基于“當前”統計模型的后向迭代CKF算法研究*

吳博，劉鵬遠，李寶晨

(軍械工程學院,河北 石家莊　050003)

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基于“當前”統計模型的后向迭代CKF算法研究*

吳博，劉鵬遠，李寶晨

(軍械工程學院,河北 石家莊050003)

摘要：針對機動目標的非線性跟蹤問題，提出了基于“當前”統計模型的容積卡爾曼濾波(CS-CKF)。針對新算法對目標加速度階躍機動跟蹤延遲過大的問題，研究了后向迭代算法在估計精度和動態響應速度上的特點，提出了基于“當前”統計模型的后向迭代容積卡爾曼濾波算法。最后通過仿真實驗比較了本文提出的CS-CKF算法和CKF算法的濾波效果。結果表明CS-CKF算法濾波效果優于CKF算法。

關鍵詞：機動目標跟蹤；非線性濾波；“當前”統計模型；容積卡爾曼濾波；后向迭代算法；動態特性

0引言

隨著技術的進步及其在軍事上的應用，空中目標的機動性大幅度提升使得目標跟蹤系統動態性增強，而且雷達探測的雙坐標體制使得量測方程存在非線性變換。因此，機動目標的非線性跟蹤成了一個亟待解決的問題。

由于目標機動的不確定性，建立的目標模型與實際情況往往存在偏差。近年來，對機動目標建模問題的研究很多，提出了一些實用的模型。其中“當前”統計模型(current statistical，CS)[1-2]是在singer模型基礎上的加速度均值自適應改進，其反映的目標機動變化更符合實際。量測方程的非線性處理方法主要有擴展卡爾曼濾波(EKF)[3-4]、無跡卡爾曼濾波(UKF)[5-6]、容積卡爾曼濾波(CKF)[7-8]。其中CKF能夠避免EKF的高階截斷誤差，同時其在高維系統的性能優于UKF[9-10]。

選取“當前”統計模型作為目標模型，采用CKF算法處理量測方程的非線性問題，提出了將兩者相結合的基于“當前”統計模型的容積卡爾曼濾波算法(CS-CKF)。后向迭代算法通常用于對濾波過程的平滑以減小濾波方差，提高濾波精度。研究發現，后向迭代算法由于使用了當前時刻的狀態估計進行二次濾波，使得系統的動態特性優于一般算法。為了解決CS-CKF在跟蹤目標加速度階躍機動時估計延遲較大的問題，引入后向迭代算法對原算法進行改進。Monte-Carlo仿真結果表明，新算法能夠有效跟蹤機動目標，其性能優于傳統CKF算法。

1“當前”統計模型和容積卡爾曼濾波

1.1“當前”統計模型

(1)

式中：amax，a-max為事先設定的加速度極限值。

1.2容積卡爾曼濾波

容積卡爾曼濾波算法是Ienkaran Arasaratnam和Simon Haykin在2009年提出的非線性濾波算法[11]。容積卡爾曼濾波利用根據三階球面-相徑容積規則選取容積點，將這些點經系統的非線性函數傳遞，再將傳遞后的點進行加權處理，用以近似狀態后驗均值和協方差。

考慮到如下非線性離散方程組：

Xk=f(Xk-1,Uk-1)+Wk-1，

Zk=h(Xk)+Vk，

(2)

式中：Xk和Zk表示狀態向量和量測向量；Uk-1是輸入矩陣；f(·)和h(·)為系統的狀態函數和量測函數；系統噪聲Wk-1是0均值方差為Qk的高斯白噪聲；量測噪聲Vk是0均值方差為Rk的高斯白噪聲，Wk-1和Vk互不相關。

時間更新

(3)

(4)

(5)

量測更新

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2基于“當前”統計模型的容積卡爾曼濾波

2.1狀態方程

以二維空間定位為例，假設目標和觀測站在同一水平面，觀測的位置在坐標原點O(0,0)目標T從(xk,yk)處出發機動，rk表示觀測站和目標的徑向距離，θk表示觀測站和目標連線與x軸的夾角，如圖1所示。

圖1　目標-觀測站位置示意圖Fig.1　Schematic diagram of target locationand observation station

通過“當前”機動模型建立目標的狀態方程為

(11)

Xk+1=Φ0Xk+Wk,

(12)

式中：

2.2量測方程

假設雷達只能測量目標的距離和方位角，根據圖(1)中的幾何關系可以得出

(13)

于是可以得到包括目標距離和方位角信息的量測方程[12-13]：

(14)

在CKF濾波過程中需要用式(12)代替式(4)，用式(14)代替式(7)，將當前統計模型計算得到的Qk帶入式(5)，就得到基于“當前”機動模型的容積卡爾曼濾波算法。

2.3后向迭代算法

雖然CS-CKF能較好的跟蹤上目標的狀態，但是在仿真中可能出現對目標的加速度階躍機動跟蹤滯后，會導致濾波器的位置估計出現很大的偏差。為了解決這一問題，提高CS-CKF在目標加速度階躍機動時的估計精度，文中引入了后向迭代算法對CS-CKF進行了改進，如圖2所示。

通常經過一次濾波以后得到的結果已經可以消除大部分誤差，故可以利用得到的當前時刻狀態估計值與前時刻狀態估計值進行后向處理，將得到的結果重新作為當前時刻的濾波初始值再次進行濾波[14-15]。這種后向迭代算法有2個優點：

(1) 第1次濾波已經濾除大部分誤差，所以第2次濾波時得到的結果精度將優于第1次濾波的結果；

(2) 第2次迭代濾波的初始值中含有本時刻的量測信息和狀態估計，所以系統的反應速度會比沒有后向迭代的濾波算法快一個采樣步長，能夠有效改善系統的動態響應特性。

圖2　后向迭代算法改進的CS-CKF流程圖Fig.2　Flow chart of backward iterative improved CS-CKF algorithm

根據上文的理論分析，經過后向迭代算法改進后的CS-CKF算法流程為：

Step 1：根據2.1和2.2的描述進行第1次CS-CKF濾波，得到第1次k+1時刻的系統狀態估計和系統誤差協方差矩陣。

Step 2：結合k時刻系統狀態估計和第1次濾波得到的k+1時刻系統狀態估計，經過后向處理得到新的k時刻系統狀態估計和系統系統誤差協方差矩陣。

Step 3：將后向處理得到的新k時刻系統狀態估計和誤差協方差矩陣作為k+1時刻CS-CKF的濾波初始值，按照第1次濾波的計算流程進行第2次迭代濾波，得到新的k+1時刻系統狀態估計和系統誤差協方差矩陣作為濾波器的k+1時刻輸出和下一時刻的濾波初值。

后向處理包括狀態向量處理和誤差協方差處理，其理論推導如下：

(15)

(16)

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

結合以上得到的結果代入式(16)得到狀態的后向處理結果：

(21)

誤差協方差矩陣的后向處理過程如下：

(22)

將式(22)移項得

(23)

用式(23)每一邊的轉置乘以自身可得

(24)

式中：

(25)

(26)

同理可以得到

(27)

將式(26)和式(27)代入式(24)可得誤差協方差的后向處理結果：

(28)

3仿真校驗

為了檢驗新算法在動態特性上是否得到改善，進行了跟蹤機動目標的仿真實驗，并與傳統CKF算法跟蹤結果進行了比較，驗證了新算法的有效性。

仿真實驗條件：觀測站固定于原點，起始位置和速度分別為(10，7)km和(20，20)m/s，目標在x方向上0～25 s做勻速直線運動，第25～50 s做加速度為5g的加速機動，50～125 s做勻速直線運動。觀測角度上的噪聲為0.003 rad，觀測距離上的噪聲為40 m。經過200次的Monte Carlo仿真CS-CKF算法和CKF算法的性能比較如圖3所示。

通過圖3中的數據比較可以看出，當目標加速度保持不變時，CKF和CS-CKF的跟蹤性能相近。當目標發生加速度階躍機動時，圖3a)顯示CS-CKF算法響應比CKF算法快1～2個采樣步長，反應在速度誤差上則表現為動態誤差較小，收斂速度更快。圖3c)，3d)2圖中，CKF在機動時間點后觀察距離和角度誤差出現了2個明顯的峰值；CS-CKF算法在同樣的時間點處雖然誤差有所增大，但是與整體誤差水平相差不大，說明CS-CKF算法在距離和角度上明顯優于CKF算法。

表1中的數據顯示，CS-CKF算法跟蹤加速度、速度、距離以及角度的誤差方差都要小于CKF算法，這說明CS-CKF算法的濾波結果更加平滑；CS-CKF算法距離誤差和角度誤差的最大值明顯小于CKF的誤差最值，說明CS-CKF的動態響應速度更快，能更好地跟蹤目標機動。

表1　CKF與CS-CKF對加速度階躍機動的跟蹤效果比較

圖3　CKF與CS-CKF對加速度階躍機動的跟蹤效果比較Fig.3　Comparison between CKF and CS-CKF tracking targets with step acceleration maneuver

4結束語

為了得到對機動目標跟蹤精度更高的非線性濾波器，提出了基于“當前”統計模型和容積卡爾曼濾波算法。針對新算法對加速度階躍機動存在較大延遲的問題，研究了后向迭代算法在濾波精度和動態響應速度上的優點，并將后向迭代算法應用于CS-CKF算法的改進，最終得到了基于“當前”統計模型的后向迭代容積卡爾曼濾波器。通過跟蹤進行加速度階躍的機動目標軌跡，對常規CKF和本文提出的CS-CKF的濾波效果進行了比較。仿真實驗結果表明，本文提出的CS-CKF算法能夠有效跟蹤目標加速度階躍機動軌跡，并且在動態響應速度和跟蹤精度上優于傳統的CKF算法。

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Backward Iterative Improved Cubature Kalman Filter Based on Current Statistical Model

WU Bo，LIU Peng-yuan，LI Bao-chen

(Ordnance Engineering College,Hebei Shijiazhuang 050003,China)

Abstract:In order to solve the problem of nonlinear maneuvering target tracking, a new cubature Kalman filter based on “current” statistical model (CS-CKF) is studied. According to the problem of excessive delay on the step acceleration maneuvering during target tracking, a backward iterative algorithm that amends the last state estimation with the predicted current state is analyzed and applied for improving. Finally, the two kinds of typical maneuvering models are applied to CKF and CS-CKF, and the effects of the two algorithms are compared. The simulation results show that CS-CKF algorithm is better than the CKF algorithm.

Key words:maneuverable target tracking; nonlinear filtering; “current” statistical model; cubature Kalman filter; backward iterative algorithm; dynamic characteristics

*收稿日期：2015-04-20；修回日期：2015-07-07

作者簡介：吳博(1990-)，男，福建漳州人。碩士生，主要研究領域為武器系統建模與仿真。

通信地址：050003河北省石家莊市和平西路97號4系中程防空導彈教研室E-mail：bluegd@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.007

中圖分類號：TJ765；TP391.9

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-03-0038-06

導航、制導與控制