穩健的雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤算法*

張正言,周青松,黃中瑞,徐旭宇

(1.電子工程學院,安徽 合肥　230037；2.中國人民解放軍73677部隊，江蘇 南京　210016)

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探測跟蹤技術

穩健的雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤算法*

張正言1,周青松1,黃中瑞1,徐旭宇2

(1.電子工程學院,安徽 合肥230037；2.中國人民解放軍73677部隊，江蘇 南京210016)

摘要：針對雙基地多輸入多輸出(MIMO)雷達變速目標角度跟蹤問題，提出了基于變遺忘因子的跟蹤算法。首先研究了遺忘因子對算法的收斂速率和跟蹤性能的影響；其次借鑒變步長最小均方(LMS)算法的思路，提出遺忘因子的遞推公式；最后將遺忘因子遞推公式引入PASTd算法中，實現變速目標的收發角度跟蹤。實驗表明：算法的收斂速度和性能都有較大的提高，穩定性得到了增強。

關鍵詞：雙基地MIMO雷達；變速目標；角度跟蹤；變遺忘因子；旋轉不變子空間技術；緊縮近似投影子空間跟蹤

0引言

近年來，多輸入多輸出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)雷達作為一種新的雷達體制受到了廣泛關注，與傳統相控陣雷達不同的是，MIMO雷達能顯著提高系統的目標檢測、跟蹤、識別和參數估計等性能[1]。在雙基地MIMO雷達目標定位中，目標的發射角(DOD)和接收角(DOA)是需要被估計的主要參數[2-6]。但是當目標運動時，文獻[2-7]中的算法性能會急劇下降甚至失效。目前大部分關于雙基地MIMIO的文獻都是針對目標靜止的情況，不能適用于目標運動的情況，因為這類算法大多是基于子空間類算法，需要進行協方差矩陣的估計和分解，這就會出現2個問題：一是協方差矩陣的估計需要大量的快拍數，而目標運動時，接收的數據對應的角度在不同快拍數是不同的，大量的快拍數會造成目標角度的失真；二是協方差矩陣的估計與分解，運算量較大，不能夠實時的給出目標位置，而運動目標位置是變化的，需要給出目標的實時位置，否則跟蹤算法是沒有意義的。

關于MIMO雷達角度跟蹤的研究還處于起步階段，文獻[8]提出PARAFAC自適應算法并且應用到單基地MIMO雷達，成功實現了目標角度的跟蹤。文獻[9]簡單的利用PASTd算法實現了雙基地MIMO雷達角度的跟蹤，但是上述算法需要額外的數據相關運算。文獻[10]提出Kalman-PASTd算法，應用到單基地MIMO雷達中，能夠實現自動相關運算。然而PARAFAC算法、PASTd算法和Kalman-PASTd算法都有較高的運算復雜度。文獻[11]提出了一種適合單基地MIMO雷達的低復雜度角度跟蹤算法，但是該算法只適用于單基地MIMO雷達，而雙基地MIMO雷達的聯合方向矢量更加復雜，文獻[11]的算法不再適用。

文獻[8-11]的算法只適合目標運動速度不變的情況，在PASTd算法中的遺忘因子是恒定的。PASTd算法基本思想是將RLS-like(recursiveleasesquare-like)算法應用到信號子空間跟蹤中。在RLS算法中，遺忘因子λ在收斂性、精度和穩定性起到至關重要的作用，遺忘因子的取值范圍在0～1，當遺忘因子接近1時，算法有較好的穩定性和跟蹤性能，但是收斂速度較慢，跟蹤能力較差；當遺忘因子降低時，收斂速度變快，跟蹤能力加強，但是穩定性和跟蹤性能變差。目前最小二乘變步長算法已經很成熟，有大量的變步長算法，變步長算法和變遺忘因子算法有相似之處。因此，為了解決RLS算法對遺忘因子要求的矛盾，本文借鑒LMS算法中變步長的思想，提出基于變遺忘因子的雙基地MIMO雷達的角度跟蹤算法。

1信號模型

假設雙基地MIMO雷達收發陣元均是均勻分布的，收發陣元個數為N和M個，陣元間距dt和dr為波長λ的一半。雙基地MIMO雷達的配置如圖1所示。

圖1　雙基地MIMO雷達收發陣元配置Fig.1　Arrays configuration of bistatic MIMO radar transceiver

假設有P個遠場運動目標，假設目標是非相干的，在t時的目標的收發角度為[(θt,1,φt,1),(θt,2,φt,2),…，(θt,P,φt,P)]，則到達第N個接收陣元的信號為

(1)

(2)

2算法描述

2.1遺忘因子的遞推公式

首先，考慮目標運動過程中速度發生變化的情況，即目標角度變化速率不能再看做恒定時。當遺忘因子固定時，只對某一運動速度具有較好的跟蹤性能，對于其他速率的跟蹤性能較差。文獻[12]已經證明LMS變步長方法中的步長與RLS算法中的1-λ的作用相同，文獻[13]已經成功將變步長的思想應用到了RLS算法中，因此，本文將變步長的思想應用到PASTd算法中。在LMS算法中，有如下的變步長策略：

(3)

式中：β為最大步長;ρ為控制μ(n)形狀的參數；e(n)為誤差;e(n)的變化用來控制步長的變化。

由于u(n)與1-λ(n)的作用相同，不妨設u(n)=1-λ(n)，則λ(n)=(1-β)+βe-ρ|e(n)|2=λmin+(1-λmin)e-ρ|e(n)|2，

(4)

由于β是最大步長，所以λmin=1-β，λmin為極小遺忘因子。

(5)

式中：y(k)=WH-(k-1)x(k)。

Rxy(k)=λRxy(k-1)+x(k)yH-(k)，

(6)

Ryy(k)=λRyy(k-1)+y(k)yH-(k).

(7)

由先驗信息得到估計誤差

e(k)=x(k)-W(k-1)y(k)，

(8)

式中：x(k)為當前接收到的數據；W(k-1)為滿足上一時刻代價函數最小的子空間，當信號角度變化速率小時，誤差e(k)小，當信號角度變化速率大時，誤差e(k)變大。信號角度速率變化大時，需要相對較小的遺忘因子提高收斂速度，提高跟蹤能力。信號角度速率變化較小時，需要相對較大的遺忘因子提高跟蹤的性能和穩定性。可以看出PASTd算法中的誤差e(k)與式(4)中的e(n)作用相同，因此可以用e(k)代替e(n)。式(4)計算較復雜，用2代替e作為底數，對其改進得到PASTd算法的遺忘因子遞推公式：

(9)

從式(9)中可以看出，當目標角度變化速率增大時，e(k)的模值增大，λ(n)接近于極小值λmin，保證收斂速度，當目標角度變化速率減小時，e(k)的模值減小，λ(n)接近于1，保證算法的性能。ρ是一個參數，控制系統敏感度。

在開始跟蹤的初始階段，或者當目標運動速度相對較大時，稱為目標位置發生突變，這時系統處于不穩定狀態，算法未收斂，誤差e(k)極大，式(9)中的極小值λmin無法滿足此時的收斂速度要求，需要設置一個最小的遺忘因子λzmin。下面給出這種情況下的遺忘因子選取策略：

If|e(k)|2>δ

λ(n)=λzmin

(10)

End

式中：δ為門限，當誤差的模值大于δ，認為此時系統處于不穩定狀態，選取遺忘因子等于最小值λzmin，加快收斂速度，使系統盡快進入穩定狀態。

2.2PASTd算法

在PASTd算法中，信號子空間可以通過最小化下面的目標函數得到：

tr(C(t))-2tr(WH(t)C(t)W(t))+

tr(WH(t)C(t)W(t)WH(t)W(t))，

(11)

在1≤i≤t內的所有數據都被用來估計時刻t的信號子空間，當目標運動時，λ用來確定時刻t之前數據的權重，能夠更好地滿足跟蹤要求，提高跟蹤效果。

可以采用快速遞歸最小二乘法求解目標函數的最小值，當信號處于慢變或靜止時，W(i)r(i)可以和W(i-1)r(i-1)非常接近，算法收斂。

下面給出PASTd算法的具體步驟：

Fort=1:Ns

x1(t)=r(t)

(12)

Fork=1:P

(13)

βk(t)=λβk(t-1)+|yk(t)|2

(14)

(15)

xk+1(t)=xk(t)-Wk(t)yk(t)

(16)

Endfor

Endfor

可以證明由W(i)張成的信號子空間與Us(t)張成的信號子空間相同，即span{W(t)}=span{Us(t)}，因此可以通過PASTd算法獲得信號子空間，避免了互相關矩陣的特征值分解，減小了大量的計算量，因此PASTd算法適合跟蹤運動目標的DOD和DOA。

2.3基于變遺忘因子的改進算法

把變遺忘因子遞推公式引入到PASTd算法中，將改進后的PASTd算法歸納如下：

Fort=1:Ns

x1(t)=y(t)

(17)

Fork=1:K

(18)

βk(t)=λ(t-1)βk(t-1)+|yk(t)|2

(19)

e(t-1)=xk(t)-wk(t-1)yk(t)

(20)

(21)

xk+1(t)=xk(t)-Wk(t)yk(t)

(22)

If|e(k)|2>δ

(23)

else

λ(t)=λmin+(1-λmin)2-ρ|e(t-1)|2

(24)

End

Endfor

Endfor

2.4正交化過程

(25)

wr+1(t)=v/‖v‖，

(26)

通過上面的步驟得到了信號子空間W(t)。

2.5收發角度的估計及配對

Ur2=Ur1Ψr.

(27)

對Ψr特征值分解得到Φr，Φr包含所有的DOA的信息[14]，

Ψr=T-1ΦrT.

(28)

Ut2=Ut1Ψt,

(29)

對Ψt特征值分解得到Φt，Φt包含所有的DOD的信息，

Ψt=T-1ΦtT.

(30)

(31)

根據式(28)與式(31)可以看出Q，T-1與Ψr的特征向量是線性關系[15]，所以

Q=T-1F,

(32)

式中：F為變換矩陣。將式(32)代入(31)，與式(28)比較得

(33)

構造如下矩陣

(34)

并將式(30)和式(32)代入式(34)得

(35)

至此，完成了目標收發角度的自動配對，通過式(36)獲得配對后的收發角

(36)

式中：angle為去相運算；p=1,2,…，P。

2.6算法流程

步驟1使用變遺忘因子算法中式(17)～(24)得到特征向量矩陣W；

步驟2利用2.4節式(25)和式(26)進行正交化；

步驟3根據2.5節ESPRIT算法得到包含目標收發角度的對角矩陣Φr和Φt，由配對方法進行自動配對，由式(36)得到收發角度；

步驟4重復步驟1～4估計下一時刻的角度。

3實驗仿真及結果分析

雙基地MIMO雷達收發陣元分別為N=5和M=8，噪聲為高斯加性白噪聲，目標位遠場目標。定義

實驗1：驗證算法的有效性

假設空中存在一個目標，在前30s目標每秒變化1°，且在30s時發生突變，后30s內目標角度每秒變化速率降低，信噪比為SNR=10dB，誤差e(k)的模值和遺忘因子如圖2所示。

從圖2a)可以看出，在開始跟蹤的初始階段，和t=30s時，目標角度發生突變時，誤差變大，且超過了門限δ，系統處于不穩定狀態，此時需要最小的遺忘因子λzmin，增加收斂速度，使系統處于穩定狀態。在前30s內信號角度變化較快，此時誤差較大且不穩定，需要極小遺忘因子，后30s內信號角度變化較慢，誤差較小且相對穩定，需要相對較大的遺忘因子。圖2b)可以看出在開始跟蹤和信號角度處于突變階段，遺忘因子等于最小值λzmin，前30s內遺忘因子相對較小，而后30s內遺忘因子相對較大，符合遺忘因子選取原則，驗證了算法的有效性。

空中存在一個目標，在前30s目標每秒變化1°，后30s內目標角度每秒變化速率降低，信噪比為SNR=10dB，本文算法與文獻[8]算法(Wu-Method)仿真結果如圖3所示。

從圖3可以看出在前30s內本文算法性能比Wu-Method性能要好，后30s內本文算法與Wu-Method性能相當。在t=30s時，本文算法有效，而Wu-Method跟蹤性能較差，基本失效。這是因為Wu-Method的遺忘因子固定為0.97，適合慢速運動的目標，所以后30s目標運動較慢時，性能略好，而當前30s目標運動速度快時。Wu-Method跟蹤性能低于本文算法，本文算法是根據運動速度選取遺忘因子，能夠適應于目標速度的變化，特別是信號角度

圖2　誤差和遺忘因子隨快拍數的變化Fig.2　Error and forgetting factor along with the number of snapshots

圖3　目標角度跟蹤Fig.3　Target angle tracking

突變時，Wu-Method的算法基本失效，而本文算法仍然有效，實驗結果驗證算法的有效性。多目標時本文算法仍然有效，因為文中的算法是改變PASTd算法中的遺忘因子，PASTd算法能夠解決多目標角度跟蹤問題，變遺忘因子遞推公式是針對誤差的變化，多目標時時針對整體誤差的變化，對單個目標可能不是最佳的遺忘因子，但是對整體目標是最佳的。PASTd算法在目標運動相交時跟蹤精度變低，可以結合經典的數據關聯算法如卡爾曼預測算法[10]，解決目標運動相交的問題。因此本文算法在多目標時仍然有效，跟蹤性能較好，穩健性較強。

實驗2：算法的RMSE隨信噪比的變化

信噪比SNR=0～15dB，F=500，其余條件與實驗1相同，算法性能的仿真結果如圖4所示。

從圖4中可以看出本文算法的RMSE隨著信噪比的增大而減小，在信噪比相同的情況下，本文算法的性能明顯高于Wu-Method，Wu-Method已基本失效，說明了本文算法能夠成功跟蹤變速運動目標的角度。

圖4　RMSE與信噪比的關系Fig.4　Change of RMSE along with signal-to-noise ratio

4結束語

本文研究了變速目標條件下雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤問題。首先分析了遺忘因子對于跟蹤算法的影響，借鑒LMS變步長算法的思想，應用到雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤中，提出基于變遺忘因子的方法。首先針對目標速度變化時，推導了遺忘因子的遞推公式，然后考慮跟蹤開始和目標角度發生突變時的情況，提出判別方法，將遺忘因子變為最小值，加快收斂速度，使跟蹤系統盡快進入穩定狀態。本文算法的遺忘因子可以隨著目標的運動情況發生改變，能夠自適應目標的速度變化，具有較好的跟蹤速度和跟蹤性能，在跟蹤的初始階段和目標角度發生突變時，本文算法的遺忘因子可以變為預設的最小遺忘因子，可以使系統最快的進入穩定狀態，快速跟蹤目標的角度。

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Target Angle Tracking Algorithm Based on the Covariance MatrixforBistaticMIMORadar

ZHANG Zheng-yan1，ZHOU Qing-song1，HUANG Zhong-rui1，XU Xu-yu2

(1.Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037, China；2.PLA，No73677Troop,JingsuNanjing210016China)

Abstract:A new algorithm based on variable forgetting factor is put forward for MIMO radar tracking problem among the target whose speed is changing. Firstly, how the forgetting factor impacts the algorithm convergence speed and estimated performance is analyzed. Secondly, the forgetting factor recursive formula is put forward by referring the variable step size least mean square (LMS) algorithm. Lastly the tracking problem under the variable speed target is solved by brought the forgetting factor recursive formula into PASTd algorithm. Simulation results verify that the convergence speed and performance of the algorithm are greatly improved and the algorithm robustness is enhanced.

Key words:bistatic MIMO radar；variable speed target；angle tracking ；variable forgetting factor；ESPRT；PASTd

*收稿日期：2015-05-05；修回日期：2016-01-10

作者簡介：張正言(1991-)，男，安徽宿州人。博士生，主要研究方向為MIMO雷達信號處理，陣列信號處理。

通信地址：230037安徽省合肥市黃山路460號，雷抗系502教研室E-mail：981890451@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.022

中圖分類號：TN953+.5；TP301.6

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2016)-03-0134-07