基于BiSAR制導的戰斗機最優引導律及導彈最優制導律設計

黃偉, 徐建城, 李俊兵, 吳華興

(1.西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安　710072; 2.空軍工程大學 航空航天工程學院, 陜西 西安　710038)

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基于BiSAR制導的戰斗機最優引導律及導彈最優制導律設計

黃偉1, 徐建城1, 李俊兵2, 吳華興2

(1.西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安710072; 2.空軍工程大學 航空航天工程學院, 陜西 西安710038)

摘要：針對半主動自尋的合成孔徑雷達制導導彈發射后，戰斗機、導彈的運動狀態如何同時滿足成像分辨率和脫靶量要求的問題，提出一種基于逆最優控制方法的戰斗機引導律和導彈制導律。將成像分辨率對戰斗機及導彈運動狀態的雙邊約束，轉化為對戰斗機目標線角速度的單邊約束；將脫靶量轉化為對導彈目標線角速度的約束，從而實現導彈運動的自主性；建立含有待定權值系數的性能指標函數，根據所建立的戰斗機引導系統和導彈制導系統的動態調節時間確定該系數，逆向得出最優引導律和最優制導律，仿真結果驗證了該算法的有效性。

關鍵詞：空對面導彈；雙平臺合成孔徑雷達；傳感器；目標；制導律；方位向分辨率；脫靶量；運動方程；約束優化；角速度；閉環控制系統；狀態方程；反饋控制；控制器；動態響應

雙平臺合成孔徑雷達(bistatic synthetic aperture radar,BiSAR)制導技術是先進成像制導技術極為重要的發展方向，相比單平臺SAR制導模式，由于戰斗機可配置大功率發射機，有效提高了導引頭發現目標的距離，且導引頭在作戰使用過程中工作于靜默狀態，隱蔽性好、抗干擾和生存能力強[1]。

導引頭的高分辨率成像是實現對目標精確打擊的前提，在雙平臺同側斜視的情況下，其距離向分辨率主要由發射信號的帶寬決定，通過戰斗機發射大帶寬的線性調頻信號以獲得高的距離向分辨率，在技術上已不難實現。而方位向分辨率不僅與成像時間有關，還與制導平臺相對目標的運動狀態有關[2]。BiSAR雙平臺的運動狀態如何在滿足導引頭方位向分辨率的同時，有效減小脫靶量，是BiSAR制導技術亟待解決的問題。目前，國內外對于SAR制導平臺制導律的研究尚處于起步階段，Fraooq、Jeremy等[3-4]對含有成像約束條件的空地SAR導彈的制導律問題進行了研究；謝華英、張剛、王杰等[5-7]應用遺傳算法、SQP、Radau偽譜法對SAR制導平臺的飛行軌跡進行了優化設計，以上研究成果所提出的制導律算法重點解決單基SAR的成像分辨率問題，性能指標函數中主要包含成像約束，未涉及脫靶量約束。文獻[8]對BiSAR成像分辨率問題進行了研究，但雙平臺的運動僅限于特定軌跡。

BiSAR雙平臺的引導律及制導律設計可描述為多約束條件下的最優控制問題，其技術難點主要體現在：如何將成像分辨率對戰斗機、導彈運動狀態的雙邊約束，轉化為對戰斗機運動狀態的單邊約束，有效減小導彈脫靶量；如何使所建立的引導及制導系統具備給定的動態特性。基于此，本文通過分析BiSAR制導雙平臺運動狀態與方位向分辨率之間的關系，將方位向分辨率和脫靶量約束分別轉化為對戰斗機和導彈運動狀態的約束。基于逆最優控制，建立含有待定時變權值系數的性能指標函數，根據系統動態調節時間計算該系數，得出最優線性反饋控制器，使BiSAR雙平臺的運動狀態同時滿足成像分辨率和脫靶量要求。

1聚束式BiSAR方位向分辨率分析

典型的空地半主動SAR制導導彈發射后，戰斗機連續照射目標成像區域，SAR導引頭根據目標回波信號高分辨率成像。戰斗機發射的線性調頻信號歸一化形式為

(1)

式中,Tp為脈沖時間寬度,τ=t-nTr為脈內時間,Tr為脈沖重復周期,n為脈沖數,fc為載波頻率,γ為信號線性調頻率,rect()為矩形函數。導引頭接收的回波信號為[9]

(2)

式中,σn為目標散射系數,Ts為合成孔徑時間,td=R(t)/c表示回波信號時延,設雷達波長為λ,回波信號經檢波去除高頻項可得[9]

(3)

式中,rect(t/Ts)e-j2πR(t)/λ項反映了戰斗機、導彈相對目標運動的距離和史,決定了導引頭的方位向分辨率。為便于分析,以戰斗機發射導彈所在空間位置在地面上的投影點為原點建立地理坐標系OXYZ,戰斗機和導彈構成非平行軌跡、收發平臺不同速的一般雙站構形[8],如圖1所示。

圖1　戰斗機、導彈與目標幾何關系

(4)

假設合成孔徑時間內Vc和VP均為常值,由(4)式可得多普勒調頻率為

(5)

(6)

方位向分辨率為[9]

(7)

(8)

(8)式建立了戰斗機及導彈運動參數與導引頭方位向分辨率之間的關系,假設導引頭所需方位向分辨率為ρaT,將(8)式中的ρa設定為常值ρac(ρac≤ρaT),并假設已知ωp、Vp和Vc,方位向分辨率要求可轉化為對戰斗機運動狀態的約束

(9)

式中,ωcT是戰斗機為滿足導引頭方位向分辨率要求所對應的理想目標線角速度。

2最優引導律及制導律設計

考慮到雙平臺運動狀態的復雜性,為簡化問題,假設制導過程中戰斗機、導彈和目標均位于空間不變的方位向平面內,根據三者之間相對運動關系的數學模型以及制導過程的各項指標要求,將BiSAR制導問題轉化為最優控制問題,以戰斗機及導彈的目標線法向加速度為控制量,建立含有待定系數的性能指標函數,根據系統的動態調節時間計算該系數,逆向得出最優控制量(戰斗機最優引導律和導彈最優制導律),從而保證成像分辨率和有效減小脫靶量。

2.1戰斗機、導彈與目標的相對運動關系建模

空地半主動SAR制導導彈主要用于攻擊地面固定或慢速移動的目標,由此可忽略目標運動的影響,并假設戰斗機和導彈均為質點,在方位向平面內,戰斗機、導彈與目標的相對運動關系如圖2所示。

圖2　戰斗機、導彈相對目標運動關系

圖2中,以戰斗機發射導彈所在的空間位置為原點建立方位向平面坐標系OXY。當前時刻,戰斗機位于Oc點,導彈位于Op點,Oa為地面目標點,θc與εc分別為戰斗機偏航角及目標線角,θp與εp分別為導彈偏航角及目標線角。將戰斗機速度矢量Vc投影到目標線OcOa及其法線上,可得

(10)

(11)

(12)

上式即為戰斗機與導彈相對目標的運動學方程,jc和jp分別為戰斗機及導彈在方位向平面的目標線法向加速度。

2.2引導律和制導律算法的建立

假設方位向平面內所有量測都準確、理想,控制量僅為戰斗機和導彈在方位向平面的目標線法向加速度。根據(12)式可得狀態方程標準形式

(13)

式中

建立性能指標函數基于如下考慮:①為滿足導引頭方位向分辨率要求,制導過程中戰斗機實際目標線角速度ωc應趨近于(9)式表示的理想目標線角速度ωcT;②為有效減小導彈脫靶量,導彈實際目標線角速度ωp應趨于零[10];③控制過程的經濟性。由此,建立二次型性能指標函數

(14)

式中

Q(t)和R(t)均為待定權值系數矩陣。不難證明,(13)式所表示的系統狀態方程是能控的,根據最優控制理論,可得最優控制量為

(15)

P(t)滿足黎卡提方程及邊值條件

(16)

考慮到結束控制時刻tk難以準確估計以及黎卡提方程求解的復雜性,有關學者在進行大量的裝備驗證之后,在文獻[11]中指出:由于導彈與目標運動狀態的劇烈變化,制導過程的每一時刻t都可能對應結束時刻tk,即t→tk,在引導律或制導律設計過程中,可直接應用P(t)的穩態解[11]

(17)

由(9)式、(13)～ (17)式可得含有待定系數的最優控制量分別為

(18)

(19)

2.3待定系數的計算

2.3.1系數q22/k22的計算

設Rp0和Rpk分別為彈目初始距離和結束控制時刻距離,令λ1=q22/k22。假設導彈自動駕駛儀無遲滯的響應jp,將(19)式代入(13)式,可得導彈閉環制導系統狀態方程為

(20)

(21)

由上式進一步推導可得

(22)

(23)

(24)

由于制導初始距離Rp0遠大于結束距離Rpk,實際應用過程中(24)式可簡化為經典的比例導引算法式jp=NpVpmωp,根據作戰使用的具體要求可調整比例系數Np,并滿足jp≤jpmax的限制條件,jpmax為導彈最大目標線法向加速度。

2.3.2系數q11/k11的計算

(25)

(25)式所表示的一階微分方程的解為

(26)

對(26)式進一步推導可得

(27)

(28)

(29)

(30)

比例系數Nc的取值應著重考慮作戰使用的具體要求并滿足jc≤jcmax的限制條件,jcmax為戰斗機最大目標線法向加速度。

通過上述分析知,本文所建立的控制算法是成像分辨率、制導準確性、控制經濟性及動態性能綜合最優的。應該注意到,比例系數Np和Nc的取值不僅影響控制量系數,而且影響性能指標函數的權值系數,其原因在于所建立的性能指標函數本身含有待定系數,根據條件確定待定系數后,控制量和性能指標函數隨之確定。也就是說,根據作戰使用的具體要求調整比例系數不會影響所得到控制量的最優性,從而體現出該控制算法的適用性。

3仿真實例

仿真過程中,假設戰斗機、導彈和目標均為質點,戰斗機和導彈飛行控制系統無遲滯的響應(24)式和(30)式給出的指令加速度,由于戰斗機比例系數Nc的取值決定戰斗機趨近于理想運動狀態的快慢程度,與導彈運動狀態無關,所以為說明Nc對方位向分辨率的影響,選取Nc=4和Nc=15進行對比仿真驗證。

在圖2所示的方位向平面坐標系中,戰斗機與導彈的初始位置坐標均為(0,0),初始速度分量均為Vx=0.2 km/s、Vy=0.6 km/s,地面目標點位置坐標為(40km,40km),其他參數如表1所示。

表1　仿真參數

仿真實例1:戰斗機比例系數Nc=4(簡稱N4)。仿真結果如圖3所示。

圖3　N4控制算法仿真結果

圖3a)給出了當Nc=4時,戰斗機與導彈在方位向平面的運動軌跡,仿真初始時刻戰斗機位于坐標原點并發射導彈,制導過程中戰斗機為滿足導引頭成像分辨率要求,運動軌跡較導彈彎曲。圖3b)對應制導過程中戰斗機與導彈的目標線法向過載,由圖可知,戰斗機和導彈的過載均在容許范圍內,導彈過載隨制導時間不斷減小,這將有利于制導過程中成像平臺的穩定。

圖3c)給出了戰斗機與導彈的目標線角速度變化情況。由圖可知,導彈目標線角速度不斷減小,而戰斗機目標線角速度不斷增大,制導結束時刻ωp=0.001rad/s,經計算可得理想脫靶量為h=0.21m,滿足導彈脫靶量要求。圖3d)給出了實際方位向分辨率ρa的變化情況,ρa隨制導時間不斷增大,在制導末段ρa>ρaT,說明當Nc=4時戰斗機的引導律不滿足導引頭的分辨率要求。

仿真實例2:戰斗機比例引導系數Nc=15(簡稱N15)。仿真結果如圖4所示。

圖4　N15控制算法仿真結果

圖4a)和圖4b)分別給出了當Nc=15時,戰斗機與導彈的運動軌跡及過載變化情況,對比N4的仿真結果,戰斗機N15軌跡相比N4彎曲,過載量也較大,N15結束制導時刻戰斗機與目標的距離相對較小。圖4c)和圖4d)分別給出了戰斗機與導彈的目標線角速度和實際方位向分辨率ρa的變化情況。由圖4d)可知,整個制導過程中ρa<ρaT,滿足導引頭方位向分辨率要求。

分析N4和N15情況下的仿真結果可知,由于加大了戰斗機的引導比例系數,使實際方位向分辨率ρa趨近于設定值ρac,由于ρac的取值比導引頭所需分辨率ρaT小,從而保證了制導過程中ρa<ρaT。但應注意到,增大系數Nc將導致末制導階段戰斗機與目標距離相對較小,戰斗機極易遭受敵防空火力的打擊,作戰過程中應根據導引頭所需分辨率和實際作戰環境確定Nc的取值。

4結論

本文提出的算法有效解決了對于空地BiSAR制導平臺而言，較為特殊的軌跡控制問題，研究總結如下：①算法綜合考慮了制導過程中成像分辨率和脫靶量要求，經仿真驗證，滿足各項指標要求；②導彈制導律算法的建立僅基于脫靶量要求，與成像分辨率及戰斗機運動狀態無關，體現了導彈運動狀態的自主性，提高了攻擊目標的準確性；③戰斗機引導律比例系數可根據導引頭成像分辨率要求及實際戰場環境調整，體現了該算法的適用性。

為實現該算法，戰斗機和導彈在硬件上應具備數據鏈功能，導彈實時將運動參數回傳至戰斗機。如果攻擊大型目標，對目標方位向分辨率要求較低時，可預先估計導彈的運動參數，此時戰斗機可以按照預先規劃的航線飛行。

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收稿日期：2015-10-27

基金項目：國家自然科學基金 (61472441)資助

作者簡介：黃偉(1980—)，西北工業大學博士研究生，主要從事SAR成像制導技術的研究。

中圖分類號：V249；TJ765.3

文獻標志碼：A

文章編號:1000-2758(2016)03-0367-07

Design of Optimal Guidance Laws of Fighter and Missile Based on BiSAR Guidance

Huang Wei1, Xu Jiancheng1, Li Junbing2, Wu Huaxing2

1．School of Electronics Information，Northwestern Polytechnic University，Xi'an 710072，China2．Aeronautics and Astronautics Engineering College，Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China

Abstract:To meet the requirements of resolution at the azimuth and miss distance for motion states of Bi-SAR platforms which indicates the fighter aircraft and the semi-active homing SAR-guided missile after launch, guidance laws for the aircraft and missile based on inverse control algorithm are proposed. Two-sided constraints due to resolution for their motion states is converted to one-sided constraint for the aircraft's angular velocity of line of sight, and miss distance is considered as only constraint for the missile's angular velocity of line of sight to implement its autonomy of motion. Performance index function containing undetermined coefficients is build and the coefficients are calculated according to dynamic tuning time for both guiding systems, and their optimal guidance laws are derived inversely. Simulation results demonstrate the validity of the algorithm.

Keywords:air to surface missiles; bistatic synthetic aperture radar; sensors; targets; guidance law; resolution at the azimuth; miss distance; equations of motion; constrained optimization; angular velocity; closed loop control systems; equations of state; feedback control; controllers; dynamic response