火箭TVC伺服系統頻率特性測試算法研究

錢昌年 姜晨維 傅俊勇

1.上海航天控制技術研究所，上海2011092.上海市伺服系統工程技術研究中心，上海201109

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火箭TVC伺服系統頻率特性測試算法研究

錢昌年1,2姜晨維1,2傅俊勇1,2

1.上海航天控制技術研究所，上海2011092.上海市伺服系統工程技術研究中心，上海201109

總結歸納了火箭TVC(Thrust Vector Control)伺服系統常用頻率特性測試方法的原理和特點，發現了相關分析法和傳統最小二乘擬合法的等價性質。提出一種改進的最小二乘擬合法，通過引入高次項使算法具有了對復雜漂移干擾的處理能力。定義了算法的評價準則，使用數值仿真分析了4種測試算法的性能，得出了不同算法在不同場合的適用性結論，仿真結果表明在復雜漂移干擾下本文提出的新算法精度高于其他3種傳統算法。

TVC伺服系統；頻率特性；相關分析法；最小二乘擬合法

火箭伺服系統是火箭推力矢量控制(TVC)伺服系統的簡稱，是火箭姿態控制系統的子系統，負責調整火箭發動機噴管的擺角。其頻率特性是重要的考核指標，運載火箭伺服系統普遍使用正弦逐點掃描法(簡稱掃頻法)測試頻率特性。從掃頻數據求取頻率特性，常見的方法有FFT計算法、相關分析法(COR)、功率譜法(PSD)和最小二乘擬合法(LSQ)等[1-5]。對于實際伺服系統，掃頻數據除受噪聲影響外，還受結構諧振及其他因素引入的數據漂移影響，嚴重的數據畸變給頻率特性的求取帶來了困難。文獻中對上述算法的研究多關注于算法的應用，對算法的適用性、魯棒性及準確性少有研究[6-7]。本文對FFT計算法、相關分析法、功率譜法和最小二乘擬合法的原理和實現方法進行分析和總結，并提出了一種精度更高的處理方法。

1 問題背景

以某型伺服系統為例，當輸入正弦信號頻率為14.32Hz、幅值為0.4°時，輸出信號如圖1所示，信號頻譜如圖2所示。輸出信號受噪聲影響嚴重；漂移特性復雜，其影響難以靠簡單方法去除；諧振影響明顯，位于30Hz的諧振頻率成分量級較大且位置接近掃頻試驗的最高頻率25Hz，對試驗結果的影響不可忽略。經過濾波、去除均值和去除趨勢處理后，依然不能有效消除該信號畸變(如圖3)，在某些開環掃頻場合，漂移干擾更加復雜。

由于各種原因，測試得到的數據可能存在頻率成分不單一，分布不均勻且不夠平滑的問題，故有必要研究不同頻率特性計算方法的適用性，或改進現有計算方法，提高對復雜干擾的處理能力。

圖1 伺服系統掃頻信號(14.32Hz)

圖2 伺服系統掃頻信號頻譜(14.32Hz)

圖3 經過預處理的伺服系統掃頻信號(14.32Hz)

2 頻率特性測試方法

2.1 FFT計算法

使用FFT算法分別計算輸入和輸出信號的頻譜，對頻譜的幅值求商，相位求差，就可以得到系統的頻率特性。

離散輸入序列傅里葉變換表示為XFFT(k)，k=0,1,…,L-1，設輸出信號的FFT結果為YFFT(k)，則系統的頻率特性可以寫為

(1)

其中，round(·)表示四舍五入取整；Fs為采樣頻率；2πFs/L表示頻譜的頻率分辨率(rad/s)。

通常情況下感興趣的頻率點ω不是2πFs/L的整數倍，當2πFs/L較大時，由式(1)近似處理帶來的誤差較大。

2.2 相關分析法

設輸入信號為x(t)=Axsin(ωt)，則線性系統的輸出信號可以表示為

(2)

要計算系統在ω的頻率特性只需求得基波成分的幅值和相位即可。將式(2)展開，得到

(3)其中,an=Ancosθn，bn=Ansinθn。 分別計算y(t)與sin(ωt)，cos(ωt)的互相關函數P，Q(時間差為0)

(4)

(5)

其中，N為正整數，表示進行積分的基波周期個數；T為基波周期。P和Q也可以視為輸出信號y(t)的傅里葉級數中基波成分的系數。

根據式(4)和(5)可以解得

(6)

(7)

將該方法應用于離散信號，設系統輸入信號為x(n)，輸出信號為y(n)，其中n=0,1,2,…,L-1，數據采樣周期為Ts。將式(4)和(5)中的積分運算替換為求和運算，得到

(8)

(9)

其中,tn=nTs。該方法運算量較小，在頻率特性測試軟件中應用廣泛[2-3]。

2.3 功率譜法

設輸入輸出信號分別為序列x(n)，y(n)，n=0,1,2,…,L-1，是各態遍歷的寬平穩隨機信號，且均值為0。輸入信號的自功率譜和輸入輸出信號的互功率譜分別為

(10)

(11)

其中，“*”表示復共軛。根據式(10)和(11)解出系統的頻率特性

(12)

在上述推導過程中使用了寬平穩各態遍歷且均值為0的假設，但工程實踐證明該方法對信號的適應性較強，可以適用于白噪聲、正弦逐點掃描信號、Chirp信號和Multitone信號等。工程上常使用周期圖法和welch法等計算信號功率譜[8]，在精度要求不高的場合可以作為一種快速算法。

2.4 最小二乘擬合法及其改進

設系統的輸入信號為序列x(n)=Axsin(ωnTs)，n=0,1,2,…,L-1，其中Ts為采樣周期。在傳統最小二乘法中假設輸出信號為

y(n)=Aysin(ωnTs+θ)
=Aysin(ωnTs)cosθ+Aycos(ωnTs)sinθ
=φn·K′

(13)

基于此輸出形式，使用最小二乘方法求解未知參數矩陣K′，進一步即可求解輸出信號的幅值Ay和相位θ，這是傳統最小二乘法的思路。

可見，傳統最小二乘法將輸出信號作為理想信號處理，忽略了實際信號中可能存在的噪聲、漂移和諧振干擾，用于處理圖1信號的精度有待驗證。

為了提高最小二乘擬合法對復雜信號的處理能力，可以對傳統方法進行改進，在輸出方程中增加關于時間的高次項，用于擬合復雜漂移，將干擾從實際信號中分離出來，使輸出信號的幅值和相位求取免受干擾影響。系統輸出可以表示為

y(n)=k0+k1nTs+k2(nTs)2+…+
kN′(nTs)N′+Aysin(ωnTs+θ)
=k0+k1nTs+k2(nTs)2+…+
kN′(nTs)N′+Aysin(ωnTs)cosθ+
Aycos(ωnTs)sinθ

(14)

其中，N′表示漂移干擾的最高階次。將nTs用tn代替，將式(14)寫成矩陣形式，得到

y(n)=φn·K

(15)

其中，

定義輸出矩陣

其中，L為輸入輸出序列的長度。定義輸入矩陣

(16)

則存在關系式

Y=Φ·K

(17)

式(17)的最小二乘解為

K=(ΦTΦ)-1ΦTY

(18)

若求出K，可進一步求出Ay與θ，則系統頻率為ω時的頻率特性可以表示為

(19)

工程上一般認為最小二乘法的處理精度最高[1]，上述擬合方法對傳統最小二乘擬合方法進行了改進，既具有傳統最小二乘方法對噪聲和諧振干擾魯棒性強的優點，而且能處理具有復雜漂移特性的信號，該方法的處理效果將在后續部分驗證。

2.5 最小二乘擬合法與相關分析法的聯系

當不考慮輸出信號的復雜漂移干擾時，即采用傳統最小二乘擬合法求取系統的頻率特性，參數向量為

(20)

對應于N個周期輸出數據的輸出矩陣為

(21)

其中,L=NT/Ts。 根據式(18)，最小二乘解可以寫為

(22)

應用三角函數正交性，將上式進一步化簡得到

(23)

將式(23)與(8)和(9)對比發現

(24)

即傳統最小二乘法的計算結果與相關分析法計算結果僅相差一個比例常數，由2種方法計算得到的頻率特性是一致的。可以得出傳統最小二乘擬合法在數據長度為整數個周期時與相關分析法等價。

3 處理方法對比

為客觀比較幾種方法的處理效果，應建立統一評價準則對處理方法進行驗證。首先對比FFT、相關分析法(COR)、功率譜法(PSD)、傳統最小二乘法(LSQ)和改進最小二乘法(LSQ2)的處理結果，接著使用傳統最小二乘法和改進后的方法處理圖1中數據，證明改進方法的有效性。

圖4 仿真信號生成原理

3.1 評價標準

構造一組正弦逐點掃描信號x(n)，該信號由一組頻率遞增的正弦波組成，正弦波的頻率為{ω1,ω2,…,ωNp}，NP為頻率點的數量。如圖4所示，x(n)通過一個二階系統(ω0=62.8rad/s，ξ=0.25)，分別加入噪聲干擾r(n)、諧振干擾w(n)和漂移干擾f(n)，得到具有確定幅值衰減和相位滯后的輸出信號y(n)，理想二階系統的頻率特性表示為G0(jω)。

(25)

定義偏差向量

(26)

定義以下評價標準

(27)

M=max(Ek),k=1,2,…,Np

(28)

其中，V用來衡量整體偏差，M用于衡量偏差的最大程度，數值越大表示偏差越明顯。

3.2 特性分析

輸入信號的幅值為1，正弦波的頻率為{1Hz,2Hz,…,20Hz}，采樣周期Ts=0.002s，使用Matlab/m語言編寫代碼來求取系統的頻率特性。

圖5 受噪聲干擾時的處理誤差

3.2.1 噪聲干擾抑制能力

當輸出信號僅受噪聲干擾時(噪聲呈正態分布，均值為0，標準差為0.12)，計算5種方法的處理結果與理想特性的偏差，如圖5所示，FFT方法的誤差較明顯，在10Hz之后偏差較大；功率譜法在高頻段也有較大誤差。評價指標見表1和2，FFT方法的處理精度明顯差于其他4種方法。

3.2.2 諧振干擾抑制能力

伺服系統在運行過程中，發動機部件或測量結構部件的結構諧振會干擾輸出結果，如果諧振頻率在掃頻信號的頻率范圍之內，則其對測量精度的影響不可忽略。在數據中加入12Hz的正弦干擾，對應于每個掃頻點的干擾信號幅值為

(29)

其中，fk=1Hz,2Hz,…,20Hz。即越靠近12Hz，諧振干擾的量級越大。處理結果如圖6所示，評價指標見表1和2，FFT計算法處理結果與精確特性的偏差較大，功率譜法的計算精度也不理想，其余3種方法對諧振干擾的抑制能力較強。

圖6 受諧振干擾時的處理誤差(圖例同圖5)

表1 整體偏差V比較

干擾FFTCORPSDLSQLSQ2噪聲0.09330.04480.05380.04430.0416諧振0.17570.05220.05530.05180.0465漂移0.77360.06340.23450.06030.0413

表2 最大偏差M比較

3.2.3 復雜漂移干擾抑制

在實際測試過程中，測試信號可能受到各種復雜因素引起的漂移干擾，掃頻信號中加入均值為0的干擾

f(n)=e(3nTs/NT)-E(e(3nTs/NT))

(30)

其中，N為掃頻信號周期數量；T為掃頻信號周期；E(·)為求平均函數。式(30)用于模擬圖1中的漂移干擾，即信號整體隨時間不同程度偏移零位。5種方法的處理結果如圖7所示，評價指標見表1和2，FFT計算法的相位偏差達到40°，功率譜法的最大相位偏差接近20°，已沒有參考價值。通過評價指標可以看到改進后的最小二乘擬合法在處理漂移干擾方面的能力要強于傳統最小二乘法和相關分析法，具有最高處理精度。

圖7 受漂移干擾時的處理誤差(圖例同圖5)

4 實際信號分析

根據以上仿真結果，FFT方法和功率譜法在干擾較嚴重時不宜使用，而改進后的最小二乘法具有最高精度。現在以圖1數據為例，檢驗相關分析法、傳統最小二乘法和改進方法應用于實際系統的處理效果，處理結果見表3。 對于圖1所示14.32Hz信號，改進后的最小二乘法將頻響幅值處理精度提高0.72dB，相位處理精度提高0.1°。

表3 實際數據處理結果

5 結論

通過推導4種頻率特性測試算法的原理，發現了相關分析法和傳統最小二乘法的等價性質。針對工程實際中掃頻信號畸變嚴重的情況，提出了一種新的處理方法，有效排除了信號中漂移干擾的影響。通過仿真證明了在大漂移干擾下，新算法的精度高于其他常規方法。

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Research on Frequency Response Detecting Algorithms for Launch Vehicle Servo System

Qian Changnian1,2, Jiang Chenwei1,2, Fu Junyong1,2

1. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China 2. Shanghai Engineering Research Center of Servo Systems, Shanghai 201109, China

Thegeneralalgorithmsfordetectingfrequencyresponseforlaunchvehiclethrustvectorcontrol(TVC)servosystemaresummarizedandanalyzed,andtheequivalencerelationshipbetweentraditionalleastsquarequadratic(LSQ)algorithmandcorrelation(COR)algorithmisdemonstrated.AnovelalgorithmbasedonLSQmethodisthenpresented,andinwhich,highordertermsareintroducedtoprocessthedriftinterference.Theeffectivenessofthealgorithmproposedisdemonstratedbysimulation.

TVCservosystem;Frequencyresponse; COR; LSQ

2015-06-18

錢昌年(1987-),男，甘肅武威人，碩士，工程師，主要從事火箭伺服系統控制研究；姜晨維(1987-),男，上海人，碩士，工程師，主要從事火箭伺服系統控制研究；傅俊勇(1972-)，男，江蘇鹽城人，碩士，研究員，主要從事火箭伺服技術研究。

V475.1

A

1006-3242(2016)03-0014-05