加卷積窗測量電氣參量時的噪聲誤差研究

曹堃銳++劉梧林++丁海洋

摘 要：采用卷積窗加權法能夠基本消除電氣參量測量時的不同步采樣誤差，但卻無法降低噪聲帶來的測量誤差。文中研究了加卷積窗測量電氣參量時噪聲帶來的誤差問題，研究得出：該測量誤差與信噪比及采樣頻率的開方成反比；根據隨機噪聲具有的統計特性，提出了對實際測量值進行數理統計運算，以計算量的增大換得噪聲引起的誤差減小；最后通過數值模擬驗證了所提理論的有效性。

關鍵詞：電氣參量；卷積窗加權測量法；噪聲；誤差

中圖分類號：TM732 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2016）07-00-04

0 引 言

以微處理器為基礎的電工測量儀表在測量有效值、有功功率等電氣參量時，信號頻率的不穩定會帶來不同步采樣誤差[1，2]。許多學者就克服這種測量誤差進行了研究[3-8]，但各種方法都有其側重點與局限性。文獻[9]提出的電氣參量卷積窗加權算法，可基本消除不同步采樣的測量誤差，且權函數有固定解析式，算法簡單便于實現。但對于加權算法計算電氣參量時，干擾噪聲帶來的誤差問題卻沒有進行詳細的研究。在測量過程中，發現噪聲永遠存在于電力系統中，其對測量帶來的誤差往往不能忽視，尤其對強度較弱的電流信號而言[10]，一點噪聲干擾可能就使系統的信噪比很低、誤差很大。因此本文在簡單闡述了卷積窗加權算法的基礎上，重點推導了電氣參量加權測量中的噪聲誤差公式，并給出了相應的減小誤差的方法。該方法對于解決電氣參量高精度測量中的實際問題具有借鑒和指導意義。

1 電氣參量的卷積窗加權測量法

設交流電信號u（t）、i （t）的周期為T，則有效值及有功功率為：

在電信號采樣過程中，會出現不同步誤差，導致用（1）、（2）式計算有效值時，使得信號周期T只能用一近似值T0代入。設x為相對頻偏，即T0=（1+x）T；f=（1+x）f0。對電信號加卷積窗可有效克服不同步帶來的誤差，為便于數值模擬，對加窗后的有效值及有功功率進行時間上的離散。

設N為一個估計周期T0中的采樣點數，采樣序列記為un、in，相應的卷積窗序列為wk，則有效值及有用功率的加權離散表達式為：

列出了常用的1～3階卷積窗函數解析式[7]，見式（5）～（7）所示：

2 電氣參量加權測量中噪聲誤差分析

2.1 有效值的噪聲誤差分析

以電壓信號u（t）為例進行說明。隨機高斯白噪聲假設為z（t），其離散采樣序列為zn，為在加噪聲z（t）條件下得到的電壓有效值，則根據式（3）可得：

式中Uz為噪聲信號的有效值，ξ是電壓與噪聲信號的相關系數，與信噪比SNR（dB）有關，不同SNR下的ξ值分別為：

由于高斯白噪聲的隨機性，每個采樣點zn可以認為服從N（0，σ2）的正態分布，而高斯白噪聲信號的標準差等于其有效值Uz，則有：

其中，Pu、Pz分別為電壓信號及噪聲信號的有功功率，SNR為信噪比。

通過以上計算可以得出：

不同采樣點的噪聲誤差可以看成是相互獨立無關的，則信噪比一定時，電壓有效值的期望和方差為：

其中，Ak定義與上節相同，主要依賴于權系數的階數k，有A1=1.00，A2=1.15，A3=1.29[11]。信噪比一定時，由噪聲隨機性引起的電壓有效值與噪聲有效值之和的測量相對誤差為：

式中fS為采樣頻率，T0為額定周期（T0=1/f0）， ξ由式（9）確定。

同理可得，電流有效值與所加噪聲有效值之和的測量相對誤差為：

通過式（15）、式（16）可以看出，加入高斯白噪聲引起的測量相對誤差反比于信噪比及采樣頻率的開方根，而增大卷積窗階數k會使Ak也增大，故只使誤差略微減小。

2.2 有功功率的噪聲誤差分析

設電壓信號為u（t），電流信號為i（t）。zn1、zn2分別為電壓、電流的噪聲信號離散采樣序列，為在噪聲條件下得到的有功功率，則根據式（4）有：

對于zn1、zn2序列可以認為服從N（0，σ2）的隨機正態分布，根據式（11）可以得出：

式中SNR1、SNR2分別代表電壓信號、電流信號的信噪比（dB）。

電壓與電流的噪聲信號zn1、zn2是相互獨立無關的，可得出以下推導：

不同采樣點的噪聲誤差可以看成是相互獨立無關的，則有功功率的期望和方差為：

其中，Ak、Ak1、Ak2定義與上節相同（、），在給定權系數的階數k后，Ak1=Ak2=Ak，且有A1=1.00，A2=1.15，A3=1.29[11]。因此由于噪聲而造成的有功功率測量的相對誤差為：

式中fs為采樣頻率，ψ為功率因數的真值。

通過式（22）可以看出，加入高斯白噪聲引起的測量相對誤差反比于信噪比及采樣頻率的開方根，而增大卷積窗階數k會使Ak也增大，故只使誤差略微減小。

3 降低噪聲誤差的方法

由上節可知，直接測量出的有效值應在綜合有效值（真有效值與噪聲有效值之和）上下一定范圍內隨機得出，且信噪比越小，波動范圍越大。但信噪比低于一定值時，波動范圍大小將基本不變。同時噪聲信號與電信號的不相關性，使得式（15）中的綜合有效值波動不會太大。由此，我們可以求出多個周期的有效值大小，再通過其期望和方差，聯立式（13）、式（14）建立二元一次方程組，求出真有效值與信噪比大小。

假設在信噪比不變的情況下，采樣了3n個周期，每三個周期加三階卷積窗權系數求一次有效值，則將得到n組有效值，記為Ui（i=1，2，…，n），建立方程組有：

若在計算前能大概估出信噪比范圍，則直接利用式（9）確定相關系數ξ，否則可先按ξ=1代入計算信噪比，再進行調整即可。endprint

由于加了三階卷積窗權系數求其有效值，故不同步誤差可忽略。這時由式（23）算出的電壓、電流真有效值的主要誤差為：在信噪比一定時，有限個數Ui所求出的均值、標準差的實際值與理論值之間不相同所帶來的計算誤差。根據上面的分析，可以通過以下辦法提高計算的精度：

（1）在信噪比不變的情況下，增加采樣周期，使得原有效值Ui的數量增多，這樣Ui的均值及標準差將更接近理論值。此辦法的可行性在于只需考慮計算量因數，而不用考慮頻率偏差是否變化。

（2）通過硬件設備降低系統的信噪比，這樣可使Ui圍繞綜合有效值的波動范圍減小，求出的均值及標準差更準確。

（3）增加采樣頻率，式（15）采樣頻率的增大也會使Ui誤差的波動范圍減小。

與有效值的方法類似，在信噪比不變的情況下，對電壓、電流信號分別采樣 3n個周期，加三階卷積窗權系數求出n組有功功率值，記為 （Pi（i=1，2，…，n）），其均值為：

根據式（20）可知， 便是所要求的有功功率值。若要進一步提高計算精度，可做與有效值類似的處理。

4 數值模擬

4.1 有效值仿真

為驗證本節理論的有效性，對加白噪聲的電信號進行數值仿真：

式中的z（t）代表隨機生成的標準高斯白噪聲信號[12]。在電力系統中信號頻率的波動范圍一般為49.5～50.5 Hz，取f0=50 Hz，則相對頻偏|x|<0.01。各次諧波的振幅（V）與初相位（rad）見表1所列。

假設量化位數足夠高，因此，不考慮量化誤差。圖1列出了采樣頻率 ，卷積窗階數k=3，信噪比SNR=120、50、8、0、 -8、-20（dB）時相對頻偏與綜合相對誤差的關系仿真圖，點狀直線為式（15）算出的理論噪聲誤差，曲線或折線為實際綜合誤差，花點為不同步采樣造成的誤差（信噪比較低時可忽略）。由圖中可以看出兩點：

（1） 由于干擾噪聲的隨機性，實際誤差值以理論估計值為中心上下波動，說明理論公式可以估計真實的情況，具有實際應用性；

（2）隨著信噪比的降低，綜合有效值的誤差逐漸增大，但極低信噪比下，變換趨勢卻很緩慢。

在仿真條件不變的情況下，表2列出了常用信噪比下利用式（23）在不同測量次數時，求得的有效值與真值的絕對誤差大小（V）。信號的真有效值為U=220.064 V。

可以看出，使用式（23）可以很好的求出電信號有效值大小，且隨著測量次數的增多，所求的結果越準確。

4.2 有功功率仿真

對含噪電信號

進行數值仿真，以驗證本節理論的有效性。在電力系統中，f0=50 Hz，相對頻偏|x|<0.01。取采樣頻率fs=3 200 Hz，權階數k=3。

假設量化位數足夠高，不考慮量化誤差。隨機選取幾組電壓、電流的信噪比SNR1、SNR2對有功功率及功率因數測量中因噪聲引起的相對誤差進行仿真，如圖2所示。點狀直線為式（22）算出的測量誤差的理論估計值，折線為實際測量誤差。可以看出：由于干擾噪聲的隨機性，實際誤差值以理論估計值為中心上下波動，說明理論公式可以估計真實的情況，具有實際應用性。

在前提條件不變的情況下，表3列出了在不同測量次數時，求得的有功功率與真值的絕對誤差大小（W），有功功率的真值為P=550 W。可以看出，測量出的有功功率次數越多，求出的均值越接近于其真值。

5 結 語

在基于三階卷積窗加權算法的電氣參量測量中，不同步采樣引起的誤差基本可以忽略不計，這時干擾噪聲引起的測量誤差將變得重要，尤其對于某些小信號而言。從推導出的噪聲誤差關系式中可以看出，測量誤差與采樣頻率的開方及信噪比成反比。根據噪聲具有的隨機性特征，可通過數理統計的相關知識降低其信噪比，以改善電氣參量的測量精度。數值模擬結果說明，對電氣參量測量的次數越多，求出的均值越接近于各參量的真值。因此需在計算量與測量精度之間做折中選擇。

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