利用三坐標測量機和MATLAB聯合求解齒形誤差方法研究

楊靈敏

（廣西科技大學鹿山學院，廣西 柳州545516）

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利用三坐標測量機和MATLAB聯合求解齒形誤差方法研究

楊靈敏

（廣西科技大學鹿山學院，廣西 柳州545516）

摘要：提出一種通過三坐標測量機獲得被測齒輪齒面上一系列點的三坐標值，再利用MATLAB處理此坐標數據快速得到漸開線圓柱齒輪齒形誤差的方法。分析了該方法的測量原理并通過實例檢測對該方法的有效性進行了驗證。結果表明，該方法可行、準確，且具有測量和誤差數據處理過程簡單且易于實現自動化等優點。

關鍵詞：三坐標測量機；MATLAB；齒形誤差

漸開線圓柱齒輪齒形誤差的測量方法通常有標準設計齒形比較法、標準漸開線軌跡法和坐標測量法等三大類[1]。標準設計齒形比較法是將被測實際齒形與標準設計齒形曲線進行比較而得齒形誤差的方法。該方法的主要問題在于被測齒輪端面與齒輪的定位孔中心線的垂直度誤差、成像誤差等將直接影響測量結果的準確性。因此，只適于盤類齒輪齒形誤差的測量，而且測量精度低，一般只能對7級以下精度的齒輪進行測量。標準漸開線軌跡法[2]是將被測齒形與儀器復現的標準理論漸開線軌跡進行比較從而求出齒形誤差。一般通過在直尺（基圓盤式、圓盤）杠桿式等機械展成儀或電子展成儀上實現。該方法的主要問題在于儀器的基準誤差、被測齒輪的安裝誤差以及基圓盤的直徑尺寸誤差等對測量結果影響較大。坐標測量法[3-4]是將被測齒形上若干點的實際坐標與理論坐標進行比較的一種測量方法。用這種方法測量必須解決實際坐標的獲取和理論坐標的計算。該方法的主要問題是計算繁瑣，特別是當測點要求多、測點布置有特殊要求時數據處理工作量非常大。當然也可以針對這些測量數據的處理開發一個軟件模塊[5]來實現數據的處理分析。利用三坐標測量機和MATLAB聯合求解齒形誤差方法能提高測量效率且易于實現。

1　三維坐標測量機齒輪齒形誤差的測量原理

在三維坐標測量機上測量齒輪的齒形誤差方法如下：將齒輪任意放在其工作范圍內，以齒輪的回轉軸為工作坐標系的一個坐標軸建立工作坐標系。根據齒形誤差的定義，對于直齒圓柱齒輪可在任一截面上沿同一輪齒的兩面測取一系列點，而對斜齒圓柱齒輪應沿齒面的法線方向測取一系列點。為了控制測量誤差，簡化測量過程，無論對直齒圓柱齒輪和斜齒圓柱齒輪，測量均在垂直于齒輪回轉軸的平面上進行，一般地，測量在垂直于齒輪法線方向平行于齒輪端面的齒輪中部截面上進行測量。

根據齒輪齒廓偏差的原理，利用三坐標測量機采集齒輪齒面三坐標數據所對應的流程圖如圖1所示。

圖1　齒廓誤差測量流程圖

根據漸開線的形成原理（如圖2a所示），漸開線上任一點的坐標（xi，yi）為：

式中：rb為齒輪基圓半徑，rb＝（m×z×cosα）/2，α為被測點的漸開線展角，φ＝αi+θi，m、z、α、θ分別是齒輪的端面模數、齒數、分度壓力角、漸開線角。

而在測量過程中，被測齒面所在理論漸開線的起始點的極角θ不一定為零（如圖2b、圖2c所示），那么被測點的坐標值為：

其中，φ'＝φ+θ

圖2　漸開線起點不同的三種情況

測量時，在實際齒面上采集一系列點（xi，yi，zi），測量時工件坐標系的Z軸與齒輪的回轉軸重合，則各被測點的Z向坐標值相等，此時齒輪誤差只需處理各被測點的X和Y坐標數據。

如果被測點在第三或第四象限，則：θi=2π-θi

被測點（xi，yi，zi）所在理論漸開線的起始點的極角θ為：

求出同一齒面上的所有測點所在理論漸開線的起始點的極角θ后，從中找出的最大值θmax和最小值θmin，根據齒形誤差的定義和漸開線的成形原理可得被測齒面的齒形誤差Δff（單位為μm）為：

對于直齒圓柱齒輪:

對于斜齒圓柱齒輪:

由于在齒輪測量機上進行測量時可在一個被測齒面上可采集很多組點，并對較多的齒面進行測量，測量結果就比較精確。求出各個被測齒面的齒形誤差后，取其中的最大值即為被測齒輪的齒形誤差。

2　MATLAB處理齒面三坐標數據

首先把三坐標測量機獲得的齒輪坐標值保存為后綴為“.dat”的文件，文件中第一列是被測點的位置順序記號，第二列和第三列是被測點的x坐標和y坐標，第四列被測點的z坐標。因為是在齒輪軸線的垂直面上測量的，所以被測點的z坐標一樣，因此只要把被測點的x坐標和y坐標提取出來就可以。把測量的“zuobiaozhi.dat”文件放在MATLAB工作文件夾里，然后接使用importdata命令將“zuobiaozhi.dat”文件里被測點的x坐標和y坐標值提取出來。可以先在MATLAB里用繪圖命令先把被測齒輪的形狀繪制出來，看有無明顯的不理想點。

在實際測量過程中，難免會受到一些外部因素的影響，不可避免會產生“壞點”或者“跳點”，對此可以采用最小二乘法擬合得到一條曲線，然后分別計算各個被測點（xi，yi）到這條曲線的歐氏距離。給出允許的誤差，如果被測點到曲線的距離大于所給的誤差則認為該點為“壞點”或者“跳點”，可以剔除掉。當然也可以保留誤差最小的若干個點，其誤差在所給的允許值內。這樣可以剔除由于實驗誤差產生的不良的數據“壞點”或者“跳點”，保證了數據的質量。

分別把導入MATLAB的被測點的x坐標和y坐標分別賦值給x和y兩個變量，然后編寫MATLAB 的M文件來實現對齒形誤差的求取。M文件程序數據處理關鍵部分代碼如下：

3　測量實例及結果驗證

被測齒輪的參數為：模數m=4.25，齒數z=37，螺旋角α=20°，β=0°，變位系數x=0，利用英國LK LTD公司的G90C三坐標測量機得到的齒面點的三坐標數據如圖3所示。

圖3　G90C三坐標測量機測得的齒面點三坐標數據

在德國克林貝格（KLINGELNBERG）的P65齒輪測量中心上測得的結果報告截圖如圖4所示。

圖4　KLINGELNBERG P65齒輪檢測報告截圖

經過MATLAB編寫程序對上述數據進行處理所獲得的齒形誤差與德國克林貝格（KLINGELNBERG）的P65CNC齒輪測量中心的測量結果比較如表1所示。

表1　齒形誤差（μm）結果對比表

兩者的誤差在3 μm左右，完全滿足測量精度要求，證明了這個方法的可行性、準確性。如增加測量實驗數據點數、測量次數還可以提高獲得的齒形誤差結果精度。

4　結束語

通過利用三坐標測量機獲得被測齒輪齒面上點的實際三坐標值，再應用MATLAB強大的數據處理能力編寫齒輪誤差處理程序，快速準確處理得到的齒面三坐標數據獲得齒形誤差。通過實例測量、數據處理得到的齒形誤差結果與德國KLINGELNBERG P65齒輪測量中心的對同一齒輪測量結果相符，說明了該處理方法的正確性。而且，本文方法簡單易于實現，并對齒輪齒形誤差測量過程自動化改造具有一定的參考價值。

參考文獻：

[1]葉克明，石鳳山，許洪基，等.齒輪手冊（下冊）[M].北京：機械工業出版社，1995:18-34.

[2]梁本鑫.追溯起點法測量漸開線齒形誤差[J].計量技術，2001，（11）:23-24.

[3]張兆龍，付瑛，尹啟然，等.齒形誤差的極坐標測量方法研究[J].機械工程學報，2001，（4）:70-72.

[4]黃富貴，張認成.在三坐標機上精確測量漸開線圓柱齒輪的齒形誤差[J].工具技術，2005，（10）：1-2.

[5]郭敏，王細洋，龍亮.基于三坐標機的齒輪參數測量方法研究[J].工具技術，2011，（7）：1-3.

中圖分類號:TH-3

文獻標識碼：A

文章編號：1672-545X（2016）04-0134-03

收稿日期：2016-01-08

基金項目：基于項目驅動的應用技術型大學《工業機器人》課程體系建設（項目編號：2015ZXYA006）

作者簡介：楊靈敏（1986-），男，廣西柳州人，助教，碩士，主要研究方向為工業機器人應用技術、產線自動化技術。

Research on the Method of Solving the Tooth Profile Error by Using three Coordinate Measuring Machine and MATLAB

YANG Ling-min
（Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou Guangxi 545516，China）

Abstract:This paper presents a by coordinate measuring machine（CMM）obtained sets of points on the surface of the gear three coordinate value of the measured，using MATLAB to deal with the coordinate data quickly get method of involute cylindrical gears tooth profile error，the analysis of the measuring principle of the method and the effectiveness of the method is also verified through testing examples.The results show that the method is feasible，accurate，and has the advantages of simple measurement and error data processing，easy to realize automation and so on.

Key words:three coordinate measuring machine；MATLAB；tooth profile error