基于有限元理論的含裂紋結構1/4奇異單元計算分析

黃翱　　楊大尉　　鄭健

(廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧　530004)

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基于有限元理論的含裂紋結構1/4奇異單元計算分析

黃翱楊大尉鄭健

(廣西大學土木建筑工程學院，廣西南寧530004)

摘要:介紹了ANSYS中1/4奇異單元的構造，采用1/4奇異單元進行了算例計算，并將結果與解析解作了對比，分析了該奇異單元的精度與應用范圍，得出了采用奇異單元進行斷裂分析的特性。

關鍵詞:1/4奇異單元，有限單元法，斷裂分析，應力強度因子

隨著現代高強材料和大型結構的廣泛應用，一些按傳統強度理論和常規方法設計、制造的產品，發生了不少重大斷裂事故。如20世紀50年代，美國北極星導彈固體燃料發動機發射時發生低應力脆斷;1965年，英國某大型合成塔在水壓試驗時斷裂成兩段。事后的調查分析都指出事故起源于構件中的裂紋。

在分析裂紋的理論中，傳統的強度理論通常按照式(1)進行計算:

從式(1)可以看出，傳統強度理論并沒有考慮材料中是否有缺陷，對有缺陷的材料，傳統強度理論往往不能對安全可靠性做出正確的判斷。因此有必要對裂紋區進行進一步詳細的分析。

隨著計算機技術的發展以及大型通用計算軟件的出現，人們越來越多的將目光轉向數值方法進行分析計算斷裂問題。數值法能夠模擬復雜的幾何外形、邊界條件以及荷載工況，結合先進的計算機技術，數值法得到了廣泛應用，其中形成于20世紀60年代的有限元方法發展尤其迅速。為了解決由于裂尖應力應變r－1/2的奇異性造成的計算不準確的問題，誕生了斷裂分析的特殊單元，該類單元通常自身應變場具備奇異性，其中以傳統的1/4節點奇異單元最具代表性，它已發展出二維的8節點四邊形奇異單元、6節點三角形奇異單元和三維的12節點四面體單元、20節點六面體單元。GRAY［1］對奇異單元進行了改進，在形函數中加入三次項，該形函數使單元位移在裂尖遠場具有線性而在裂尖依舊保持奇異性，改進的奇異單元比普通奇異單元具備更高的精度。然而奇異單元依舊存在應力強度因子(SIF)的計算精度依賴于奇異區大小的人為選取、后處理麻煩的缺陷［2，3］，故應分析其適用范圍及計算精度。

1　1/4奇異單元的構造

常見的四邊形奇異單元法由8節點等參元將邊中節點移至近裂尖1/4單元邊長處，從而使單元的應力應變具有r－1/2的奇異性。

如圖1所示，8節點四邊形等參單元(角點i=1，3，5，7)，在單元局部坐標系Oξη中的形函數可以表示為:

上下邊中間節點(i=2，6):

左右邊中間節點(i=4，8)。

于是在邊η=－1上有:

經過裂尖的徑向線段123，如圖2所示。

圖18　節點等參元

圖2　奇異性構造原理

在以裂尖O為原點的坐標系中，有:

在單元局部坐標系中有:

通過坐標變換可以得到該線段上任意一點的坐標為:

在式(8)中令l=1/4，則可得到:

在一維單元中，該線段上任意節點的位移可以插值表示為:

應變可表示為:

而:

因此:

所以有任意節點的應變為:

由式(14)可看出，當r→0時有ε→∞，即裂尖應變具有r－1/2的奇異性，在彈性范圍內σ=Eε，應力在裂尖同樣具備奇異性。ANSYS中將8節點四邊形奇異單元的一條邊壓縮成一點，改進后任何沿裂尖出發的射線，其應力、應變都呈r－1/2的奇異性，構造的奇異單元如圖3所示。

圖3　2-D模型的奇異單元

2　算例分析

如圖4所示兩邊有穿透裂紋的有限寬板，兩端承受均布拉力f作用。材料彈性模量E=206×109Pa，泊松比μ=0．3，平板及裂紋尺寸如圖4所示。分析Ⅰ型應力強度因子KⅠ與文獻［4］中解析解的差異。

選用Plane82單元進行分析，該單元有8個節點，每個節點有2個自由度，分別為x和y方向的平移，既可用作平面單元，也可用作軸對稱單元。Plane82單元具有塑性、蠕變、輻射膨脹、應力剛度、大變形以及大變異的能力，可以很好的模擬平板受力的平面應力問題。以a/b=0．2為例，這時的應力分布云圖如圖5所示。

圖5　a/b=0.2時的應力分布圖

為了分析對比有限元解與理論解，下面將a/b的值從0．1到0．65變化時有限元得出的KⅠ值與解析解得出KⅠ進行對比。結果列于表1中。

表1　不同裂紋寬度的KⅠ

由表1可以看出，數值解與解析解的誤差穩定在8%～10%以內，同時對于兩邊有穿透裂紋的有限寬板，裂紋寬度的變化對于數值解與解析解的偏差影響不大，但在a/b=0．5時KⅠ的偏差有一個增大的突變，說明1/4奇異單元的解不是很穩定。

為了比較網格劃分粗細對KⅠ計算結果的影響，在a/b=0．2時裂尖取不同數目的奇異單元進行計算各自的KⅠ并以解析解為基準進行誤差分析。計算結果見表2。

表2　裂尖奇異單元數對KⅠ計算結果的影響

由表2可以看出，裂尖奇異單元個數對計算精度影響不大，即裂尖網格不必劃分的很細即可得到穩定的結果。但同時數值解與理論解的偏差值始終在8%～10%之間，說明奇異單元的精度有待提高。

3　結語

本文通過詳細介紹1/4奇異單元的構造過程說明其可以滿足裂尖r－1/2奇異性的要求，因此能夠應用到斷裂問題的計算中。對比了用ANSYS中1/4奇異單元計算得到的Ⅰ型裂紋的應力強度因子KⅠ與解析解給出的KⅠ，并且分析了用奇異單元計算應力強度因子時裂尖劃分不同單元數得出的KⅠ的差異;進一步給出了奇異單元進行斷裂分析時的特性。結果表明:

1)1/4單元在裂尖可以不必進行精細的網格劃分即可得到較準確的應力強度因子的值。2)不同裂紋長度進行斷裂分析時，1/4奇異單元的計算結果可能不穩定，但偏差不是很大。3)1/4奇異單元計算的結果與解析解的偏差總是大于8%，即使細分網格也不能有顯著提高，說明1/4奇異單元的計算精度有待改進。

參考文獻:

［1］ L．J．GRAY，A．V．PHAN，Glaucio H．PAULINO．Improved quarter-point crack tip element［J］．Engineering Fracture Mechanics，2003，70(2):269-283．

［2］Pengcheng F U，Scott M．JOHNSON，Randolph R．SETTGAST，et al．Generalized displacement correlation method for estimating stress intensity factors［J］．Engineering Fracture Mechanics，2012(88):90-107．

［3］Toshiyuki MESHII，Katsuhiko WATANABE．Stress intensity factor error index for finite element analysis with singular elements［J］．Engineering Fracture Mechanics，2003，70(5):657-669．

［4］ 尹雙增．斷裂、損傷理論及應用［M］．北京:清華大學出版社，1992．

［5］ 王勖成．有限單元法［M］．北京:清華大學出版社，2003．

［6］程靳，趙樹山．斷裂力學［M］．北京:科學出版社，2006．

［7］ 王新敏．ANSYS工程結構數值分析［M］．北京:人民交通出版社，2007．

中圖分類號:TU311

文獻標識碼:A

文章編號:1009-6825(2016)17-0034-03

收稿日期:2016-04-04

作者簡介:黃翱(1989-)，男，碩士，工程師;楊大尉(1992-)，男，在讀碩士;鄭健(1990-)，男，在讀碩士

On 1/4 singular element calculation and analysis of cracked structures based on finite element theory

Huang AoYang DaweiZheng Jian
(College of Architectural Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China)

Abstract:Based on the finite element theory，the paper introduces the 1/4 singular element calculation in ANSYS，undertakes the comparison between results and analytical solution，analyzes the accuracy and applied scopes of the singular elemnt，and concludes the features for the crack analysis of the singular element．

Key words:1/4 singular element calculation，finite element method，crack analysis，stress intensity factor