“三線擺”測物體定軸轉動慣量的實驗原理

石大立，劉春暉，吳艷陽

（武漢工程大學機電工程學院力學教研室，湖北 武漢430073）

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“三線擺”測物體定軸轉動慣量的實驗原理

石大立，劉春暉，吳艷陽

（武漢工程大學機電工程學院力學教研室，湖北 武漢430073）

摘要:“三線擺”實驗中，擺動周期由測量擺盤系統的轉動慣量決定。只要擺盤上放置物體，測量擺盤系統轉動慣量就會改變，則其擺動周期隨之改變。因此，實驗求取：兩個圓柱及待測物對中心軸轉動慣量和時，必須分別做兩個擺盤空載時、兩個擺盤加載被測物后的扭振實驗各兩次；再根據實驗結果，間接獲得被測物轉動慣量；并且由實驗數據表的項數據，可判斷實驗結果的準確性；最后再運用插入法求得零件轉動慣量。特別運用兩組不同的學生實驗數據來驗證該實驗的原理。對實驗的誤差分析，說明提高扭振周期的測量精度，可顯著提高實驗結果的準確性。“三線擺”實質是振動系統，屬于單自由度無阻尼自由振動問題，因此本文著重從理論方面討論了單自由度系統的自由振動。

關鍵詞:轉動慣量；三線擺；扭振周期；固有頻率；阻尼

轉動慣量是剛體轉動時的慣性量度，其量值取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置。外形復雜、質量分布不均勻的物體，只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉動慣量[1]。實驗測定轉動慣量的方法有：利用轉動定律原理制成的轉動慣量儀，利用機械能守恒定律制成的三線擺或懸絲扭擺等方法[2]。本實驗用三線擺測定物體的轉動慣量。

1　“三線擺”法測取不規則物體的定軸轉動慣量

浙江大學TME—1理論力學多功能實驗裝置如圖1所示。兩個具有相同線長和相同直徑的“三線擺”，其上各放置不同的物體，物體質量相同。當兩個“三線擺”擺動具有相同的周期，則兩個物體的轉動慣量相等[3]。三線擺扭轉周期T與盤的轉動慣量JO有關，如式（1）[2，3]。

圖1　實驗裝置

運用公式（1）實驗時，其有關的實驗原理、步驟很有必要加以規范和說明。本文所涉及的轉動慣量，單位和數量級均為（kg·m2）×10-6.

1.1實驗原理及步驟[1，3-4，6-7]

實驗中，在求取兩個圓柱對中心軸轉動慣量的實測值JM及待測物對中心軸轉動慣量的實測值JM2時，都必須做相應扭振實驗，共計四次扭振實驗，涉及四類扭振周期，然后間接獲得被測物轉動慣量。實驗步驟如下：

（1）薄圓盤與尺空載，做扭振實驗，并用秒表測量相應的扭振周期T0（s），之后由公式（2）求得薄圓盤與尺空載時的轉動慣量實測值JM0.

（2）薄圓盤與尺加載兩個圓柱后，再次做扭振實驗，并用秒表測量相應的扭振周期T1（s），再由公式（3）求得圓盤與尺加載兩個圓柱后的轉動慣量實驗值JM+M0.

（3）由公式（4）間接獲得兩個圓柱對中心軸的轉動慣量實測值JM.

（4）薄圓盤空載，做扭振實驗，并用秒表測量相應的扭振周期T2（0s），然后由公式（5）求得薄圓盤空載時的轉動慣量實測值JM20.

（5）薄圓盤加載待測物后，再次做扭振實驗，并用秒表測量相應的扭振周期T2（s），由公式（6）得薄圓盤加載待測物后的轉動慣量實測值JM2+M20.

（6）由公式（7），間接獲得待測物的轉動慣量。

1.2實驗數據驗證[6]

學生在實驗過程中很困惑、經常犯錯誤，同一套實驗裝置竟做出了兩個差距很大的結果，且沒有判斷正誤的標準。而當實驗原理、步驟，加上了實驗數據后，就有足夠的說服力。運用兩組不同的學生實驗數據來驗證該實驗的原理。按照1.1的實驗步驟，分別做了兩次試驗，獲得表2和表3的兩組實驗數據。表1是實驗基本數據。

表1　實驗改進后必須事先已知的重要物理量數據表

表2是實驗改進后，“三線擺”測物體定軸轉動慣量的學生實驗數據（一），它不符合要求。因為：η2≥12.88%；=69.7746，JM2=57.0129×10-（6kg·m）2，η3=18.29%.

表2　“三線擺”測物體定軸轉動慣量的學生實驗數據（一）

表3是實驗改進后，“三線擺”測物體定軸轉動慣量的學生實驗數據（二），它符合要求。因為：η2≥13.364%=55.0308，JM2=54.2783×10-（6kg·m）2，η3=1.367%.

表3　“三線擺”測物體定軸轉動慣量的學生實驗數據（二）

注意到：表2和表3的數據中，由η2項數據可判斷實驗數據的準確性；且JM2比更準確。表2和表3中，兩個圓柱對中心軸轉動慣量=2[mr2+m （）2].

1.3實驗誤差分析[2]

本實驗由四個扭振周期T0，T1，T20，T2獲得轉動慣量JM0，JM+M0，JM20，JM2+M20.根據誤差理論，這些轉動慣量屬于間接測量結果，其合成不確定度為[2]

尤其，當實驗中扭振周期T1測量不準確時，實驗結果的準確性會受到很大影響。

因為J∝T2，所以周期T的精度對J的影響較大，且T是手動機械秒表測量，其儀器誤差△t=0.2 s.對T的相對不確定度作估算，考慮T=1.40 s，0.9 s，0.8 s（不考慮隨機誤差）[2]，則T的測量不確定度傳遞到間接測量量J的相對不確定度如式（9），分別為16.496%，25.66%，28.868%.

而其他量，如擺線長等，其相對不確定度較小。因此，測量中應盡量提高周期T的測量精度。實驗時測量懸盤扭轉幾十個周期nT所用的時間t0，t0=nT，這樣每個周期的儀器誤差就只有原來的，再測量三次以減小隨機誤差[2]。

2　三線擺測取物體定軸轉動慣量的實驗原理[2，6，8]

三線擺可以測定任意形狀物體相對于某軸的轉動慣量。懸盤（圓盤）繞垂直于盤面并通過盤面中心的軸線作扭轉運動，其重心可以沿轉動軸移動。擺動周期由盤的轉動慣量決定。如果懸盤上放上任一物體，則擺動周期就要變為另一值[1]。詳見“1.1實驗原理及步驟”。

如將汽車發動機搖臂的轉軸中心放在懸盤中心實驗，可得懸盤和汽車發動機搖臂共同體對中心軸的轉動慣量，如式（6）。還必須對空載薄圓盤做扭振實驗，由公式（5）得薄圓盤空載轉動慣量實測值JM20。再按照轉動慣量的相加性，汽車發動機搖臂轉動慣量如式（7）[2，3，6]。

三線擺實質是振動系統，可建立振動運動微分方程（10）。

2.1扭轉振動[8]

用角位移θ作為廣義坐標來表達其振動狀態的扭轉振動。對扭轉振動建立其運動微分方程式。此時，牛頓定律的表達式為：

式中，M為施加于轉動物體上的力矩；I為轉動物體對于轉動軸的轉動慣量；θ咬為角加速度。扭轉振動運動微分方程式（11）與直線自由振動微分方程（13）完全相似，其通解為：

扭轉振動屬于單自由度系統自由振動問題，因此很有必要分析其運動規律。

3　單自由度系統自由振動[8，9]

單自由度系統有阻尼自由振動的運動微分方程式

這是一個二階常系數線性齊次微分方程。設其解為x=est，可求得特征方程：

ωn為系統振動的圓頻率。α稱為衰減系數。定義阻尼比ζ，ζ＝.見圖2.初始條件：t＝0時，x=x0，=

圖2　特征根分布

（1）無阻尼，ζ＝0，（14）式的特征根為純虛數：s1，2=±iωn，單自由度無阻尼自由振動的運動方程式為：x（t）=Asin（ωnt+φ），x（t）為等幅振動，如圖3（a）所示。式中

圖3　有阻尼振動運動規律

（4）臨界阻尼（ζ=1）時，（14）式的特征根為兩重實根-ωn，微分方程式（13）的解為：

式（16），（17）中，A1、A2均是待定常數。臨界阻尼和過阻尼狀態下，系統的運動都是一個逐漸回到平衡位置的非周期運動。特征根的虛部，決定自由振動的頻率。而臨界阻尼和過阻尼，其特征根均為實數，無虛部，故系統的運動都不是振動。

4　結束語

（1）求取被測物對中心軸的轉動慣量實測值時，必須做相應的扭振實驗，再間接獲得被測物的轉動慣量。不同的實驗數據會得到不同的轉動慣量，由實驗數據表的η2項，可以判斷實驗數據準確性。在已經判斷了實驗數據確實準確以后，再運用插入法求得零件轉動慣量才有實際意義。扭振周期T1測量不準確時，對實驗結果的準確性影響極大。

（2）三線擺實質是振動系統，可建立振動運動微分方程式，并且是單自由度無阻尼自由振動問題。特征根的虛部，決定了自由振動的頻率。無阻尼時特征根存在虛部，x（t）為振動。

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中圖分類號:O313.3

文獻標識碼：A

文章編號：1672-545X（2016）04-0013-05

收稿日期：2016-01-04

作者簡介：石大立（1962-），男，山東省諸城人，學士，工程師，研究方向：數學力學。

The Experimental Principle of Measuring the Moment of Inertia of the Fixed Axis of the Three Wire Pendulum

SHI Da-li，LIU Chun-hui，WU Yan-yang
（Department of Mechanics，School of Mechanical and Electrical Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan Hubei 430073，China）

Abstract:In the experiment of three wire pendulum，the swing period is determined by the moment of inertia of the measuring pendulum system.The moment of inertia of the measuring pendulum system will be changed whenever an object is placed on its wobble-plate，so its swing period will be changed then.Therefore，when you do experiments to obtain the moment of inertia of the two cylinders rotating about the central axis and the moment of inertia of the object to be tested rotating about the central axis，two kinds of the torsional vibration experiments must have been done separately four times when each wobble-plate is unloaded and after each wobble-plate is loaded the object.According to the results of these experiments，the moment of inertia of the object to be tested is obtained indirectly.The accuracy of experimental results can be judged by the data itemof the experimental data table.Then the moment of inertia of the part is finally obtained by applying the method of inserting.In particular，the principle of the experiment is verified by using the experiment data of two different groups of students.Error analysis of the experiment shows that improving the measurement accuracy of the swing period can significantly improve the accuracy of the experimental results.In essence，three wire pendulum is a vibration system，belonging to the problem of free vibration of a single freedom degree and undamped system，hence this paper discusses the free vibration of a single degree of freedom system emphatically from the aspects of theory.

Key words:moment of inertia；three wire pendulum；swing period；natural frequency；damping