，Lang等人［14］提出了非線性輸出頻率響應函數（Non-linear Output Frequency Response Function，NOFRF）。若

從上式（2）看出，Gn（jω）是Hn（jω1，…，jωn）在頻域ω1+ωn=ω上的加權和，其權數由輸入信號決定，故而Gn（jω）也可像Hn（jω1，…，jωn）一樣，表征系統的動態特性。

結合公式（1）和（2），系統的輸出譜表示為：

圖1　線性系統、非線性系統的輸入/輸出譜之間的關系

2　脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算

2.1脈沖激勵下NOFRFs的估算方法

錘擊法具有設備簡單、操作方便、獲取數據快速高效等特點，在實際工程中應用廣泛。眾所周知，基于錘擊法得到的脈沖錘擊信號并沒有確定的數學表達式，這就給估算系統NOFRFs造成了困難。幸運的是，許多研究表明［15-17］，當選定力錘參數（包括力錘質量、錘頭材質等）及錘擊對象后，僅通過控制錘擊速度的大小便可獲得波形相似、脈沖寬度相同、僅力幅不同的脈沖錘擊信號。基于實測脈沖信號的這些特性，實際應用中可通過合理的選取力錘參數及控制錘擊速度獲取滿足NOFRFs估算條件的脈沖錘擊信號，進而可實現對系統各階NOFRFs的估算。

假設力錘質量、錘頭材質、錘擊對象均已確定，下面介紹實際工程應用中脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算過程：

首先，用力錘以不同錘擊速度敲擊被測結構次，分別以力傳感器和加速度傳感器收集相應的激勵信號、響應信號；

其次，按圖1（b）所示方法對個脈沖錘擊信號進行重構，并對重構信號和響應信號進行傅里葉變換，分別得到

最后，利用最小二乘法解上述方程組，即可得到錘擊激勵下系統的前N階NOFRFs.

2.2基于NOFRFs構造檢測指標

NOFRFs是一維函數，方便表達和解釋，易從輸入/輸出中辨識得到，它可很好的表征系統本質特性的變化，然而直接對比各階NOFRFs值來實現對系統非線性特性的檢測并不夠簡便明了。為方便分析，Peng和Lang等人基于NOFRFs提出了一種簡潔的指標：

3　數值仿真分析

以圖2所示的是一維八自由度彈簧質量塊為仿真模型［13］，以半正弦信號模擬實測的脈沖錘擊信號，對該激勵下該模型系統的NOFRFs進行估算，并利用上節介紹的NOFRFs指標Fe的對該模型的非線性特性進行檢測。

圖2　一維八自由度彈簧質量塊模型

該模型的非線性系統運動方程為：

其中：x（t）＝［x1（t），…，x8（t）］'是位移向量，M、C、K分別是該模型的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，相應模型參數為m1=… =m8=1 kg，k1=… =k8=3.5531×104 N/m，C=μK，非線性力NF（t）設置在第3個和第4個質量塊之間，即

輸入激勵為半正弦脈沖激勵，作用在第6個質量塊上，即

其中，An為脈沖幅值，Tc為脈沖持續時間。考慮計算該一維八自由度質量塊模型的前四階NOFRFs，故只需用四組幅值不同、脈沖寬度相同的半正弦脈沖信號激勵該系統即可。

3.1NOFRFs的估算

由于該估算過程是基于仿真模型進行的，不存在環境因素、人為因素等方面的干擾問題，故估算該模型的前4階NOFRFs，無需其他信號處理方式，只需以不同幅值的半正弦信號激勵系統4次即可。下面詳細介紹正常狀態（NF（t）＝［0］）和損傷狀態（NF（t）≠［0］）下一維八自由度彈簧質量塊仿真模型的前4 階NOFRFs的估算過程。

（1）以幅值不同的四組半正弦脈沖信號ui（t），i＝1，2，3，4分別激勵正常情況下的一維八自由度彈簧質量快系統，分別獲取四組半正弦脈沖及其響應信號，如圖3所示。

圖3　四組激勵及其響應信號時域圖

（2）對四組半正弦脈沖信號進行重構，并通過福利也變換獲取各重構信號的傅里葉譜，獲取四組響應信號的傅里葉譜；

（3）根據（2）中計算的輸入、輸出信號的傅里葉譜，構建4元方程組如下：

（4）用最小二乘法解上述4元方程組，即可得到正常情況下的前4階NOFRFs，其頻譜圖如圖4所示。

圖4　正常情況下系統的前4階NOFRFs

（5）以（1）中的四組半正弦脈沖信號激勵損傷情況下的一維八自由度彈簧質量塊系統，并按（2）～（4）步，計算出損傷情況下的前4階NOFRFs，響應頻譜如圖5所示

圖5　損傷情況下系統的前4階NOFRFs

3.2基于NOFRFs指標的非線性檢測

根據公式（5）分別計算正常和損傷情況下，該仿真系統的NOFRFs指標，如表1所示。

表1　不同狀態下的NOFRFs指標Fe（n）的值

由表1可知，正常情況下系統的Fe（1）＝1，其他各階NOFRFs指標均很小；而損傷情況下，系統的Fe （1）＜1，且其他高階NOFRFs指標相對正常情況下的同階NOFRFs指標而言，均有大幅增加。為方便比較正常和損傷情況下各階NOFRFs指標的變化量，作相應指標值的直方圖如圖6所示。

圖6　不同狀態下NOFRFs指標Fe的對比直方圖

從上述NOFRFs指標Fe（n）值及其直方圖的分析可知，正常和損傷情況下系統各階NOFRFs在整個NOFRFs中所占的比例不同，換句話說，即系統損傷前后相應的NOFRFs指標Fe（n）值會有所變化。故可通過比較和分析NOFRFs指標Fe（n）值的變化，判別被測系統是否損傷，即是否呈現出非線性狀態。

4　結束語

（1）錘擊法在工程實際中應用廣泛，且具有簡便、經濟、高效等優點，通過錘擊法獲取脈沖錘擊信號及其響應信號，進而估算相應的NOFRFs，具有很好的實際應用性。

（2）相比以往利用振動信號間接獲取系統非線性特性的方法而言，利用非線性系統“傳遞函數”——NOFRFs可直接提取系統的本質特性，因而基于NOFRFs的方法在系統非線性檢測方面更有效。

（3）NOFRFs可很好的表征系統內部特性的變化，更好的提取脈沖錘擊激勵下NOFRFs的敏感非線性特征量，實現對系統微弱非線性的檢測，有待于進一步研究。

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Damage Detection Simulation and Estimation of NOFRFs on Multi-Degree Freedom Model

MA Shao-hua1，LI Xin-xin1，2，ZHENG Wei-xue1，MAO Han-ling1，2
（1.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing System&Advanced Manufacturing Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China；2.College of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Abstract：The NOFRFs defined by the Volterra series behave as the transfer function of nonlinear systems and can represent the nature of nonlinear systems.The NOFRFs theory provides an important tool for nonlinear detection. Based on the general estimation theory of NOFRFs and the characteristics of impulse hammer excitation，a new estimation method of NOFRFs under impulse hammer excitation came up.The numerical simulation analysis on the eight-degree freedom model demonstrates the effectiveness of the new estimation method.Besides，the nonlinear detection for the foregoing model is realized using the NOFRFs index put forward by the predecessors'.

Key words：impulse hammer excitation；NOFRFs；nonlinear detection；simulation

中圖分類號：TH17

文獻標識碼：A

文章編號：1672-545X（2016）03-0001-04

收稿日期：2015-12-04

基金項目：國家自然科學基金（51365006，51445013）及廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室課題（14-045-15S05）項目。

作者簡介：馬少花（1990-），女，山東新泰人，碩士研究生，研究方向為狀態監測與故障診斷。