帶落角約束的自適應滑模變結構導引律*

張寬橋，楊鎖昌，陳鵬，王剛

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊　050003)

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帶落角約束的自適應滑模變結構導引律*

張寬橋，楊鎖昌，陳鵬，王剛

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊050003)

摘要：針對某些制導武器在精確命中目標的同時還要滿足落角約束的要求，基于滑模變結構理論，提出一種帶落角約束的自適應滑模變結構導引律。考慮末端彈目視線角速率變化劇烈和變結構抖振現象的問題，選取相對速度偏角作為滑模面，引入落角約束項；將目標機動視為有界干擾，利用Lyapunov理論進行了穩定性分析；采用變開關系數法和飽和函數法相結合的方法，大大削弱了變結構的抖振現象。最后，將該導引律應用于導彈實際模型中進行對比仿真，結果表明所提導引律針對固定目標和機動目標，相比傳統方法，都能以更小的脫靶量和落角誤差命中目標。

關鍵詞：導引律；落角約束；滑模變結構；相對速度偏角；有限時間收斂；自適應趨近律

0引言

在現代戰爭中，如何提高制導武器的命中精度和毀傷效能，一直是許多國內外學者研究的熱點問題。對于很多制導武器而言，如反坦克導彈、反艦導彈等， 不僅希望能夠以較高的精度準確命中目標，還希望能以一定的落角擊中目標，以大大增加戰斗部的毀傷效能。因此，在設計導引律時，落角約束就成了必須考慮的問題[1]。

鑒于滑模變結構控制對于參數攝動和外界干擾具有很強的自適應性和魯棒性，再加上其控制算法較為簡單，很多文獻基于變結構控制理論，通過將終端角度約束條件納入滑動模態從而推導出具有落角約束的變結構導引律[2-8]。文獻[2]在比例導引方法的基礎上，基于變結構控制理論提出了一種帶落角約束的變結構導引律，并對機動目標具有很好的魯棒性；文獻[3]針對機動目標，在球坐標系下構建了彈目三維相對運動模型，基于滑模控制理論，設計了一種能夠實現垂直擊中機動目標，且對目標機動加速度的變化有很強的魯棒性和適應能力的帶攻擊角度約束的三維制導律；文獻[4]在考慮落角約束的同時，還加入了對攻擊時間的約束，但是這兩種變結構導引律形式都過于復雜；文獻[6]將滑模控制方法用于解決導彈對目標攔截時的攻擊角度約束問題，并采用飽和函數法代替符號函數，用以削弱滑模面抖振現象；文獻[8]針對無動力再入飛行器的末制導問題，提出了以滑模控制理論為基礎的導引律，保證命中精度的同時滿足落角要求。上述這些文獻基本都以彈目視線角速率或彈目相對距離與視線角速率的乘積作為滑模面，同時引入終端角度約束，但視線角速率隨彈目相對距離的減小會劇烈變化，使得制導武器在末端姿態變化較大，穩定性較差。針對這個問題，文獻[9-10]選取相對速度偏角作為滑模面，設計了基于零化相對速度偏角的變結構末制導律，但是沒有對落角約束、抖振削弱問題和有限時間收斂特性進行分析和研究。

本文在文獻[10]的基礎上，基于變結構理論，設計了針對固定目標和機動目標的帶落角約束的自適應滑模變結構導引律，并對其制導性能進行了分析。導引律選取相對速度偏角和落角約束項作為滑模面，采用自適應指數趨近律，能夠自適應的調節趨向滑模面的速率，將目標運動信息視為有界干擾；運用Lyapunov穩定性理論對其穩定性進行了分析，同時對滑模面有限時間可達性進行了證明；綜合采用變開關系數法和飽和函數法對其抖振現象進行了抑制。最后，將該引入到導彈的實際模型中進行對比仿真分析，結果表明，所提導引律能夠很好滿足制導精度和落角約束的要求，能以更小的脫靶量和落角誤差精確命中目標，驗證了所提導引律的有效性和優越性，且所設計導引律形式簡單，易于工程實現。

1彈目相對運動模型

在進行導引律設計前，首先以縱向平面為例，建立彈目相對運動模型，如圖1所示。在建模過程中，作出如下假設：

(1) 導彈和目標視為質點；

(2) 導彈和目標的加速度矢量方向與速度矢量方向垂直，即施加在導彈和目標上的加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。

圖1　縱向平面內彈目相對運動模型Fig.1　Missile to target motion model in longitudinal plane

在圖1中，M表示導彈，T表示目標，vm為導彈速度，θm為導彈彈道傾角，am為導彈加速度，vt為目標速度，θt為目標航跡傾角，at為目標加速度，r為彈目之間相對距離，q為彈目視線角，vr為彈目相對速度，即vr=vm-vt，ar為彈目相對加速度，ηr為彈目相對速度偏角，即彈目相對速度方向與彈目視線之間的夾角。規定所有角度逆時針方向為正，反之為負。

基于上述假設及彈目相對運動關系，可以得出彈目相對運動關系方程組：

(1)

2俯仰通道導引律設計與分析

2.1帶落角約束的滑模導引律的推導

從圖1可以看出ηr=q-θr，當q=θr時，即ηr=0，能夠保證導彈命中目標，并且制導末端ηr不會像q那樣隨著彈目相對距離的減小而急劇增大，因此選擇ηr作為滑模面，不僅能夠解決q在制導末端劇烈變化的問題，還能以準平行接近法對目標進行攻擊，彈道更平滑，對控制系統的要求相對較低，同時考慮到末端角度約束的問題，因此選取的滑模面切換函數為

s1=ηr+k1(q-qd)，

(2)

式中：k1>0；qd為期望落角。切換函數的第1項使彈目相對速度偏角趨近于0，保證導彈能夠命中目標，第2項保證終端落角約束要求。

為保證有限時間到達滑模面，可對系統進入滑模動態前的過程(趨近律)進行設計[11]。對于趨近律的選擇，常用的主要有等速趨近律、指數趨近律、冪次趨近律等，為保證到達條件和良好的動態性能，以及考慮控制系統的時變性，選取一種對時變參數具有自適應能力的指數趨近律[12]，其形式如下：

(3)

式中：k2>0，ε1>0。該趨近律的自適應性主要體現在滑模面切換函數向滑模面運動的速率隨著r的變化進行自適應調整。在末制導開始階段，r值較大，趨近速率較慢，產生的制導指令較為適度，能夠有效避免制導指令出現飽和，同時減小彈上各部件的負擔，不至于產生較大的過載，隨著r逐漸減小趨近于零，趨近速率迅速增大，促使s1收斂到0避免發散。正是趨近律函數的自適應性，使得設計的導引律具有了自適應性，并且當s1趨近于零時，趨近速率約為ε1/r，能夠保證有限時間到達滑模面。

由圖1可得

ar=amcos(q-ηr-θm)-atcos(q-ηr-θt)，

(4)

(5)

綜合式(4)和式(5)可得：

(6)

對式(2)進行微分可得

(7)

將式(6)帶入式(7)，然后結合式(3)可得

(8)

(9)

(10)

在導彈實際制導控制過程中，對于目標的運動加速度以及方位信息是很難獲得的，通常通過卡爾曼濾波技術進行在線估計，但可能會存在很大的誤差，所以式(10)中的atcos(q-ηr-θt)項很難進行計算。在實際交戰過程中，目標的速度和機動能力遠小于導彈，且目標的機動有一定的范圍，假設 |at| ≤M，其中M為目標可能的最大機動加速度值，則有atcos(q-ηr-θt)≤M。基于變結構控制對外界干擾的魯棒性，可將目標的機動項視為有界干擾，對式(10)進行簡化可以得到帶落角約束的自適應滑模變結構導引律形式為

(11)

由圖2彈目相對速度關系可以得到：

(12)

從而得到彈目相對速度以及彈目相對速度偏角的表達式：

(13)

2.2非奇異性分析

從式(11)可以看出所設計的導引律中存在三角函數分母項vmcos(q-ηr-θm)，需要對其非奇異性進行證明。

由圖1知：

vrcosηr=vmcos(q-θm)-vtcos(q-θt)，

(14)

vrsinηr=vmsin(q-θm)-vtsin(q-θt).

(15)

將式(14)和式(15)左右兩邊分別乘以cosηr和sinηr，然后兩式相加得

vr=vmcos(q-θm)cosηr+vmsin(q-θm)sinηr-

vtcos(q-θt)cosηr-vtsin(q-θt)sinηr=

vmcos(q-θm-ηr)-vtcos(q-θt-ηr).

(16)

從而可以得到：

vmcos(q-θm-ηr)=vr+vtcos(q-θt-ηr)≥vr-vt.

(17)

在導彈對目標進行攻擊的過程中，導彈的速度遠大于目標的速度，因此，彈目相對運動速度要大于目標的速度，即vr-vt>0，則由式(17)可得vmcos(q-θm-ηr)>0，從而證明了式(11)所得的導引律方程是非奇異的。

2.3穩定性分析

(18)

將式(9)帶入式(18)得

(19)

對于制導武器而言，末制導時間是有限的，因此必須保證有限時間內系統狀態到達滑模面。所以必須對滑模面有限時間可達性進行證明，保證末制導系統的穩定性。本文基于有限時間穩定性理論[13]對滑模面有限時間可達性進行如下證明：

由式(19)可得

(20)

對式(20)進行積分求解可得

(21)

V=0，t≥tr，

(22)

令V(0) = 0，即可得到系統狀態完成趨近過程到達滑模面所用時間為

(23)

從式(23)可以看出，到達滑模面所需時間與制導參數成正比關系，與ε1成反比關系，因此通過增大k1減小ε1的值，可以有效減小到達滑模面所需時間，因此可以保證在末制導段內系統到達滑模面。

2.4削弱抖振

雖然變結構控制具有對控制系統的參數攝動和外部干擾的強魯棒性，但卻是以控制量的高頻抖振為代價來換取的。抖振現象是變結構控制本身固有的，它不僅會降低系統控制精度，而且還會破壞系統性能，因此，如何大大降低抖振的影響，就成為了提高變結構導引律的關鍵問題[14]。為削弱抖振，很多學者進行了相應的研究，目前較為常用的方法有飽和函數法、變開關系數法、雙曲正切函數法等，本文將變開關系數法和飽和函數法進行結合，并應用于制導律的設計中以削弱抖振。

飽和函數法是將不連續的符號函數進行連續化，將符號函數用式(24)替換：

(24)

式中：δ>0，為一較小數，一般稱為邊界厚度，也稱為消顫因子[15]。由式(24)結合導引律形式，可以看出δ與制導控制指令的大小成反比關系，較小的δ能夠增強控制效果，但是取值過小會增大抖振。因此需要根據實際情況選取適當的δ值，達到消弱抖振同時不影響控制效果。

變開關系數法主要通過改進ε1的形式，增加其自適應性，從而達到降低抖振的目的。一般的趨近律將ε1設為定值，若取值較小，趨近滑模面的速率較慢，能有效降低抖振，若取值過小，會導致趨近滑模面的時間很長，滑模變結構控制就失去了意義。針對這個問題，本文對ε1的形式進行改進，使其隨著r的變化自適應調整，其具體形式如下：

ε1=a1r+b1，

(25)

式中：a1>0，b1>0，其取值與ε1的上下限和r的初值有關。

當r逐漸趨于0時，可由ε1的下限確定b的值，保證制導系統處在滑模控制下；在末制導段，根據r的最大值和ε1的上限，可以確定a1的取值，在保證系統較快的趨近滑模面的同時降低抖振幅值。

利用式(24)代替符號函數，并將式(25)帶入式(11)中可得改進后的導引律形式為

(26)

3偏航通道導引律設計

在水平面內建立彈目相對運動模型，如圖2所示。

圖2　水平面內彈目相對運動模型Fig.2　Missile to target motion model in lateral plane

(27)

(28)

4仿真分析

為驗證所設計的導引律的有效性和優越性，將所設計的帶落角約束的自適應滑模變結構導引律(VSG)引入某型反坦克導彈實際數學模型中進行對比仿真分析。在地面慣性坐標系下，選取發射點為坐標原點，導彈初始位置為xm0=ym0=zm0=0m，初始速度為0，目標初始位置為xt0= 2 000 m，yt0=zt0=0m，當導彈發射后在Ox軸方向運動距離為800 m時，開始進入末制導段，并規定此時刻為仿真零時刻，即t= 0。將本文設計的導引律與帶落角約束的比例導引律(BPN)進行對比仿真，比例導引律的表達形式如下：

(29)

式中：θ和ψ分別為彈道傾角和彈道偏角；q和λ分別為縱向平面和水平面內彈目視線角；Kq和Kλ為比例導引系數；qd為期望落角；tgo為剩余飛行時間；Rr和vr為彈目距離和相對速度；Rrx和Rry為x軸和y軸上彈目之間距離。

下面根據目標運動狀態以及期望落角不同分為3種場景進行仿真分析。

仿真場景1：目標為固定目標，設定的期望落角為-50°。

仿真結果如表1和圖3～5所示。表1為針對固定目標，2種導引律制導性能的仿真結果對比。圖3為2種不同制導體制下，導彈和目標在空間中的運動軌跡，由于導彈在末制導段前為程序控制段，因此導彈運動軌跡在前半段重合；由于采用自適應指數趨近律，在末制導初段彈目距離較大，趨近速率較慢，控制指令較為適度，所以末制導初段VSG彈道較高，隨著彈目距離減小，滑模面趨近速率增大，控制指令也相應增加，所以末制導段后期VSG和BPN的彈道高度基本一致，驗證了VSG算法的自適應性。圖4為導彈姿態角的變化曲線，圖5為導彈在彈體坐標系下所受過載曲線。

表1　場景1制導仿真結果

圖3　導彈和目標相對運動軌跡Fig.3　Trajectory of missile and target

圖4　導彈俯仰角、偏航角、滾轉角變化曲線Fig.4　Changing of pitching angle, yaw angle, rolling angle

圖5　導彈過載變化曲線Fig.5　Changing of missile overload

仿真場景2：目標為機動目標，在水平面內作蛇形機動；目標以20 m/s的速度沿Oz方向運動，沿Ox方向的加速度為atn=10 costm/s2，設定期望落角為 -50°。

其仿真結果如表2和圖6～8所示。表2為針對機動目標，2種導引律算法制導性能的仿真結果對比。圖6為導彈和目標在空間內的運動軌跡，目標沿z軸方向作蛇形機動。圖7為導彈姿態角變化曲線，圖8為導彈過載曲線，針對機動目標，VSG的末端過載相比BPN較大。

表2　場景2制導仿真結果

圖6　導彈和目標相對運動軌跡Fig.6　Trajectory of missile and target

圖7　導彈俯仰角、偏航角、滾轉角變化曲線Fig.7　Changing of pitching angle, yaw angle, rolling angle

仿真場景3：目標為固定目標，期望落角分別為-30°,-50°,-70°,-80°。

仿真結果如表3所示。表3為針對固定目標，導彈在不同期望落角下，2種不同導引律作用時，產生的脫靶量、實際落角以及末制導時間等性能指標的對比仿真結果，可以看出，兩者末制導時間基本一樣，脫靶量和實際落角相差較大。

圖8　導彈過載變化曲線Fig.8　Changing of missile overload

期望落角/(°)導引律脫靶量/m實際落角/(°)末制導時間/s-30BPN1.2332-28.77218.566VSG0.4195-30.74428.540-50BPN2.4382-43.56928.716VSG0.7595-48.33798.784-70BPN4.1829-60.75518.942VSG1.2954-69.05019.182-80BPN5.0846-69.14259.092VSG1.4941-77.98979.374

綜合以上3種場景的對比仿真結果可以發現采用VSG和采用BPN制導過程所用時間基本一樣，時間相差最大的也僅是VSG比BPN多用了0.28 s，因此VSG能夠滿足制導過程時間限定的要求。從圖3和圖6以及表1可以看出，采用VSG導彈的脫靶量最小為0.419 5 m，最大為1.494 1 m，對于反坦克導彈等精確命中打擊武器而言，VSG能夠很好滿足導彈的命中精度要求。在相同的仿真環境下，采用BPN其脫靶量最小為1.233 2 m，最大為5.084 6 m，對于反坦克導彈等精確打擊武器所打擊目標的特征長度而言，此脫靶量明顯很大，基本不能達到對目標的直接命中打擊的目的。因此，無論對于固定目標和機動目標以及不同落角要求，VSG的制導精度明顯優于BPN，同時也體現出了VSG對不同制導環境的適應性。

從圖4和圖7以及表1可以看出，在相同落角要求下，采用VSG得到的實際落角相比BPN更加接近期望落角，其落角誤差明顯更小，即使在期望大落角80°的情況下，依然能夠滿足落角約束要求，且僅相差2°。從圖5和圖8可以看出，采用VSG其對導彈的過載要求相比BPN基本一樣，在末端略大于BPN，同時抖振現象得到了很好的抑制，因此，不需要對導彈性能提出更高要求。

通過3種場景的仿真實驗結果可知，所提導引律對于固定和機動目標，都能以期望的落角命中目標，對機動目標具有很好的魯棒性。

5結束語

本文選取相對速度偏角和落角約束條件作為滑模面，基于變結構控制理論提出了一種帶落角約束的滑模變結構導引律，并證明了其穩定性，同時對其抖振進行了削弱，通過將其引入導彈實際模型進行對比仿真，結果表明，在不需提高導彈性能的前提下，針對固定目標和機動目標，其制導精度、落角約束和魯棒性方面遠優于比例導引律，能夠大幅提高制導武器的制導性能，具制導律形式簡單，具有很好的工程適用性。

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Adaptive Sliding Mode Variable Structure Guidance Law with Impact Angle Constraint

ZHANG Kuan-qiao, YANG Suo-chang, CHEN Peng, WANG Gang

(Ordnance Engineering College,Departmen of Missile Engineering，Hebei Shijiazhuang 050003, China)

Abstract:Aiming at the requirements of some guided weapons with attack accuracy and impact angle constraint, an adaptive sliding mode variable structure guidance law with impact angle constraint is proposed based on sliding mode variable structure control theory. Considering the rapid change of terminal line of missile-target sight angle sequence and the chattering phenomenon of variable structure, this guidance law chooses relative velocity deflection angle as the sliding mode, introduces the angular constraint, regards the target maneuvering as limited disturbance, and the stability of the guidance law is analyzed by using Lyapunov theory. Meanwhile, the chattering phenomenon is substantially weakened by the combination of variable switching term and saturation function. Finally, the simulation is made by applying the guidance law to the missile real model, and the results show that compared with traditional algorithm, the designed guidance law can hit the target with less miss distance and impact angle

Key words:guidance law; impact angle confinement; sliding-mode variable structure; relative velocity deflection angle; finite time convergence; adaptive approach law

*收稿日期：2015-01-26；修回日期：2015-06-25

作者簡介：張寬橋(1992-)，男，安徽蚌埠人。碩士生，主要研究方向為精確制導理論與技術。

通信地址：050003河北省石家莊市和平西路97號研3隊E-mail：zkuanqiao@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.008

中圖分類號：TJ765；TP202；TP391.9

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-03-0044-08

導航、制導與控制