經驗視角下的數學活動應突出“六要”

袁志偉

【摘要】數學基本活動經驗是2011版修訂版課標提出的“四基”之一的重要目標，其在課堂實踐層面存在著“虛化”和“泛化”兩種值得注意和警惕的現象。活動經驗，離不開活動，但學生經歷或參與了數學活動，未必就一定獲得了數學活動經驗。那怎樣的活動才真正利于數學活動經驗的積累？或者，數學活動又該注意些什么？本文從目標、過程、內涵等六個方面做探討和分析。

【關鍵詞】數學活動經驗

活動經驗，離不開活動，學生的數學活動經驗是在參與數學活動過程的基礎上獲得的。學生沒有經歷數學活動，就談不上獲得數學活動經驗，但經歷或參與了數學活動，未必就一定獲得了數學活動經驗。那么，怎樣的數學活動有利于經驗的積累？或者，經驗視角下的數學活動又該注意些什么呢？

一、 目標要明確

為何有經歷（活動）卻不一定有經驗，這是一線教師普遍感到困惑也是首先需要厘清的問題。回到生活中，相信我們都有過這樣的經歷：“那次我也去了，怎么一點兒印象都沒有？”反思現象背后的原因，這說明要在經歷中獲得經驗，需要引起思想上的關注，思維上的投入，情感上的體驗。也即活動首先得有明確的目標，漫無目標的活動是難以積累相關活動經驗的。因此，作為數學活動的設計者，教師在備課時應努力擺脫只設計活動，不考慮活動經驗積累的問題，應把活動經驗的達成作為教學的重要目標之一，在設計活動之初就予以充分考慮。需要提及的是，這樣的目標設定不是空泛的，而是真實具體的。由此，教師在認真梳理教材中有哪些典型題材能分別承載哪些不同數學活動經驗的同時，應根據課時教學內容有重點地確定讓學生積累哪一方面的數學活動經驗，并依據教學內容挖掘數學活動經驗的生長點，使數學活動成為數學知識的固著點，活動經驗的積累點。只有這樣，數學活動經驗對于教師的教和學生的學而言，才不再是抽象飄緲、不可捉摸的，而是具體鮮活，能夠駕馭的。

如在教學平行四邊形、三角形面積公式的推導時，除要讓學生理解和掌握平行四邊形、三角形面積計算公式，會用公式計算它們的面積外，更為重要的，教師應明確并讓學生獲得這樣的數學活動經驗：在學習新知識、解決新問題時，可以通過轉化把陌生的轉化為熟悉的，把未知的轉化為已知的。積累了這樣的活動經驗，學生在學習梯形的面積、圓的面積時，才會借鑒這一經驗，并自覺地運用轉化思想，通過割、補、拼、移、轉等方法把梯形、圓轉化為已學過的圖形，探索其面積計算公式，并在隨后的數學活動中深化、拓展數學經驗。數學活動是具有數學教學目標的學生主動參與的學習活動。教師只有在活動前準確把握教學目標，活動中充分調動學生的認知能力，才能使學生在活動中獲得更多的活動經驗，才能真正提升學生的數學學習能力。

二、 過程要充分

數學活動經驗是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。經歷數學活動過程既是積累基本活動經驗的基本前提，也是唯一的一條通道。需要提及的是，這里所說的“經歷過程”并不僅僅是指看得見、摸得著的、物化了的動手操作的過程，也不僅僅是指讓學生經歷知識發生、發展的過程，更為重要的是指讓學生經歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等等。基于此，教師在教學中要引導學生在充分感知的基礎上，適時觀察、思考、發現、比較，揭示出感性經驗背后理性、抽象的數學經驗，讓學生獲取具有概括性、普遍性的數學知識，積累發現問題、研究問題的經驗。

例如，教學《長方體和正方體的體積》，筆者引領學生經歷了這樣的學習過程——第一層次：拿出12個1立方厘米的正方體，擺放成長方體，可以擺出長、寬、高分別是多少的長方體？說一說，怎樣計算長方體的體積？學生得出：每一行的體積單位數×行數×層數=一共的體積單位數。第二層次：要求學生仍然用著12個1立方厘米的正方體，擺一擺，并想象出一個體積要比12立方厘米更大的長方體。學生對長方體的體積與從它的一個頂點引出的三條棱之間的關系，有了更清楚的認識。第三層次：出示一個長方體圖，求長方體的體積。學生很快有了自己的理解和感悟：長方體的體積=長×寬×高。第四層次：用字母公式鞏固運用。從這四個層次的活動過程，可以看出“數學化”的四個步驟：具體操作—表象操作—抽象概括—數學公式。充分展開的過程，不僅豐富了感覺、知覺的經驗，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源，從而實現了操作經驗與思考經驗、策略性經驗的有機融合。這顯然是常見的“擺一擺、總結公式”，動手不動腦的教學所無可比擬的。

三、 內涵要豐富

當下的一些數學活動盡管重視了學生多樣化的“個人體驗”，但卻缺失了應有的“活動內涵”，導致學生無法真正獲得有價值的活動經驗。數學活動經驗的核心是思維活動的經驗，“沒有某種思維的因素便不能產生有意義的經驗”。由此，設計數學活動時，教者除需對活動所蘊含的教育價值、知識間的實質性聯系、學生思維水平和思維路徑作深入的了解外，更需思考所設計的數學活動是否富有思考意義和討論價值，能否引發認知沖突，是否具有濃厚情趣并能觸動學生的心靈深處。只有給學生留出足夠的思維空間，不斷提出具有適度挑戰性的問題，并不失時機地加以啟發和引導，數學活動才能充分、有效展開，學生也才能夠在思維、情感共鳴的基礎上真正完成活動經驗的內化和高質量的積累。

例如，教學《游戲規則的公平性》，單純的摸球活動本身并不具備多少數學意義。那怎樣設計突出數學本質、富有數學內涵的數學活動呢？以下是一位老師的教學——師：大家認為剛才的游戲還是不公平，現在該怎樣改變袋中的球，才能使游戲變得公平呢？生：紅球和白球的個數一樣多，游戲就公平了。教師將袋中的紅球和白球調整為同樣多。師：現在紅球和白球的個數一樣多了，摸球的結果又可能會怎樣呢？生1：兩種球摸到的次數應該相等。生2：兩種球摸到的次數應該差不多。……師：在 規則公平的情況下摸球的結果到底會怎樣呢？實踐出真知，大家再分小組自己動手試一試。學生進行摸球游戲，教師巡視，學生匯報。師：觀察各小組的活動記錄大家有什么發現？生：各組的情況也不一樣。有的摸到紅球多一些，有點摸到白球多一些，也有相等的。師：為什么會這樣呢？生：公平只是可能性相同，機會均等，摸球的結果并不一定每次都一樣多，這還得看“運氣”。師：看來游戲規則公平，只表示雙方贏的機會是均等的，即使在規則公平的情況下，游戲的結果仍然是“一起皆有可能”！假如我們把各組的結果都匯總起來又會有什么發現呢？課后有興趣的同學可以自己去探索。

數學活動的本質是思維活動，數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中逐步積淀。上例中，活動前的預測，既暴露了學生的真實思維，又幫助學生明晰了隨后活動的目的性和必要性；活動后的比較，則是一種分析方法上的引領和審視視角上的指導。學生在“做”與“思”的結合中，已有經驗不斷被激活，有缺陷的經驗逐漸被修正，粗糙的經驗漸漸趨于精致，淺層次的經驗獲得有效的提升，新生成的數學活動經驗很自然地嵌入學生的經驗系統中。

四、 交流要及時

經驗是屬于個體的，同一數學活動由于學生認知、思維方式的不同，不同的學生會形成不同的經驗，這是一個方面；另一方面更為一般的情況是雖然學生經歷了充分的活動，但學生個體在經歷活動過程后所形成的經驗往往是零散、膚淺、模糊的。要克服個體數學活動經驗的局限性，要將這些零散、膚淺的經驗清晰化、條理化、結構化，在數學活動后，教師就應及時給學生提供一個合作交流的平臺，這樣做既可以讓學生快樂地分享每一個人獨特的思考與經驗，又可以讓個體的活動經驗在群體的經驗交流中相互補充，相互充實，不斷豐富、發展。這顯然有利于促進學生對問題的深入理解和深刻感悟，幫助學生完成經驗由低層次到高層次的超越，實現經驗的優化和內化。

請看《梯形的面積》教學片段——師：探索平行四邊形、三角形的面積計算公式時，同學們已經積累了一定的探索圖形面積的經驗，回想一下，都有哪些？生1：把陌生的轉化為熟悉的。生2：把未知的轉化為已知的。師：不錯。今天我們就借助已有的經驗來探索梯形的面積。那如何把梯形轉化成已學過的圖形呢？（學生思考后動手操作，教師提供充分的活動時間）師：現在交流一下你們是怎樣轉化的，說說為什么會這樣想。生：我用兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形，因為探究三角形面積時就是這樣轉化的。（該同學的想法得到了大部分同學的認可。）師：你能借助已有的經驗并靈活動用，真不錯！其他同學還有別的方法嗎？生：我是這樣轉化的（圖1），我把梯形轉化成了一個平行四邊形與一個三角形，因為這兩個圖形的面積我們都學過了，只要求出這兩個圖形的面積，加起來就是梯形的面積了。師：這方法怎樣？誰來說說想法？生：這個方法不錯，而且與前面轉化的方法不一樣，我沒有想到。師：老師也覺得這方法與眾不同，能有自己獨特的想法，往往就是發明創造的開始。還有其他想法？生：我還有一種方法（圖2）。師：你為什么這樣想？生：因為探究三角形面積計算公式時，就要這樣的做法（圖3）。師：交流使我們的認識更全面，更深刻了，那這樣不同方法的背后是否又有什么相同的地方的？同學們的討論交流在繼續……

經驗的生成來源于彼此間基于思考的交流和實踐。上例教學的成功恰在于此。上例中，操作活動后，教者為學生搭建了對話交流的平臺，讓學生最大限度地去交流理解、體驗感悟，學生在對話交流中找到了原有經驗與新知的聯系，在比較溝通中達成了對已有經驗的改造、生長和建構，學生的數學活動經驗在辨析中去粗取精，不斷豐富、完善和提升。

五、 指導要到位

縱觀當下的數學課堂，數學活動得到了前所未有的重視，但學生充分地活動是否就是“自由地”活動呢？答案是否定的。這一方面是因為缺少組織、規劃、引領的數學活動，不僅活動本身的效益低下，而且活動經驗的積累也往往雜亂低效、無從談起；另一方面，也正如荷蘭數學家弗蘭登塔爾所言：“在積極倡導學生‘再創造（即通過再創造來學習數學）的同時，我們也應清楚地指明這種‘再創造應是‘教師指導下的再創造。”當然，這樣的指導顯然不是簡單的越俎代庖，由“幕后”躍居“臺前”。教師應該是智慧的挖掘者，方法的指導者，策略的引領者。應通過精心設計的問題，去點燃思維火花，激發探究欲望，為學生解疑解惑架設橋梁、提供階梯。應引導學生善于深入地思考問題，幫助學生從復雜的表面現象中發現和抓住事物的規律和本質，從而使學生充分積累“數學化”的活動經驗。

例如，教學執教《軸對稱圖形》一課，當學生認識“軸對稱圖形”的特征后，教師出示三角形、五邊形、梯形、平行四邊形、圓這五種圖形，讓學生判斷這些圖形是否是軸對稱圖形。在交流過程中，針對“平行四邊形是不是軸對稱圖形”，課堂上出現了兩種不同的聲音：一種認為是軸對稱圖形，理由是從中間畫一條線，可以把平行四邊形分成形狀大小完全一樣的兩個小平行四邊形；另一種認為不是，理由是對折之后，兩邊的圖形沒有完全重合。兩種意見僵持不下，各不相讓，這對教師的指導提出了挑戰。值得肯定的是，課中教師并沒有作簡單提醒或直接告訴，而是用“想一想，左右兩邊大小一樣是否就一定對稱？看一個圖形是不是軸對稱圖形，關鍵看什么？”這兩個問題去啟發學生作更為深入的思考，學生在激烈的認知沖突中，在再次深入的思考、爭議、辯論中，逐漸把握了軸對稱圖形概念的關鍵：“對折”和“完全重合”，學生對軸對稱圖形的本質形成了新的認識。有效的數學學習必定是在新問題情境下運用已有的知識經驗來成功處理新信息、新問題的活動，而教師的恰當引領則提升了活動的有效性。

六、 反思要跟進

比較眾多專家學者對經驗的分析，筆者更為認同劉加霞教授的觀點，也即：經驗的獲得需要“領悟”與“轉化”，通過參與具體活動直接獲得具體經驗；然后對所經歷的活動進行回顧、反思等，內化為能夠理解的合乎邏輯的、抽象的經驗（最后還要將獲得的經驗在解決新問題中進行證實和運用）。由此，當學生的數學活動經驗積累到一定程度后，教師就要引導學生在回顧的基礎上進行深度反思，這樣一方面可以發揮經驗因素在數學學習中的積極作用，另一方面也能使學生有意識地避免經驗因素的消極作用，使積累起來的數學活動經驗能夠更好地為學生所用，并逐漸建立起屬于他們自己的數學直觀，而這正是積累數學活動經驗的核心和關鍵所在。

例如，教學“厘米的認識”一課，當學生經歷了豐富的動手操作活動獲得了對測量單位的感性認識后，某教師這樣引導：“回想一下，剛才我們是怎樣認識1厘米的？”學生紛紛總結了自己的做法：“我是從米尺上找到1厘米的。”“我的手指甲寬約是1厘米。”“我知道1厘米有這么長（用手比劃）。”“我還閉起眼睛想1厘米有多長。”“根據1厘米的長度，我估計數學書大約寬18厘米。”“不用估，測量一下就知道數學書的寬度。”……面對學生的具體經驗，教師進一步引導：“同學們回想起了學習1厘米長度的各種活動，誰能完整地說說我們可通過哪些活動來認識厘米？”學生交流后，教師引導學生總結：學習1厘米的活動有認一認（認識1厘米有多長）；比一比（比畫1厘米有多長）；找一找（身體上或生活中的1厘米在哪里）；估一估（估測具體物品長有幾厘米）；量一量（測量物體的長度，并和預估的結果進行比較）。在這里教師十分注重學生經歷1厘米認識操作活動后的反思，學生獲得了建立1厘米概念的清晰的、有條理的數學活動經驗，這為以后學習同類或相似知識積累了經驗。

倘若活動沒有圍繞本質內涵進行適時的反思和交流，學生獲得的數學活動經驗便將失去數學意義；如果不能將體驗抽象、提煉為經驗，那么，這種經歷、體驗將白白喪失其應有的價值。經歷豐富的數學活動后，教師經常引導學生反思以下問題：“剛才我們一起進行什么活動？為什么要做這個活動？”“在活動中你獲得了什么？你有哪些困難？又是如何克服的？”“我們是用哪些方法獲得結論的？這些方法在什么地方還能用到？”“通過學習又引發了你的哪些思考？你能提出哪些新的問題？”……顯然更有利于學生在理性思辨和內省領悟中提升、豐富并積累教學活動經驗。

總之，數學活動經驗的獲得離不開數學活動，而數學活動的成效則直接影響經驗積累的質量和層次，在這方面，還需要我們進行更多的實踐探索和理性思考。