錯齒內排屑刀具深孔加工中的刀具振動特性對孔圓度形貌的作用機制

孔令飛，牛晗，侯曉麗，林宏斌，王杰（西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048）

?

錯齒內排屑刀具深孔加工中的刀具振動特性對孔圓度形貌的作用機制

孔令飛，牛晗，侯曉麗，林宏斌，王杰
（西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048）

摘要：依據錯齒內排屑刀具深孔加工的實際特點，構建了受刀具橫向振動特性影響的加工孔圓度形貌模型。運用動力學半解析法，在保證刀具系統動態分析精度的前提下，將復雜深孔刀具系統離散為多段具有局部特征的梁單元，其中相鄰單元之間滿足模態形函數傳遞矩陣的連續條件。結合Newton-Raphson迭代法，給出了深孔圓度形貌形成軌跡的數學描述，以及深孔刀具動態特性與加工孔圓度形貌之間的關聯關系。通過數值算例驗證了所提出方法的可行性，同時為實現深孔切削過程加工孔圓度誤差的預測與控制奠定了基礎。

關鍵詞：機械制造工藝與設備；深孔鉆削；刀具振動；圓度形貌；半解析法

0　引言

精密高效的錯齒內排屑刀具（BTA）深孔鉆削技術是當今兵器工業、新能源裝備制造和高新技術產業對深孔零件加工提出的迫切需要［1-4］。然而，由于深孔鉆削機理的復雜性，實際加工中刀具系統需要承受切削力波動及刀具回轉慣性等的影響，而這些載荷又隨著加工參數的變化而變化，致使刀具所表現出的動態行為極其復雜，進而對加工孔品質產生極大影響［5］。那么，如何構建更加精確的深孔刀具系統動態模型，探明加工參數與加工孔精度的映射關系，實現高效、準確地預測與控制加工孔品質，就成為深孔鉆削研究的熱點和關鍵問題。

Mehrabadi等［6］構建了考慮鉆削過程阻尼和質量偏心影響的刀具系統動力學模型，討論了刀具動態運行軌跡及其相應的孔圓度形貌特征，并結合實驗證實了該模型的準確性。Bayly等依據鉆削加工過程的實際特點，研究了顫振對鉆削刀刃切削力和碰摩力的影響，分析了葉瓣孔的成形機理［7-8］。在此基礎上，Deng等［9］運用 Euler-Bernoulli梁單元模型，并結合深孔切削力的傅里葉函數形式表達式，給出了深孔加工圓度誤差計算模型，進而對波紋型與葉瓣型深孔的形成機理進行了研究。但是，由于刀具系統結構的復雜性，這些將切削力簡化為一階徑向波動分量形式［7，10］，或是將刀桿簡化為簡支梁模型［7］，以期得到加工孔圓度形貌的數值解或解析解，就不可避免地丟失刀具系統的一些動力學特性。在實際的深孔加工刀具系統中，刀具經常是由多個部件組成的連續體，且包含有多段刀桿及特殊構造的刀頭，因而難以用簡單模型來描述，必須構建更加精確的深孔加工刀具系統模型。

針對上述問題，本文將復雜深孔刀具系統離散為多段具有局部結構特征的梁單元，而相鄰單元之間滿足模態形函數傳遞矩陣的連續條件。然后，利用Newton-Raphson迭代法，并結合BTA深孔鉆削力的傅里葉多階諧波形式，給出了深孔圓度形貌形成軌跡的解析形式。據此，研究了深孔刀具動態特性與加工孔圓度形貌之間的關聯關系，以及在深孔低速切削過程中易出現葉瓣孔型的成因及其機理。數值算例驗證了本文所提出方法的可行性，該方法將為實現深孔切削過程加工孔誤差的預測與控制奠定基礎。

1　BTA深孔鉆削系統的動態方程

1.1BTA深孔鉆削系統的模型

深孔鉆削加工是將特殊構型的切削刀具裝在圓形空心鉆桿上，使得工件相對于刀具作高速旋轉運動（或刀具相對于工件作高速旋轉運動）。通過授油裝置將高壓切削液沿著鉆桿與孔壁之間的縫隙噴入切削區域，利用切削液自身壓力實現刀具切削部分排屑、冷卻和潤滑。圖1為鉆桿系統示意圖，其中Oξηz為旋轉坐標系，OXYZ為固定坐標系，二者轉換關系為ξ=Xcos（Ωt）+Ysin（Ωt）、η=-Xsin（Ωt）+ Ycos（Ωt）和z=Z，fξ、fη是鉆桿承受的切削力分量，Ω為鉆桿旋轉角速度。

圖1　深孔鉆削刀具系統示意圖Fig.1 The schematic diagram of deep-hole drilling system

采用Lagrangian變分原理，如圖1所示的深孔刀具系統應滿足：

式中：L為拉格朗日函數；T為刀具系統動能；U為刀具系統勢能；“′”表示1階導數。依據 Euler-Bernoulli梁理論，取旋轉鉆桿模型在受彎狀態下的一個微分單元如圖2所示，圖中p為徑向力，Q為剪力，M為彎矩，ρ為密度，S為橫截面面積。

圖2　BTA鉆桿微分單元［11］Fig.2 The differential unit of rotary BTA drill shaft［11］

由圖2可以得到BTA旋轉鉆桿系統的動能表達式為

式中：dz為鉆桿長度方向的微分單元；l表示鉆桿長度。

同理，深孔刀具系統鉆桿的勢能表達式為

將（3）、（4）式帶入（1）式中可得

依據（5）式，旋轉坐標系下刀具系統的動力學方程可表示為

1.2BTA深孔加工刀具的動態切削力

求解（6）式的刀具動態軌跡時，迭代過程需要主切削刃上的切削力、導向塊上的正壓力及摩擦力矢量的多次求和，而矢量力疊加的協調精度不僅影響到求解刀具動態響應是否收斂，而且對被加工孔圓度誤差預測及其演變規律的定量分析具有重要影響。為了方便計算各切削分力的矢量和，可將旋轉坐標系下所描述的刀具受力系統轉化到直角坐標系，如圖3所示。圖3中：A表示BTA深孔加工刀頭的主切削刃，B、C表示其兩個導向塊；fAξ、fBξ和fCξ分別表示切削刃A、導向條B及導向條C在動坐標系ξ方向上的受力，而fAη、fBη和fCη分別表示切削刃A、導向條B及導向條C在動坐標系η方向上的受力；θ為刀具旋轉角度，θ=Ωt；αB和αC分別為切削刃與導向條B和C的夾角。因此，實際深孔鉆削中，t時刻加工刀具在X、Y方向上所承受的矢量疊加力可表示為

式中：β=π/2-αB；γ=αC-π.

圖3　BTA深孔加工切削力分布［9］Fig.3 Cutting forces of BTA drilling［9］

（8）式和（9）式中，由于主切削力fAη與fBξ、fBη、fCξ、fCη之間存在比例關系［12］，因而可基于能量波動方程給出BTA刀具上各切削載荷分量的多階諧波的形式，獲得逼近真實加工狀態下的切削力數學描述［9］為

式中：系數項amAi、amBi、amCi和 bmAi、bmBi、bmCi（m=0，1，2，…；i=ξ，η）可通過切削刃與導向條之間的角度作為積分限求解得到［13］。然后，根據旋轉坐標系與直角坐標系之間的轉換關系，就可獲得旋轉坐標系下的動態切削力矢量為

2　深孔圓度形貌的形成軌跡

為了便于獲得被加工孔圓度形貌的軌跡特征，可將廣義坐標系下旋轉鉆桿的振動方程轉化到復平面內。令，（6）式可重寫為

式中：ζ為孔圓度形貌軌跡；j表示虛數單位。

若要精準地預測孔圓度形貌軌跡，就必須考慮刀具系統中具有局部結構特征的部件（例如：刀桿連接螺紋、刀頭等）對系統動態方程（17）式所產生的影響。因此，依據圖4所示的劃分規則，將深孔刀具系統離散為多段具有均勻結構特征的梁單元，圖4中li為相應結構單元的長度，i=1，2，…，n.

圖4 深孔鉆削刀具系統模型Fig.4 The model of drilling tool system

圖4中，經離散化處理后的深孔刀具系統可分為n個結構單元，其中第i段梁的模態函數為

式中：

考慮到刀具動力系統的連續性，劃分的相鄰單元之間必須滿足位移、轉角、彎矩及剪力相等［14］，因而刀具系統的模態形函數傳遞矩陣具有如（20）式形式：

采用與（20）式相似的推導過程，若取i=1，2，…，n時，則自由邊界條件下BTA深孔刀具系統模態形函數的傳遞矩陣可寫為（21）式的形式。Deng等［9］和Hussien等［10］的研究結果表明深孔刀具系統的邊界條件可假設為簡支梁，且具有足夠的精度。因此，根據（22）式的刀具單元模態傳遞形式，并綜合考慮邊界條件，便可得刀具系統的連續傳遞函數（22）式。

式中：

將深孔刀具系統兩端的邊界條件代入（22）式，即可推導出

若使方程（23）式有非零解，則必有

據此，利用Newton-Raphson迭代求解出（24）式的各階實特征根，同時，將所求得的特征根代入（18）式便可獲得BTA深孔鉆削系統模態函數為

式中：μn為常數。

依據（25）式，可將復平面內刀具振動方程（17）式轉化到模態空間，并利用模態坐標的正交性求解得

式中：

由此可見，（26）式是關于時間函數q（t）的2階線性微分方程，故采用Laplace變換的方法求解，并將其轉化到原物理空間，方程（17）式解的具體形式可寫為

就（27）式的本質而言，被加工孔的動態形貌軌跡ζ（t）是深孔刀具振動過程中n階振動模態函數的疊加。利用（27）式，并結合Shunmugam提出的最小二乘圓法［15］，即可很容易地獲得被加工孔的圓度誤差。

3　方法驗證

為了驗證方法的可行性，運用上述理論和算法編制程序，將計算結果與文獻［7］的實驗結果進行對比。相關計算參數如下：鉆桿材料密度為7 860 kg/m3，彈性模量為2.06×1011Pa；刀具直徑分別選用18.91 mm和26.40 mm兩種，其中刀具直徑為 18.91 mm時，鉆桿的內徑與外徑分別為11.5 mm和17 mm，而當刀具直徑為26.40 mm時，鉆桿的內徑與外徑分別為14 mm和22 mm.

表1為在不同切削轉速、進給量及加工深度條件下，計算得到的被加工孔圓度誤差數值。由表1可以看出，當選定加工深度時，若改變鉆削進給量、切削轉速或鉆桿直徑參數，被加工孔圓度誤差的預測結果與實驗結果的變化趨勢是相同的，即隨著鉆削進給量的增加、切削轉速的增大及鉆桿直徑的減少，被加工孔的圓度誤差均在不同程度上增大。例如當選定加工深度為150 mm時，鉆削進給量從0.05 mm/r增加到0.1 mm/r，圓度誤差的預測結果從2.9 μm增加到4.9 μm，而實驗結果則從2.7 μm增加到4.8 μm；若選定加工深度為200 mm時，切削轉速從390 r/min增加到855 r/min，圓度誤差的預測結果與實驗結果分別從2.8 μm增加到4.9 μm和從2.6 μm增加到5.2 μm.此外，盡管孔圓度誤差的預測結果與實驗結果存在一些差異，但二者之間的誤差幾乎都在10%以內，這表明本文所提出的方法適用于預測被加工孔的圓度誤差及其變化趨勢，且具有較高的精度。然而，就預測結果與實驗結果之間的差異而言，主要是由于本文采用的切削力模型尚存在不足之處，例如導向塊與孔壁表面之間的摩擦效應、材料本身的性能等因素未被考慮。

表1　圓度誤差的理論計算與實驗結果對比Tab.1 Comparison of roundness error in computational values and experimental results

4　應用算例與分析

本節將運用前文所述的算法編制程序，探究不同切削轉速條件下，刀具中心動態軌跡與孔表面圓度形貌之間的關聯聯系，進而為實際加工過程中精準預測或控制被加工孔的圓度誤差奠定基礎。

圖5～圖7分別給出了當進給量為0.1 mm/r、鉆桿長度為1.6 m及刀具直徑為18.91 mm時，選取390 r/min、560 r/min和830 r/min 3種不同切削轉速進行加工，獲得的刀具中心動態軌跡。從圖5～圖7中可以看出，隨著切削轉速的增大，刀具中心動態軌跡的振動范圍不斷增大，但振動特征卻呈現出明顯差異。例如當刀具轉速為390 r/min時，刀具中心的動態軌跡呈現出明顯的4波瓣軌跡，而切削轉速為560 r/min和830 r/min時，上述現象卻并不明顯。

圖5　當Ω=390 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.5 The dynamic trajectories ofdrilling tools center at Ω=390 r/min

為了進一步研究孔圓度形貌的形成機制，可取上述相同的加工參數，繪制出孔圓度形貌軌跡，如圖8所示。從圖8中可以看出，對于3種不同的切削轉速而言，刀具每切削一個周期所形成的圓度形貌軌跡與相鄰兩周之間均存在著一個相位差εp，進而造成了相鄰切削周期內所形成的孔型存在角度差異。若相位差εp越小，則相鄰切削周期的孔型偏差也就越小。結合 Bayly等［7］和 Tlusty［16］的研究可知，孔圓度形貌的偏差與刀具系統固有特性有著直接聯系。基于此，利用本文所述的數值計算方法，獲得深孔刀具系統的第1階固有頻率為25.2 Hz，將其轉化成相應的轉速單位為1 510.8 r/min.若選取切削轉速為390 r/min時，該值恰好接近于固有頻率的四分之一（即377.7 r/min），因而被加工孔圓度形貌呈現出明顯的4瓣特征，如圖8（a）所示。圖9～圖12給出了當切削轉速分別為深孔鉆桿系統第1階固有頻率的1/2、1/3、1/4和1/5時，計算獲得的刀具中心動態軌跡，相應的波瓣數為2瓣、3瓣、4瓣、5瓣。通過上述數值算例可以看出，雖然實際鉆削中引發孔圓度形貌變化的原因不同，但其形成的過程和出現的規律是相同的，即孔圓度形貌與刀具系統的低階固有頻率及激勵頻率有著最為直接的聯系。

圖6　當Ω=560 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.6 The dynamic trajectories of drilling tool center for Ω=560 r/min

圖7　當Ω=830 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.7 The dynamic trajectories of drilling tool center for Ω=830 r/min

圖8　不同轉速時孔表面圓度的二維形貌軌跡Fig.8 The dynamic trajectories of roundness morphology on X-Y plane at different rotational speeds

5　結論

考慮到實際深孔加工刀具系統結構的復雜性，將刀具系統離散為多段具有局部結構特征的梁單元，其中相鄰單元之間滿足模態形函數傳遞矩陣的連續條件，進而構建了深孔圓度形貌形成軌跡的解析表達式。運用該數值計算方法，研究了刀具動態特性與加工孔圓度形貌之間的關聯關系。由數值計算結果可以看出，雖然深孔鉆削過程中引發孔圓度誤差變化的原因不同，但其形成的過程和出現的規律是相同的，即孔圓度誤差形貌與刀具系統的固有頻率及激勵頻率有著最為直接的聯系。此外，算例結果也驗證了本文所提出的方法適用于探究被加工深孔圓度誤差的變化規律，這些將為實現深孔切削過程加工孔圓度誤差的預測與控制奠定基礎，且具有足夠的精度。

圖9　當Ω=755.4 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.9 The dynamic trajectories of drilling tool center for Ω=755.4 r/min

圖10　當Ω=503.6 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.10 The dynamic trajectories of drilling tool center for Ω=503.6 r/min

圖12　當Ω=302.16 r/min時刀具中心的動態軌跡Fig.12 The dynamic trajectories of drilling tool center for Ω=302.16 r/min

參考文獻（References）

［1］ Weinert K，Webber O，Peters C.On the influence of drilling depth dependent modal damping on chatter vibration in BTA deep hole drilling［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，2005，54（1）：363-366.

［2］ Chin D H，Yoon M C，Sim S B.Roundness modeling in BTA deep hole drilling［J］.Precision Engineering，2005，29（2）：176-188.

［3］ 孔令飛，李言，呂延軍.BTA深孔加工鉆桿系統的穩定性及分岔［J］.兵工學報，2009，30（12）：1684-1690. KONG Ling-fei，LI Yan，LYU Yan-jun.Stability and bifurcation of the drilling shaft system in processing deep hole based on boring and trepanning association［J］.Acta Armamentarii，2009，30（12）：1684-1690.（in Chinese）

［4］ 孔令飛，李言，呂延軍，等.深孔加工刀具系統的動態穩定域研究［J］.兵工學報，2013，34（5）：611-619. KONG Ling-fei，LI Yan，LYU Yan-jun，et al.The dynamic stable region of drilling tools system in deep hole drilling［J］.Acta Armamentarii，2013，34（5）：611-619.（in Chinese）

［5］ Matsuzaki K，Ryu T，Sueoka A，et al.Theoretical and experimental study on rifling mark generating phenomena in BTA deep hole drilling process（generating mechanism and counter measure）［J］.International Journal of Machine Tools&Manufacture，2015，88：194-205.

［6］ Mehrabadi I M，Nouri M，Madoliat R.Investigating chatter vibration in deep drilling，including process damping and the gyroscopiceffect［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2009，49（12/13）：939-946.

［7］ Bayly P V，Lamar M T，Calvert S G.Low-frequency regenerative vibration and the formation of lobed holes in drilling［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2002，124（2）：275-285.

［8］ Bayly P V，Halley E J，Mann P B，et al.Stability of interrupted cutting by temporal finite element analysis［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125（2）：220-225.

［9］ Deng C S，Chin J H.Roundness errors in BTA drilling and a model of waviness and lobing caused by resonant forced vibrations of its long drill shaft［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2004，126（3）：524-534.

［10］ Hussien M A W，Rama B B，Kudret D.Whirling vibration in boring trepanning association deep hole boring process：analytical and experimental investigations［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2007，129（1）：48-62.

［11］ Perng Y L，Chin J H.Theoretical and experimental investigations on the spinning BTA deep-hole drill shafts containing fluids and subject to axial forces［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1999，41（11）：1301-1322.

［12］ Griffiths J B.Modeling complex force systems，part 1：the cutting and pad forces in deep drilling［J］.Journa1 of Engineering for Industry，1993，115（2）：169-176.

［13］ Matin A M，Rahman M.Analysis of the cutting process of a cylindrical workpiece clamped by a three-jaw chuck［J］.Journal of Engineering for Industry，1988，110（4）：326-332.

［14］ Attar M.A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2012，57（1）：19-33.

［15］ Shunmugam M S.Criteria for computer-aided form evaluation ［J］.Journal of Engineering for Industry，1991，113（2）：233-238.

［16］ Tlusty J.Dynamics of high-speed milling［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，1986，108（2）：59-67.

中圖分類號：TH113.1

文獻標志碼：A

文章編號：1000-1093（2016）06-1066-09

DOI：10.3969/j.issn.1000-1093.2016.06.014

收稿日期：2015-08-05

基金項目：國家自然科學基金項目（51475367）；國家科技重大專項項目（2014ZX04001-191）；陜西省自然科學基金項目（14JK1536）

作者簡介：孔令飛（1977—），男，副教授。E-mail：lingfeikong@xaut.edu.cn

Influence of Tool Vibration Characteristics on the Hole Roundness Morphology in BTA Deep-hole Drilling

KONG Ling-fei，NIU Han，HOU Xiao-li，LIN Hong-bin，WANG Jie
（School of Mechanic and Precision Instrument Engineer，Xi'an University of Technology，Xi'an 710048，Shaanxi，China）

Abstract：According to the characteristics of deep-hole drilling，a roundness morphology model of machined hole influenced by the dynamical vibration of drilling tool is established.In order to satisfy the dynamic analysis precision，the drilling tool system is discretized into multi-elements beam with the local structure characteristics by using the semi-analytical method.Two adjacent elements must satisfy the continuity condition of modal shape function transfer matrix.Based on the aforementioned method，a novel analytical model of radial cutting depth is deduced to satisfy the precise calculation and analysis of roundness morphology in the progress of practical deep-hole drilling by using Newton-Raphson iterative method，and the relationship between tool vibration properties and roundness morphology is obtained.Various numerical examples are provided to validate the feasibility of proposed method，and the relevant results can be used for the prediction and on-line control of roundness error in the process of deep-hole machining.

Key words：manufaturing technology and equipment；deep-hole drilling；cutting tool vibration；roundness morphology；semi-analytical method