控制量受限情況下的有限時間收斂制導律

段美君，周荻（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱150001）

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控制量受限情況下的有限時間收斂制導律

段美君，周荻
（哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱150001）

摘要：針對動能攔截器攔截臨近空間高速機動目標的問題，基于零化視線角速率原理，應用有限時間收斂理論推導出了控制量受限情況下的Bang-Bang型滑模制導律有限時間收斂條件，既適用于二維平面情況又適用于三維空間問題。通過設計制導律中滯環控制開關門限的上下限，在視線角速率可控的條件下去除了其抖振。仿真結果表明，制導律有限時間收斂，具有較高的制導精度，并對目標機動具有魯棒性。

關鍵詞：控制科學與技術；滑模制導律；有限時間收斂；控制量受限；滯環控制開關

0　引言

臨近空間高超聲速飛行器具有飛行速度快、巡航高度高和突防能力強等特點，已經超過了現有防空武器的攔截能力。臨近空間動能攔截器是一種不攜帶戰斗部，利用高速飛行的動能直接碰撞殺傷目標的飛行器。因其體積小、質量輕，通過直接力控制實現精確制導，是對高速機動目標實施攔截的有效武器。精度高、魯棒性強的制導律是臨近空間攔截器的一項關鍵技術。

臨近空間動能攔截器因體積小，采用捷聯導引頭，并把姿態控制發動機安裝在彈體尾部以實現彈體坐標系跟蹤視線坐標系，保證目標在視場范圍內。軌道控制發動機安裝在彈體縱軸，提供通過質心垂直于視線的變軌推力實現穩定跟蹤，但只能以脈沖式工作，難以實現連續變推力。比例導引律［1］性能優良而得到廣泛使用，但其過載指令垂直于速度方向且是連續變化的，與攔截器軌控發動機安裝方式和輸出推力不匹配。通過脈寬脈頻（PWPF）調制［2］可實現數字變推力，但參數選擇基于經驗，且非線性特性帶來設計和分析困難，特別是可能因為附加的控制延遲產生極限環振蕩等系統不穩定現象［3-4］。基于零控脫靶量［5-6］（ZEM）的制導方法，需要對目標的運動狀態進行預測并實時解算出期望的速度增量，因此不適用對高速機動目標實施精確攔截的要求。考慮軌控推力的特點，滑模制導律［7］可以通過限制視線角速率實現準平行接近，并對系統攝動和外界干擾具有魯棒性。建立在Lyapunov理論上的魯棒制導律只保證漸進穩定或指數穩定，而對于臨近空間高速機動目標，精確制導時間很有限，有限時間收斂［8］的魯棒制導律才能達到精確末制導要求。

滑模制導律［7-9］存在抖振的問題，易導致軌控發動機頻繁開機，影響其工程應用。針對抖振問題，常用飽和函數代替符號函數去除抖振，但是因為目標機動，切換增益難于取值，影響系統制導性能。對于臨近空間攔截器而言，在末制導過程中，彈體動態響應過程取決于軌控發動機的動態特性，此動態特性在一定程度上帶來過載跟蹤制導指令的滯后。但一般來講，攔截器所采用的軌控發動機都有很快的響應特性，例如10ms就可以上升到指令的90%，對制導精度不會產生顯著影響。目標的逃逸機動是影響制導精度的一個主要因素，為了提高制導精度，非線性系統中機動目標的跟蹤問題［10-12］已有大量的研究成果，一般需要假設目標的機動模型及隨機機動的統計學特性，廣泛采用濾波方法得到目標機動加速度的估計值［13］。

針對上述問題，本文應用滑模制導律，通過軌控發動機控制視線角速率保持在零附近，實現準平行接近。基于有限時間收斂理論給出了制導律有限時間收斂的條件，并設計了帶滯環特性的控制開關，解決了抖振問題，減少了發動機的開關次數，節省了燃料，具有工程應用價值。通過仿真驗證，對于高速機動目標所設計的制導方法制導精度高、魯棒性強，并可設計開關門限減小燃料消耗。

1　末制導數學模型描述

為了研究實際三維空間內的末段制導問題，先以平面內的制導問題為基礎進行說明，再做進一步推廣。因此，先建立平面內的數學模型，如圖1所示為平面內的導彈-目標相對運動關系，可得到相對運動方程如（1）式和（2）式所示。

圖1　平面內目標-導彈相對運動關系Fig.1 Relative motion of missile and target on a plane

式中：R代表目標與導彈之間的相對距離；vt和vm分別代表目標速率和導彈速率；q代表視線角；φt和φm分別代表目標和導彈的速度方向角。

式中：at，LOS和am，LOS分別是目標加速度和導彈加速度在視線方向上的分量；at，LOS，n和am，LOS，n分別是目標加速度和導彈加速度在視線法向上的分量。在末制導問題中，am，LOS保證彈-目相對速度vm，t＜0；在空間攔截等實例中，導彈迎頭攔截目標，這時可以令am，LOS≡0.設計制導律的關鍵在于如何通過am，LOS，n控制視線角速率，令其趨近于0，從而實現準平行接近。因此，選擇狀態變量x=，由（4）式可得視線角速率狀態方程如（9）式，作為平面內設計制導律模型，控制輸入 u=am，LOS，n，目標機動干擾 w= at，LOS，n.

接下來，建立三維制導空間下的數學模型，假設導彈和目標均為質點，其相對運動方程［14］為

式中：符號與平面相對運動方程（3）式和（4）式對應；qε和qβ分別為視線傾角和視線偏角，導彈和目標加速度在視線坐標系3個軸的分量分別為和

與平面制導問題相同，am，LOS，R保證彈-目相對速度vm，t＜0.設計制導律的關鍵在于末制導過程中如何通過am，LOS，n，ε和am，LOS，n，β使得視線角速率ε和β趨近于0，從而實現準平行接近。選擇x1=ε，x2=β，由（11）式和（12）式得到具有耦合特性的三維空間下的視線角速率狀態方程如（13）式，作為三維空間下設計制導律模型，控制輸入 u1=

2　控制量受限的有限時間收斂制導律設計

2.1制導律設計

為了研究控制量受限情況下的有限時間收斂制導律，先給出有限時間收斂的定義和引理，作為研究制導律的理論基礎。

引理 考慮非線性系統，假定存在一個定義在原點的領域 ^U?Rn上的C1光滑函數V（x，t），并且存在實數α＞0和0＜λ＜1，使得V（x，t）在 ^U上正定和（x，t）+αVλ（x，t）在 ^U上半負定，則系統的原點是有限時間穩定的。收斂時間滿足

由于動能殺傷攔截器（EKV）軌控發動機只能提供常值推力，忽略EKV質量變化，推力產生的加速度為常值，即平面系統模型的控制輸入u=Msgn x，三維空間系統模型控制輸入u1=Msgn x1和u2= -Msgn x2，其中常值M為加速度幅值。上述平面和三維空間下制導律帶有常值約束，其有限時間收斂性質分別如定理1和定理2所述。

定理1 對于（9）式所示制導系統模型，在末制導過程中，若滿足常值加速度M＞|-2x（0）|+ ‖at，LOS，n‖，則制導律u=Msgn x可以保證視線角速率有限時間收斂，且M越大，收斂速度越快。如果導彈與目標相對接近速度可近似為常值，可保證視線角速率在制導結束前就能收斂到0.

證明：選取Lyapunov函數

則V1（x）沿系統的導數為

將控制量方程代入系統方程（9）式，代入（16）式得

實際中彈-目相對運動速度可近似為常值c，則R（t）=R（0）-ct，由（18）式得

在定理1中，得到了如（9）式所示的平面內導彈目標相對運動視線角有限時間收斂的條件，由于如（14）式所示在三維空間下，俯仰和偏航通道間存在耦合，需要進一步研究視線角速率有限時間收斂的條件，在定理1的基礎上進一步給出定理2.

定理2 對于（14）式所示制導系統模型，在末制導過程中，若滿足M＞|-2max（x1（0），x2（0））|+ ‖at，LOS，n‖，則制導律u1=Msgn x1和u2=-Msgn x2可以保證俯仰、偏航視線角速率有限時間收斂，且M越大，收斂速度越快。如果導彈與目標相對接近速度可近似為常數，可保證俯仰、偏航視線角速率在制導結束前就能收斂到0.

構造光滑正定Lyapunov函數對（21）式求導，由定理1、cos qε＜1和均值不等式有

在末制導過程中，相對距離R減小，R＜R（0），

對照（23）式與（18）式可知，在三維空間下，如果導彈與目標相對接近速度可近似為常數，制導律仍能保證俯仰、偏航視線角速率在制導結束前就能收斂到0.證畢。

根據定理1和定理2中的有限時間收斂條件可知，在中、末制導交班初始時刻，EKV的軌控發動機產生的常值加速度M只要大于|-2x（0）|與目標機動加速度的界‖at，LOS，n‖二者的和，就可保證在末制導過程結束前視線角速率有限時間收斂到0.但是制導律中符號函數的存在，使得在視線角速率收斂到0后，控制量會產生抖振問題。使用滯環開關控制方法，解決抖振帶來的發動機頻繁開啟問題。

2.2滯環開關門限設計

控制量的抖動使發動機頻繁開啟，不僅浪費燃料，產生的振動還會影響彈上慣性導航系統和導引頭的工作，使制導性能降低。通過選擇合適的關閉和開啟門限，可保證視線角速率在門限區間內小范圍運動。其中關閉門限避免了控制量的抖振，開啟門限使視線角速率有界。因視線角速率很小并不影響制導性能，仍能實現準平行接近。以此去除抖振和減少燃料消耗。關于（9）式所示平面內制導系統模型，關閉和開啟門限值的選擇和滯環控制開關如定理3所示。

證明：當視線角速率為x1，發動機保持開啟狀態不變，視線角速率在控制作用下繼續收斂，由系統方程（9）式，經過一個制導周期后的視線角速率為

當視線角速率為x3，發動機保持關閉狀態不變，視線角速率在無控下繼續發散，由系統方程（9）式，經過一個制導周期后的視線角速率為

當x＞0時，am，LOS，n=M，關閉和開啟門限分別為

當x＜0時，am，LOS，n=-M ，關閉和開啟門限分別為

市面上使用酒精爐的火鍋店較多，主要分為液體酒精爐、固體酒精爐等幾種。孕媽媽要注意的是，如果使用液體酒精爐，服務員不能在餐桌上直接進行酒精爐操作，在對酒精爐添加酒精時，服務員需先蓋滅爐火，然后到獨立操作間中操作。若不遵循這一操作流程，很可能有發生意外的危險。

可知只有在目標不機動即 at，LOS，n=0時，才有，門限具有對稱特性；且門限大小只與距離R（t）有關，隨著R（t）減小，關閉門限增大，開啟門限減小。同時考慮末制導過程中彈體動態特性和目標機動逃逸，門限需要自適應調整；但實際中開關門限在極限值范圍內即可去除抖振，考慮各種干擾的存在，加入邊界層δ，使視線角速率在與邊界層距離為時δ，即執行開關指令，無需達到極限值。對于三維空間下的制導模型（13）式，方程中的耦合項是2階小量，對門限的影響不大，因此可以直接使用定理3中的門限開關。

3　數字仿真

以臨近空間飛行器攔截來襲彈道導彈為例，末制導初始時刻，彈道導彈在發射點慣性系中的位置向量為rm=［244 589.3 m 93 277.7 m -1 574.7 m］，速度向量為vm=［-4 510.2 m/s -66.7 m/s -59.3 m/s］，臨近空間飛行器EKV在發射點慣性系中的位置向量為rEKV=［144636.8 m 95617.9 m -546.5 m］，速度向量為vEKV=［3 491.7 m/s -217.5 m/s -105.1 m/s］，初始質量為 mEKV= 21.56 kg，發動機比沖Isp=200 N·s/kg.導引頭數據采樣周期和制導控制周期為15 ms.

由仿真初始條件，可計算出初始相對距離和相對速度為R（0）=99.985 km，（0）=-8 003.3 m/s，零控脫靶量為1 241.3 m.末制導開始時刻相對于發射點慣性系的視線仰角qε（0）=-1.34°和視線偏角qβ（0）=0.59°均為小角度，因此直接選用發射點慣性系作為末制導參考系。

3.1控制量受限對制導特性的影響

表1　制導律仿真結果Tab.1 Simulated results of guidance law

圖2　視線俯仰角速率變化Fig.2 Variation of LOS pitching angular rate

由仿真結果可知，在滿足定理2中的有限時間收斂條件時，脫靶量很小，視線角速率在有限時間內收斂到0，推力越大，收斂時間越小。且均在制導結束前收斂到0.同時，隨著推力的增大，燃料消耗增加，視線角速率抖振加劇，脫靶量略微增大。在推力為120 N時，不滿足有限時間收斂條件，視線角速率發散，導致脫靶。

3.2目標機動特性的影響

圖3　縱向軌控加速度變化Fig.3 Variation of longitudinal track acceleration

目標機動使制導性能變差，但滑模制導律對干擾具有魯棒性；同時考慮定理3中有限時間收斂條件，需要進一步驗證目標機動特性對制導律有限時間收斂的影響。仿真初始條件不變，軌控發動機推力為400 N，則M=18.54，可知當at，LOS，n＜12.69 m/s2時，滿足有限時間收斂條件。對目標非機動、常值at，LOS，n，ε=-15 m/s2縱向機動和進行如圖4所示縱向機動3種情況進行仿真，得到俯仰視線角速率如圖5所示。

圖4　目標縱向機動加速度Fig.4 Longitudinal maneuvering acceleration of target

從圖5中可以看出：在at，LOS，n，ε=-15 m/s2時因不滿足有限時間收斂條件，視線角速率發散；在目標機動時由于初始存在-5 m/s2的加速度，滿足定理3中的條件仍有限時間收斂，但相對于目標非機動情況收斂時間增大。在視線角速率收斂到0后，在4～10 s加入幅值和方向不同的加速度，視線角速率保持在0附近，表明制導律對目標機動干擾具有魯棒性；且只有在目標機動加速度與視線角速率符號一致時才會導致其快速發散；在6～8 s由于視線角速率已經收斂得很小，此時at，LOS，n，ε=-15 m/s2時仍然穩定。在10 s后機動加速度增大到-25 m/s2，不再滿足有限時間收斂條件，視線角速率發散，脫靶量明顯增大。

圖5　視線俯仰角速率變化Fig.5 Variation of LOS pitching angular rate

3.3滯環控制開關的作用

有限時間收斂控制律中符號函數的存在導致如圖3所示視線角速率發生抖振，如圖3所示軌控發動機頻繁開啟；本節在定理2制導律中加入定理3的滯環控制開關進行仿真。仿真初始條件不變，軌控發動機推力為 400 N，目標加速度 at，LOS，n，ε= -4 m/s2和 at，LOS，n，β=-3 m/s2，發動機推力采用1階慣性環節描述，時間常數T=2 ms，純延時時間Td=2 ms，邊界層δ=0.005，仿真結果如圖6～圖8所示。

圖6　開關門限變化曲線Fig.6 Variation of switching threshold

圖7　俯仰通道參數變化Fig.7 Variation of pitching channel parameters

圖8 偏航通道參數變化Fig.8 Variation of yaw channel parameters

圖6是俯仰和偏航通道的關閉和開啟門限變化曲線。此時俯仰視線角速率ε為負，只給出俯仰通道負的關閉和開啟門限和δ；偏航視線角速率β為正，只給出偏航通道正的關閉和開啟門限 δ和δ.由于目標機動，門限不具有對稱性；隨著末制導時間增加，相對距離R（t）減小，開啟和關閉門限前期變化較小，最后關閉門限迅速發散，開啟門限迅速收斂。

圖7和圖8仿真結果為俯仰和偏航通道的視線角速率和推力加速度的變化曲線。視線角速率在關閉和開啟門限內變化，在軌控發動機工作后，有限時間收斂到關閉門限，即不發散，也不抖振。軌控發動機在視線角速率收斂到關閉門限后關閉，避免了抖振；在視線角速率發散到開啟門限后才開啟，節省燃料。仿真結果脫靶量為0.004 9 m，燃料消耗為1.799 5 kg.滯環控制開關在不影響有限時間收斂和制導精度的條件下，去除了抖振，避免了發動機頻繁開啟，節省了燃料。

4　結論

針對動能攔截器攔截臨近空間高速機動目標，本文設計了控制量受限的有限時間收斂制導律，給出了收斂條件，并采用滯環控制開關去除了系統抖振，提高了制導性能。基于有限時間理論能夠保證視線角速率在制導結束前的有限時間內收斂到期望值，且滑模控制對目標機動干擾具有魯棒性，視線角速率始終保持在較小范圍內變化，實現準平行接近，具有較高的制導精度。采用滯環控制開關去除系統抖振，克服了飽和函數法參數經驗取值問題，關閉和開啟門限保證視線角速率在其范圍內有界變化，去除了抖振。此外，滯環控制開關解決了發動機頻繁開關問題，最大限度減少了燃料消耗，門限參數易于選取，制導律結構簡單，便于工程應用。

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中圖分類號：TJ765

文獻標志碼：A

文章編號：1000-1093（2016）06-1030-08

DOI：10.3969/j.issn.1000-1093.2016.06.009

收稿日期：2015-12-11

基金項目：國家自然科學基金項目（61174203）

作者簡介：段美君（1987—），男，博士研究生。E-mail：richie_dmj@126.com；周荻（1969—），男，教授，博士生導師。E-mail：zhoud@hit.edu.cn

A Guidance Law with Finite Time under Control Variable Constraint

DUAN Mei-jun，ZHOU Di

（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

Abstract：Based on control theory with finite time convergence，the finite time convergence condition of Bang-Bang sliding-mode guidance law and a hysteresis control switch are proposed for the problem of that a kinetic kill vehicle intercepts a supersonic maneuvering target in near space.The condition of finite time convergence of the sliding-mode guidance law against maneuvering target under control variable constraint is presented based on the principle of nullifying the line-of-sight angular rate.Both planar guidance law and three-dimensional guidance law are designed.The upper and lower thresholds of hysteresis control switch are obtained to eliminate the chattering of line-of-sight angular rate.Simulation results show that the proposed guidance law ensures the finite time convergence of line-of-sight angular rate，and has higher guidance accuracy and robustness to high speed maneuvering target.The hysteresis control switch can remove the chattering of line-of-sight angular rate effectively.

Key words：control science and technology；sliding-mode guidance law；finite time convergence；control variable constraint；hysteresis control switch