兩種求多元復合函數偏導數方法的分析比較*

卜兵　趙瑛（吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022）

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兩種求多元復合函數偏導數方法的分析比較*

卜兵趙瑛
（吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022）

摘要：針對用傳統方法在求解多元復合函數偏導數比較繁瑣的情況，將代數學中的矩陣知識與多元復合函數求偏導有機結合，提高了運算效率。

關鍵詞：偏導數；鏈式法則；雅克比矩陣

多元復合函數求偏導在數學分析課程的教學中既是重點又是難點［1］，也是歷年研究生入學考試里的?？贾R點。眾多學者對該問題進行了研究［2-6］。我們發現數學與應用數學、信息與計算科學兩個數學專業的學生在該知識點的學習和應用中，對較抽象及結構復雜的多元復合函數進行求偏導數時，容易因遺漏某些連鎖環節而出錯。

針對以上問題，我們嘗試從多角度去講解該知識點，將高等代數中的矩陣理論引入到實際教學環節中，分析比較傳統做法和新方法的不同之處，教學效果得到顯著提升，切實做到了在課程教學中培養學生創新能力［7，8］，促進了數學分析省優課的課程建設。下面就從求多元復合函數的一階、二階偏導數的傳統方法和矩陣方法兩個角度分析比較。

一、多元復合函數一階偏導數的兩種求法

在數學分析教材中關于復合函數求偏導數有以下結論，即“鏈式法則”：

定理1［9］：若函數x=φ（s，t），y=Ψ（s，t）在點（s，t）∈D可微，z=f （x，y）在點（x，y）=（φ（s，t），Ψ（s，t））可微，則復合函數z=f（φ（s，t），Ψ（s，t））在點（s，t）可微，且它關于s與t的偏導數分別為

該定理是求解多元復合函數偏導數的理論依據。

例1.復合函數u（s，t）由u=f（x，y，z，t）x=φ（z，s），y=Ψ（x，s，t），z=w（s，t），復合而成，且f，φ，Ψ，w為可微函數，求

該函數的復合關系比較復雜，由四次復合運算得到：

第一步，將y=Ψ（x，s，t）代入得u=f（x，Ψ（x，s，t）z，t，

第二步，將x=φ（z，s）代入得u=f（φ（z，s），Ψ（φ（z，s），s，t），z，t），

第三步，將z=w（s，t）代入得u=f（φ（w（s，t），s），Ψ（φ（w（s，t），s），s，t），w（s，t），t）從而畫出“路徑圖”如圖1。

圖1

由這個結構圖，可以看出，復合過程共有四個層次，第一層有四個中間變量x，y，z，t，它們通過f與u相關聯；第二層有四個中間變量x，z，s，t，它們通過x=x，Ψ，z=z，t=t與x，y，z，t相關聯；第三層有三個中間變量z，s，t，它們通過φ，z=z，s=s，t=t分別與x，z，s，t相關聯；第四層有兩個自變量s，t，它們通過w，s=s，t=t分別與z，s，t相關聯。

方法一：鏈式法則。

1.先找出圖中u到s的所有軌道（6條）：

圖1

2.寫出每條軌道所對應偏導數分量：

3.將上面所有分量相加便得到

軌道法的優點是條理清楚。注意不要漏數軌道數，習慣上看從起點u終點s有多少條通道即是軌道數。類似地可以求出

方法二：矩陣法。

寫出相鄰兩層變量之間的關系矩陣，即它們之間的雅克比矩陣，再將這些矩陣依次相乘，即得到偏導數的矩陣表示。這種方法的好處是可以一下子求出所有偏導數，并且可以用代數的方法對偏導數進行計算與討論，而不必每次去數軌道的個數。本例中的關聯矩陣依次為：

由此即得

利用矩陣乘積求得

比較上面兩種方法，第一種方法完全按照“鏈式法則”求解得到，學生在求解時容易數錯軌道數導致計算錯誤，而且在求兩個偏導數的過程中要分開算，步驟重復；第二種方法利用關聯矩陣處理思路清晰，結構簡潔，能一次求得兩個偏導數。

二、多元復合函數二階偏導數的兩種求法

方法一：鏈式法則。

圖2

先求得兩個一階偏導數

接著求二階偏導數

先求

在計算過程中應當注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w為中間變量的復合函數，再次利用軌道法求，畫出“路徑圖”如圖3。

圖3

類似的算出

在計算過程中應當注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w為中間變量的復合函數，再次利用軌道法求，利用圖3。

類似地算出

方法二：矩陣法。

寫出f關于u，v，w的黑塞矩陣Hf，關于u，v，w，z的黑塞矩陣Hu，Hv，Hw，Hz，u，v，w關于x，y的雅克比矩陣A分別是：

從而由公式［10］

展開得

比較上面兩種方法，第一種方法多次使用“鏈式法則”，計算過程重復；第二種方法利用代數方法來處理復合函數的二階偏導數顯得更為簡潔。

三、結束語

在求多元復合函數偏導數時，利用“鏈式法則”能將復雜的復合結構清晰的呈現出來，層次感非常直觀，學生容易接受，但是在處理多次復合時容易出錯；利用矩陣來處理該類問題則相對快捷高效。在教學過程中注重將數學分析和高等代數兩大基礎課之間建立聯系，是我們在教學過程中注重培養學生創新意識的體現，為了更好地教好數學分析這門課程，我們任課教師任重而道遠。

參考文獻

［1］王錦森，馬知恩.工科數學分析基礎（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］文傳軍，華婷.關于多元復合函數高階求導的討論［J］.常州工學院學報，2010，23（4）：54-56.

［3］王紅軍，楊有龍.微分疊加原理在多元復合函數求導中的應用［J］.大學數學，2015，31（6）：80-82.

［4］裴東林.關于多元復合函數高階偏導數計算的一種方法［J］.甘肅聯合大學學報（自然科學版），2004，18（4）：59-60.

［5］齊玉霞.多元復合函數可微性的證明［J］.長春師范學院學報（自然科學版），2010，29（4）：17-18.

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［7］楊金遠，趙樹魁，茹靜，等.我校大學文科數學課程建設的研究與實踐［J］.吉林化工學院學報，2015，32（10）：1-4.

［8］趙瑛，張海波，卜兵.將MATLAB融入《數學分析》課程的探索［J］.吉林化工學院學報，2015，32（2）：84-86.

［9］華東師范大學數學系.數學分析（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［10］毛羽輝，韓士安，吳畏.數學分析（第四版）學習指導書［M］.北京：高等教育出版社，2012.

中圖分類號：O174

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）13-0092-03

*基金項目：吉林化工學院2014年校級教研項目

作者簡介：卜兵（1982-），男，江蘇省泰興市人，吉林化工學院助教，碩士，主要從事數學與應用數學方面的研究工作。

Abstract：According to the situation that partial derivative is complicated in solving complex function in the traditional method，matrix and multiple function in algebra knowledge is combined in the partial derivative organic，which improves the efficiency of operations.

Keywords：partial derivative；chain rule；Jacobian matrix