磁懸淳敏感陀螺動(dòng)力學(xué)建模與關(guān)鍵誤差源分析

辛朝軍，蔡遠(yuǎn)文，任 元，*，繆存孝，張立元

磁懸淳敏感陀螺動(dòng)力學(xué)建模與關(guān)鍵誤差源分析

辛朝軍1，蔡遠(yuǎn)文1，任 元1，*，繆存孝2，張立元2

（1.裝備學(xué)院航天裝備系，北京101416； 2.北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100083）

基于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)構(gòu)建了針對(duì)一種新型雙球形包絡(luò)面轉(zhuǎn)子磁懸浮敏感院螺（MSSG）動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)院螺關(guān)鍵誤差源迸行了理論分析。描述了磁懸浮敏感院螺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與角速率測(cè)量原理，并分別建立了磁懸浮轉(zhuǎn)子所受電磁力與電磁力矩?cái)?shù)學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)子微小平移與偏轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)子力學(xué)狀態(tài)的影響機(jī)理，利用ANSYS軟件得出的有限元仿真結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果基本吻合。在此基礎(chǔ)上，從理論上對(duì)轉(zhuǎn)子非球形誤差和洛倫茲力磁軸承誤差2種主要誤差源迸行了初步分析，紿出了干擾力矩解析表達(dá)式。計(jì)算表明：轉(zhuǎn)子非球形和洛倫茲力磁軸承中磁場(chǎng)分布不均是導(dǎo)致測(cè)量誤差產(chǎn)生的主要因素。模型的構(gòu)建可為磁懸浮敏感院螺的優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析提供有效理論依據(jù)。

磁懸浮敏感院螺（MSSG）；雙球形包絡(luò)面；洛倫茲力；非球形誤差；誤差源分析

主動(dòng)磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearings，AMBs）具有非接觸、高轉(zhuǎn)速、長壽命、低功耗和無需潤滑等優(yōu)點(diǎn)［1-3］。作為理想的高精度姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)，AMBs已經(jīng)成功地在一系列航天任務(wù)中得到了廣泛應(yīng)用。AMBs在空間任務(wù)中的應(yīng)用主要作為磁懸浮控制力矩陀螺、磁懸浮飛輪使用［4-5］。近年來，研究人員提出了一種基于AMBs的磁懸浮敏感陀螺（Magnetically Suspended Sensitive Gyroscope，MSSG），憑借AMBs的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，單個(gè)MSSG可以方便實(shí)現(xiàn)2個(gè)自由度的姿態(tài)角速率敏感，并具有高精度、寬頻帶的發(fā)展?jié)摿Γ诤娇蘸教臁⒅茖?dǎo)和機(jī)械等領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。

在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，Bosgiraud［7］于2008年提出并利用小型化的AMBs研制了一種二自由度MSSG，驗(yàn)證了MSSG角速率敏感的可行性以及控制的精確性。但這種方法要求電磁裝置具備電機(jī)功能，從而產(chǎn)生了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)平衡問題，同時(shí)測(cè)量結(jié)果中表現(xiàn)出的低通特性也限制了測(cè)量精度的提高。Maruyama等［8］在2008年提出了一種AMBs自身作為敏感裝置的MSSG傳感器概念，并對(duì)MSSG的姿態(tài)敏感原理進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn)，提出了用以擴(kuò)展其測(cè)量帶寬的可行方法，但由于缺乏必要的誤差補(bǔ)償措施，實(shí)驗(yàn)中角速率測(cè)量誤差高達(dá) 10%［9-10］。北京航空航天大學(xué)的房建成等［11-12］于2011年提出了一種新型磁懸浮陀螺飛輪，實(shí)現(xiàn)了三自由度控制力矩輸出和二自由度姿態(tài)角速率敏感。但基于磁懸浮支承技術(shù)的磁懸浮陀螺飛輪的本質(zhì)是姿態(tài)控制執(zhí)行裝置，因而其三自由度姿態(tài)控制力矩輸出性能更強(qiáng)，角速率敏感受轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的耦合而精度有限。鄭世強(qiáng)等［13-14］基于磁懸浮控制力矩陀螺提出分時(shí)復(fù)用的控制、敏感雙模式概念，通過使用交叉解耦反饋控制器，使X、Y方向的角速度耦合得以減小，但由于雙框架支承MSSG中框架固有摩擦力矩的存在，這種方法測(cè)量精度和實(shí)時(shí)性還有待提高。

由于MSSG的概念提出較新，其結(jié)構(gòu)與測(cè)量原理與已有靜電懸浮陀螺、超導(dǎo)磁懸浮陀螺等有較大區(qū)別，對(duì)這種新型陀螺的角速率敏感機(jī)理尚未開展系統(tǒng)理論研究，也沒有從理論上對(duì)此類陀螺敏感精度的影響因素進(jìn)行系統(tǒng)分析。為了減少陀螺轉(zhuǎn)子平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)耦合，提高M(jìn)SSG的角速率敏感精度，本文提出了一種雙球形包絡(luò)面轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的MSSG。陀螺的定子、轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面均設(shè)計(jì)為球形，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)平動(dòng)的解耦，同時(shí)，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)采用洛倫茲力磁軸承單獨(dú)控制，解決了2種運(yùn)動(dòng)控制互相耦合的問題，為MSSG的高精度角速率敏感提供了結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。本文在描述MSSG結(jié)構(gòu)和測(cè)量原理的基礎(chǔ)上，建立了MSSG動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)子所受電磁力、電磁力矩與其平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)之間的變化規(guī)律，以及影響角速率敏感精度的主要因素，并通過有限元仿真對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 M SSG結(jié)構(gòu)與工作原理

1．1 M SSG結(jié)構(gòu)

雙球形包絡(luò)面轉(zhuǎn)子MSSG結(jié)構(gòu)如圖1所示。陀螺房中，定子的軸向和徑向磁軸承磁極面分別位于2個(gè)不同半徑的球形包絡(luò)面上，共同形成一個(gè)中心腔體，其中軸向磁軸承磁極的包絡(luò)面直徑較小，徑向磁軸承磁極的包絡(luò)面直徑較大，徑向、軸向磁極均為電磁結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)子位于定子形成的中心腔體中，徑向、軸向磁軸承磁極面也為球形包絡(luò)面結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子由整塊磁性材料加工而成。陀螺轉(zhuǎn)子與定子之間的空隙為0.35mm，轉(zhuǎn)子、定子各磁極包絡(luò)面球心完全重合。軸向磁軸承由2對(duì)磁極組成，主要用于轉(zhuǎn)子在 Z方向的平動(dòng)控制；徑向磁軸承由4對(duì)磁極組成，每2對(duì)磁極實(shí)現(xiàn)一個(gè)方向的平動(dòng)控制，磁極之間安裝隔磁材料，使 X、Y通道的磁力線互相獨(dú)立，從而保證磁軸承對(duì)X、Y方向平動(dòng)的獨(dú)立控制。陀螺的偏轉(zhuǎn)由洛倫茲力磁軸承獨(dú)立控制，通過洛倫茲線圈產(chǎn)生的洛倫茲力使轉(zhuǎn)子沿X或Y軸偏轉(zhuǎn)。在陀螺轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面為理想球形的情況下，徑向、軸向磁軸承產(chǎn)生的磁力將指向轉(zhuǎn)子幾何中心，而不對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生力矩作用。

雙球形包絡(luò)面的設(shè)計(jì)可從幾何結(jié)構(gòu)上實(shí)現(xiàn)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的解耦，為高精度的角速率敏感提供結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，同時(shí)，這種結(jié)構(gòu)也可以輸出較大的控制力矩，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制功能。

1．2 M SSG角速率敏感原理

根據(jù)動(dòng)量矩定理，高速轉(zhuǎn)子角動(dòng)量在債性空間方向的改變只取決于其所受到的外部力矩，而MSSG轉(zhuǎn)子所受到的外力矩只能來自磁軸承，因此，通過對(duì)轉(zhuǎn)子所受磁懸浮力矩的測(cè)量，就可以間接得到轉(zhuǎn)子相對(duì)于債性空間的角速率ωI。

根據(jù)歐拉動(dòng)力學(xué)原理，可得載體姿態(tài)角速率矢量測(cè)量方程：

式中：ωs為載體相對(duì)于債性空間的姿態(tài)角速率，即輸入角速率；ωgr為磁懸浮轉(zhuǎn)子相對(duì)于陀螺房的角速率。

圖1 MSSG結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of configuration of MSSG

因?yàn)槁鍌惼澚Υ泡S承的控制帶寬和位移傳感器的測(cè)量帶寬遠(yuǎn)高于載體的姿態(tài)變化頻率，所以MSSG的控制系統(tǒng)在其控制帶寬內(nèi)，總能保證式（1）成立。

在力臂已知的條件下，轉(zhuǎn)子所受的偏轉(zhuǎn)力矩由洛倫茲力磁軸承產(chǎn)生的洛倫茲力唯一確定，因此，ωI即可通過檢測(cè)洛倫茲力磁軸承線圈中的電流實(shí)時(shí)獲得，而磁懸浮轉(zhuǎn)子相對(duì)于陀螺房的角速率ωgr則可通過對(duì)轉(zhuǎn)子位移的檢測(cè)獲得。因此，載體角速率 ωs就可以通過實(shí)時(shí)檢測(cè)洛倫茲力磁軸承電流和轉(zhuǎn)子位移，根據(jù)式（1）矢量解算得到。

2 數(shù)學(xué)模型

定義如下坐標(biāo)系：轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系C-xyz，原點(diǎn)C為轉(zhuǎn)子幾何中心，z為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸方向，轉(zhuǎn)子繞該軸以角速度Ω高速轉(zhuǎn)動(dòng)；定子坐標(biāo)系O-XYZ，原點(diǎn)O為定子幾何中心，并定義與定子坐標(biāo)系相對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)系（R，φ，θ），如圖2所示。

2．1 電磁力模型

轉(zhuǎn)子磁極上某一微元面積d S所受電磁力可以表示為［15］

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線圈匝數(shù)；I為線圈控制電流；n0為受力面積微元法線的單位向量；δ為定轉(zhuǎn)子磁極間氣隙大小。

當(dāng)轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)，各方向上氣隙值相等，直接用式（2）積分即可得到轉(zhuǎn)子所受電磁力大小。

若轉(zhuǎn)子發(fā)生平移，轉(zhuǎn)子幾何中心從O點(diǎn)平移到C點(diǎn)，則每個(gè)磁極面處的氣隙值將發(fā)生變化。設(shè)P為轉(zhuǎn)子面上一點(diǎn)，連線CP的延長線與定子磁極面相交于點(diǎn)Q，如圖2所示，定子磁極與轉(zhuǎn)子磁極之間的間隙大小可表示為

由于轉(zhuǎn)子平移遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)子半徑，因此CQ、OQ可視為同方向，根據(jù)矢量三角形COQ的幾何關(guān)系，式（3）可寫為

式中：R為定子磁極包絡(luò)面半徑；r0為相應(yīng)轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面半徑；r0為r0的單位矢量；δ0為理想氣隙值；e為O到C的線性位移矢量，即轉(zhuǎn)子位移量，可表示為

其中：X0、Y0和 Z0分別為定子坐標(biāo)系各軸單位向量。

r0在定子坐標(biāo)系中可表示為

式中：φ為OP與Z軸夾角；θ為OP方位角。

將式（5）、式（6）代入式（4）可得

假設(shè)轉(zhuǎn)子僅在軸向發(fā)生了偏移 eZ+，根據(jù)式（7），定轉(zhuǎn)子間氣隙在磁極面間任一點(diǎn)上均會(huì)發(fā)生變化，從而每個(gè)磁軸承上的磁力也會(huì)發(fā)生變化，其氣隙表達(dá)式變?yōu)?/p>

圖2 MSSG坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate systems of MSSG

基于轉(zhuǎn)子包絡(luò)面理想球形的假設(shè)，當(dāng)轉(zhuǎn)子位置變化時(shí)，轉(zhuǎn)子包絡(luò)面上所有點(diǎn)的受力方向仍然指向轉(zhuǎn)子幾何中心。此時(shí)，偏移前轉(zhuǎn)子上任意一點(diǎn)［r0cosθsinφ r0sinθsinφ r0cosφ］所受磁力的方向向量變?yōu)椋踨0cosθsinφ r0sinθsinφ r0cosφeZ+］，代入式（2）可得d FZ+，如式（9）所示。

對(duì)于軸向磁軸承，產(chǎn)生磁力的磁極面積是轉(zhuǎn)子幾何中心與定子磁極棱線連線在轉(zhuǎn)子包絡(luò)面上所圍的面積，為計(jì)算方便，將該磁極面積近似為定子磁極面，因此，轉(zhuǎn)子Z方向發(fā)生偏移時(shí)，轉(zhuǎn)子受Z軸正方向單個(gè)軸向磁軸承電磁力為FZ+_Z+，如式（10）所示。

在差動(dòng)的安裝方式下，轉(zhuǎn)子在同一個(gè)方向上所受的力是相對(duì)的2個(gè)磁極產(chǎn)生電磁力之差，因此，軸向磁軸承所產(chǎn)生的電磁力為FZZ，如式（11）所示。

顯然，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)，定轉(zhuǎn)子磁極之間的氣隙處處相等，徑向、軸向磁軸承合力均為0。但當(dāng)轉(zhuǎn)子在Z正方向產(chǎn)生平移時(shí)，由于定子磁極Z正方向處磁極間氣隙變窄，磁力線變得更為密集，從而將產(chǎn)生更強(qiáng)的磁力，而在 Z負(fù)方向處，磁極間氣隙變寬，與轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)所產(chǎn)生的磁力相比，定子對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的作用力將變小。對(duì)于差動(dòng)安裝的一對(duì)定子磁極而言，上下磁極在Z方向產(chǎn)生的磁力變化方向一致，因此，其總效果近似單個(gè)磁極所產(chǎn)生電磁力的2倍。而在X和Y方向上，定轉(zhuǎn)子磁極間氣隙的變化分別關(guān)于兩軸對(duì)稱，磁力變化對(duì)稱，因此2個(gè)方向的合磁力仍為0。

如果轉(zhuǎn)子在徑向發(fā)生平移，例如在X正方向偏移eX+，則軸向磁軸承產(chǎn)生的電磁力可表示為FZX，如式（12）所示。

式中：φ0為軸向磁軸承定子磁極面對(duì)圓心的張角。

式（12）表明，當(dāng)轉(zhuǎn)子在X方向發(fā)生平移時(shí)，由于軸向磁軸承定子磁極X正方向處磁極間氣隙變窄，磁力線變得更密集，從而將產(chǎn)生更強(qiáng)的磁力，而在X負(fù)方向處，磁極間氣隙變寬，與轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)所產(chǎn)生的磁力相比，定子對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的作用力將變小，軸向磁軸承定子上下磁極在X方向所產(chǎn)生的磁力變化方向一致，其合力是單個(gè)定子所產(chǎn)生磁力的2倍。而在Y方向，由于軸向磁軸承定轉(zhuǎn)子磁極間氣隙的變化關(guān)于OXZ平面對(duì)稱，磁力變化對(duì)稱，因此 Y方向磁力之和為0。在Z方向上，對(duì)于單個(gè)定子磁極而言，由于磁極間隙的變化導(dǎo)致氣隙內(nèi)磁場(chǎng)分布不均勻，從而產(chǎn)生Z方向磁力，但對(duì)于差動(dòng)安裝的2個(gè)軸向磁軸承定子磁極，其磁力變化關(guān)于OXY平面對(duì)稱，因此，Z方向合磁力也為0。

MSSG轉(zhuǎn)子發(fā)生軸向和徑向偏移時(shí)，其受到軸向磁軸承的電磁力隨轉(zhuǎn)子偏移量的變化如圖3所示，計(jì)算過程中的MSSG各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

從圖3中可以看出，電磁力的變化與轉(zhuǎn)子偏移量近似成正比，在相同的偏移量下，轉(zhuǎn)子軸向偏移時(shí)軸向磁軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子徑向偏移時(shí)的電磁力。

在轉(zhuǎn)子微小偏移條件下，2種情況產(chǎn)生的電磁力與偏移量的關(guān)系均可近似為線性關(guān)系，根據(jù)計(jì)算結(jié)果得到的等效位移剛度分別為-1.39 N／μm和-0.012N／μm，前者是后者的近110倍。

為了對(duì)上述分析結(jié)果進(jìn)行確認(rèn)，利用電磁場(chǎng)有限元仿真軟件，對(duì)提出的MSSG模型進(jìn)行了有限元仿真與分析。圖4（a）為根據(jù)表1參數(shù)建立的有限元模型。圖4（b）為MSSG轉(zhuǎn)子發(fā)生軸向偏移時(shí)，轉(zhuǎn)子受軸向磁軸承電磁力與偏移量關(guān)系的計(jì)算結(jié)果比較。可見，有限元仿真計(jì)算結(jié)果具有更明顯的線性特性，變化規(guī)律與理論計(jì)算結(jié)果相同，有限元計(jì)算得到的等效位移剛度約-1.28 N／μm，理論與仿真結(jié)果的誤差約8.59%。誤差原因主要在于理論計(jì)算中對(duì)磁場(chǎng)漏磁的忽略以及計(jì)算過程中的各種簡(jiǎn)化處理。

對(duì)于轉(zhuǎn)子的任意平移運(yùn)動(dòng)，任意定子磁極所產(chǎn)生電磁力可表示為

圖3 軸向磁軸承電磁力與轉(zhuǎn)子偏移量關(guān)系Fig.3 Relations between electromagnetic forces of axial bearing and rotor translations

表1 M SSG部分設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Partial design param eters of M SSG

圖4 MSSG仿真結(jié)構(gòu)與計(jì)算結(jié)果比較Fig.4 Comparison between MSSG simulation structure and computed results

在轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面為理想球面的條件下，無論轉(zhuǎn)子向任何方向平移，轉(zhuǎn)子所受電磁力的合力均通過轉(zhuǎn)子幾何中心，因此，轉(zhuǎn)子平移并不產(chǎn)生使轉(zhuǎn)子發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩，但會(huì)造成轉(zhuǎn)子振動(dòng)，影響轉(zhuǎn)子運(yùn)行穩(wěn)定性，需要采取措施進(jìn)行振動(dòng)控制。

對(duì)于軸向磁軸承和徑向磁軸承而言，轉(zhuǎn)子在X、Y、Z 3個(gè)方向平移時(shí)，磁軸承所產(chǎn)生的合力分別由3個(gè)部分組成，即磁軸承在自身方向偏移時(shí)產(chǎn)生的電磁力，以及另外2個(gè)磁軸承沿其自身方向偏移時(shí)所產(chǎn)生的耦合電磁力，可表示為

式中：Fi為i方向上的磁軸承在轉(zhuǎn)子平移時(shí)所產(chǎn)生的電磁合力；Fij為轉(zhuǎn)子在i方向平移時(shí)，該磁軸承在j方向上所產(chǎn)生的電磁力，i，j＝X，Y，Z。

2．2 電磁力矩模型

當(dāng)位于磁密為B的永磁體磁場(chǎng)、長度為L的線圈中通入與磁場(chǎng)方向垂直的電流ib時(shí)，線圈將會(huì)受到洛倫茲力的作用，其方向由左手定則確定。洛倫茲力可以表示為

基于上述原理的MSSG偏轉(zhuǎn)磁軸承由永磁體、線圈、阻磁材料和鐵芯（用于永磁體磁路的閉合）等部分組成，結(jié)構(gòu)原理如圖5所示。永磁體安裝于陀螺轉(zhuǎn)子徑向邊緣的凹槽內(nèi)，用于產(chǎn)生磁場(chǎng)，線圈安裝于鐘形支撐架上，支撐架與陀螺定子固定，其中心與轉(zhuǎn)子中心對(duì)齊于Z軸上。4組線圈分別在X、Y方向上對(duì)稱安裝。4個(gè)線圈在定子坐標(biāo)系中的圓周角分別表示為

轉(zhuǎn)子平衡時(shí)，若線圈中通入激勵(lì)電流i，則線圈微元Lrdφ上產(chǎn)生的洛倫茲力微元為

式中：φ為線圈微元方位角。

當(dāng)轉(zhuǎn)子繞 X軸偏轉(zhuǎn) α?xí)r，由于磁場(chǎng)方向變化，洛倫茲線圈上任一點(diǎn)所產(chǎn)生的洛倫茲力方向，由原來與線圈平面夾角90°變化為90-α′，如圖6所示，其中，

圖5 洛倫茲力磁軸承結(jié)構(gòu)原理Fig.5 Structure princip le of Lorentz force bearing

圖6 轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)時(shí)洛倫茲力方向變化示意圖Fig.6 Schematic diagram of direction change of Lorentz force when spinning axis tilts

線圈產(chǎn)生洛倫茲力的部分分為上下兩部分，分別位于轉(zhuǎn)子赤道平面的上下h距離平面處。轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)時(shí)，洛倫茲力僅方向發(fā)生變化，產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)力矩的力臂 r不變，線圈上半部分產(chǎn)生的電磁力d fup和電磁力矩微元d Tup為

對(duì)式（19）、式（20）按照線圈的圓周角積分，可得到線圈上半部分產(chǎn)生的電磁合力與電磁合力矩。將其上下兩部分產(chǎn)生的電磁力與電磁力矩相加，即可得到單個(gè)線圈在激勵(lì)電流ib作用下產(chǎn)生的電磁力與電磁力矩。

如果在轉(zhuǎn)子繞X軸偏轉(zhuǎn)α的條件下，在Y方向上的線圈2、4中接入大小相等、方向相反的激勵(lì)電流iX，在X方向上的線圈1、3中接入大小相等、方向相反的電流iY，根據(jù)式（19）、式（20），2個(gè)方向上線圈產(chǎn)生的電磁力和偏轉(zhuǎn)電磁力矩可表示為

由式（21）～式（24）可見，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞X軸偏轉(zhuǎn)α?xí)r，Y方向的線圈僅產(chǎn)生使轉(zhuǎn)子繞X軸旋轉(zhuǎn)的電磁力矩，在其他2個(gè)方向上不產(chǎn)生力矩，而 X方向的線圈也僅產(chǎn)生使轉(zhuǎn)子繞 Y軸旋轉(zhuǎn)的電磁力矩。但是2個(gè)方向上線圈產(chǎn)生的電磁力合力均在Z方向上。圖7（a）為轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角、激勵(lì)電流與X、Y方向線圈產(chǎn)生的洛倫茲力關(guān)系。可以看出，在相同激勵(lì)電流的作用下，X、Y 2個(gè)方向上洛倫茲線圈產(chǎn)生的電磁力隨 α的變化近似二次曲線，其中Y方向上線圈產(chǎn)生的電磁力隨α的變化更快，但電磁力的變化范圍小于1 N。圖7（b）為轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角、激勵(lì)電流與 X、Y方向電磁力矩關(guān)系。可知，雖然2個(gè)電磁力矩的表達(dá)式不同，但當(dāng)線圈中接入的激勵(lì)電流值大小相同時(shí)，不同方向線圈產(chǎn)生的電磁力矩大小和隨轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角和激勵(lì)電流變化的趨勢(shì)幾乎完全相同，且電磁力矩隨 α變化的范圍小于0.01 N·m。MSSG中洛倫茲力磁軸承產(chǎn)生的電磁力與電磁力矩均與激勵(lì)電流成線性關(guān)系，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，電磁力 fαY的電流剛度約為28.20N／A，fαX的電流剛度約為27.85 N／A，電磁力矩的電流剛度約為1.03 N·m／A。

當(dāng)轉(zhuǎn)子繞Y軸旋轉(zhuǎn)β時(shí)，洛倫茲線圈產(chǎn)生的電磁力和電磁力矩也可按上述方法計(jì)算。最終，洛倫茲線圈產(chǎn)生的電磁力fl和電磁力矩Tl可以表示為

圖7 洛倫茲力磁軸承電磁力、力矩與激勵(lì)電流及轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.7 Relations among electromagnetic force and moment of Lorentz force bearing，exciting current and rotor deflection angles

式中：fij（i，j＝X，Y，Z）為i方向洛倫茲線圈繞j軸偏轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的電磁力；Tij（i，j＝X，Y，Z）為i方向洛倫茲線圈繞j軸偏轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的電磁力矩。

根據(jù)牛頓第二定律和陀螺技術(shù)方程，結(jié)合式（14）、式（25），可得雙球形包絡(luò)面轉(zhuǎn)子MSSG動(dòng)力學(xué)模型為

式中：Jz為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)債量。

3 敏感精度影響因素分析

根據(jù)MSSG角速率敏感原理可知，影響MSSG敏感精度的主要影響因素為轉(zhuǎn)子所受干擾力矩，在干擾力矩作用下，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸將逐漸偏離原位置，從而在ωI的測(cè)量結(jié)果中引入漂移角速率誤差，使MSSG敏感精度降低。

根據(jù)角動(dòng)量定律，干擾力矩Td作用下，陀螺轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的漂移角速率可表示為

式中：α0、β0和γ0為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸在定子坐標(biāo)系的方向余弦角。

由式（27）可知，MSSG所受干擾力矩主要來自2個(gè)方面：一是由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)非球形，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子所受電磁力合力不再通過轉(zhuǎn)子幾何中心從而產(chǎn)生干擾力矩；二是轉(zhuǎn)子的洛倫茲力磁軸承在生成偏轉(zhuǎn)力矩時(shí)引入誤差而形成干擾力矩。

3．1 轉(zhuǎn)子非球形誤差

如果MSSG轉(zhuǎn)子、定子磁極包絡(luò)面為理想球面，且所對(duì)應(yīng)球面幾何中心重合，各通道的測(cè)量、控制設(shè)備性能參數(shù)完全相同，則轉(zhuǎn)子繞極軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子表面各處磁力均通過球心，系統(tǒng)無干擾力矩影響，無漂移角速率產(chǎn)生。但是由于材料自身結(jié)構(gòu)和機(jī)械加工、裝配精度、離心變形等原因［16］，實(shí)際的定子、轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面將偏離理想球面，這種偏離將使轉(zhuǎn)子所受電磁力不再通過轉(zhuǎn)子幾何中心而形成對(duì)轉(zhuǎn)子幾何中心的矩，進(jìn)而產(chǎn)生漂移角速率［17-18］。

為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)轉(zhuǎn)子磁極包絡(luò)面為近似球面的旋轉(zhuǎn)曲面，其外形可由勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)描述如下：

式中：r（θ1）為轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)子包絡(luò)面上一點(diǎn)的矢徑的大小；θ1為r與z軸之間的夾角；an為描述包絡(luò)面形狀的諧波系數(shù)；Pn（cosθ1）為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，可表示為

因此，式（7）中定子磁極與轉(zhuǎn)子磁極之間的間隙可以表示為

式中：δ0＝R-r0。

而當(dāng)轉(zhuǎn)子包絡(luò)面形狀偏離理想球面，成為一個(gè)準(zhǔn)球形封閉面時(shí)，磁場(chǎng)力相對(duì)于轉(zhuǎn)子幾何中心產(chǎn)生干擾力矩，其微分形式為

積分后的干擾力矩方程可表示為［19］

式中：z0＝α0X0+β0Y0+γ0Z0為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸在定子坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式。

將式（6）、式（29）、式（31）代入式（33），并將d S轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系，同時(shí)分別計(jì)算6個(gè)定子磁極產(chǎn)生的干擾力矩，可得該MSSG由于轉(zhuǎn)子非球形產(chǎn)生的干擾力矩為

由于式（28）中的偶次諧波表示轉(zhuǎn)子的對(duì)稱變形，因此，在轉(zhuǎn)子處于平衡位置時(shí)，偶次諧波不產(chǎn)生干擾力矩，但當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離平衡位置時(shí)，則偶次、奇次諧波均產(chǎn)生干擾力矩。圖8為表1所示參數(shù)轉(zhuǎn)子在eX＝eY＝eZ＝10μm時(shí)，徑向干擾力矩隨非球形系數(shù)的變化情況。可知，隨著 a1和 a2的增長，徑向干擾力矩近似線性增長，干擾力矩隨a1的增長速度更快，當(dāng)非球形系數(shù)為0時(shí)，干擾力矩消失，即轉(zhuǎn)子包絡(luò)面為理想球形時(shí)，磁軸承的支承力對(duì)轉(zhuǎn)子不產(chǎn)生力矩。

圖8 干擾力矩與轉(zhuǎn)子非球形系數(shù)關(guān)系Fig.8 Relations of disturbance torque and rotor aspheric coefficients

3．2 洛倫茲力磁軸承誤差

由式（23）、式（25）可知，當(dāng)洛倫茲線圈所處的環(huán)形磁場(chǎng)徑向分布不均時(shí)，轉(zhuǎn)子的徑向平動(dòng)將會(huì)引起洛倫茲線圈所處磁場(chǎng)變化，從而導(dǎo)致干擾力矩產(chǎn)生；當(dāng)環(huán)形磁場(chǎng)軸向分布不均時(shí)，轉(zhuǎn)子的軸向運(yùn)動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致洛倫茲線圈所處磁場(chǎng)發(fā)生變化，產(chǎn)生干擾力矩。而轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)，會(huì)使洛倫茲線圈相對(duì)環(huán)形磁場(chǎng)發(fā)生更加復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，也會(huì)使洛倫茲線圈所處磁場(chǎng)發(fā)生變化，導(dǎo)致干擾力矩產(chǎn)生。上述3種干擾力矩產(chǎn)生的情況，都是由于洛倫茲磁軸承轉(zhuǎn)子磁極磁場(chǎng)分布不均導(dǎo)致的。ANSYS軟件仿真洛倫茲力磁軸承的磁場(chǎng)及磁力線分布剖面如圖9所示。可見，環(huán)形磁場(chǎng)的上下兩部分磁密分布基本相同，磁密在軸向上呈現(xiàn)中心強(qiáng)、兩邊弱的分布，在徑向上呈現(xiàn)中心弱、兩邊強(qiáng)的分布，整體上分布不均勻，因此，洛倫茲力磁軸承磁場(chǎng)的實(shí)際分布必然會(huì)導(dǎo)致干擾力矩的產(chǎn)生。

圖9 洛倫茲力磁軸承磁場(chǎng)與磁力線分布仿真Fig.9 Simulation ofmagnetic field and magnetic lines distribution in Lorentz force bearing

除磁場(chǎng)不均導(dǎo)致洛倫茲力磁軸承產(chǎn)生干擾力矩外，洛倫茲線圈鐘形支撐架半徑的加工誤差也會(huì)導(dǎo)致洛倫茲力及力臂的變化，使洛倫茲線圈產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)力矩中附帶干擾力矩，且加工誤差會(huì)與磁密分布誤差互相耦合，使干擾力矩的變化更為復(fù)雜。例如2種誤差共同作用下，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)α?xí)r，X方向洛倫茲線圈產(chǎn)生的干擾力矩可表示為

實(shí)際上，由于磁場(chǎng)分布的不對(duì)稱和支撐架半徑誤差沿周向分布的不對(duì)稱，洛倫茲線圈可能在X、Z方向也會(huì)耦合出相應(yīng)的干擾力矩。

2種誤差耦合導(dǎo)致的干擾力矩變化如圖10所示。可知，干擾力矩隨著磁密誤差和加工誤差的增大而增大，在小范圍內(nèi)近似線性，干擾力矩隨磁密誤差變化的斜率更大，說明磁場(chǎng)分布的不均勻性對(duì)陀螺的檢測(cè)精度影響更大。

圖10 磁密分布及支撐架加工誤差與干擾力矩關(guān)系Fig.10 Relations among magnetic density distribution，frame processing errors and disturbing torque

4 結(jié) 論

基于AMBs的MSSG具有敏感姿態(tài)角速率的功能，可以實(shí)現(xiàn)同時(shí)對(duì)二自由度姿態(tài)的敏感，具有高精度、高帶寬的發(fā)展?jié)摿Α１疚脑O(shè)計(jì)了一種具有雙球形包絡(luò)面轉(zhuǎn)子的MSSG，通過定轉(zhuǎn)子磁極面的球面設(shè)計(jì)，可使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所受電磁力通過轉(zhuǎn)子幾何中心，實(shí)現(xiàn)平動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的解耦。

1）在對(duì)該MSSG結(jié)構(gòu)和測(cè)量原理分析的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了動(dòng)力學(xué)模型，得到了徑向、軸向磁軸承電磁力以及偏轉(zhuǎn)磁軸承電磁力矩的解析表達(dá)式。

2）仿真計(jì)算表明，當(dāng)轉(zhuǎn)子包絡(luò)面為理想球形時(shí)，轉(zhuǎn)子的平移運(yùn)動(dòng)僅會(huì)導(dǎo)致定子磁極對(duì)轉(zhuǎn)子電磁力的作用，而不會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生力矩作用，平移運(yùn)動(dòng)在垂直方向上的耦合電磁力比運(yùn)動(dòng)方向上的主電磁力小2個(gè)數(shù)量級(jí)，理論計(jì)算與有限元仿真結(jié)果基本吻合。

3）洛倫茲力磁軸承單獨(dú)控制的偏轉(zhuǎn)力矩對(duì)轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角度不敏感，但磁軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)控制會(huì)在轉(zhuǎn)子軸向上產(chǎn)生耦合電磁力，其值小于1N。

4）基于MSSG的動(dòng)力學(xué)解析模型，得到了轉(zhuǎn)子非球形條件下干擾力矩解析表達(dá)式，分析了洛倫茲力偏轉(zhuǎn)磁軸承加工誤差對(duì)MSSG敏感精度的影響。初步分析表明，轉(zhuǎn)子非球形和洛倫茲力陀螺磁場(chǎng)分布不均是產(chǎn)生干擾力矩的2個(gè)關(guān)鍵因素，轉(zhuǎn)子包絡(luò)面非球形系數(shù)中，奇次諧波系數(shù)對(duì)干擾力矩的生成貢獻(xiàn)更大，當(dāng)轉(zhuǎn)子位于平衡位置時(shí)，由于轉(zhuǎn)子形狀的對(duì)稱性，偶次諧波系數(shù)不會(huì)導(dǎo)致干擾力矩的生成。

本文的研究可為MSSG高轉(zhuǎn)速下的動(dòng)力學(xué)特性分析提供理論基礎(chǔ)，并為懸浮類陀螺的誤差分析與補(bǔ)償設(shè)計(jì)提供有益參考。

（References）

［1］FANG JC，ZHENG SQ，HANG B C.AMB vibration control for structural resonance of double-gimbal controlmoment gyro with high-speed magnetically suspended rotor［J］.IEEE／ASME Transactions on Mechatronics，2013，18（1）：32-43.

［2］REN Y，F(xiàn)ANG J C.Current-sensing resistor design to include current derivative in PWM H-bridge unipolar switching power amplifiers formagnetic bearings［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59（12）：4590-4600.

［3］REN Y，F(xiàn)ANG JC.High-precision and strong-robustness control for an MSCMG based on modal separation and rotation motion decoupling strategy［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61（3）：1539-1551.

［4］REN Y，F(xiàn)ANG JC.Modified cross feedback control for a magnetically suspended flywheel rotor with significant gyroscope effects［J］.Mathematical Problems in Engineering，2014，2014：1-11.

［5］FANG JC，REN Y，F(xiàn)AN Y H.Nutation and precession stability criterion ofmagnetically suspended rigid rotors with gyroscopic effects based on positive and negative frequency characteristics［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61（4）：2003-2014.

［6］BOLETIS A，BARROT F，MOSER R.Three axis activemagnetic levitation for inertial sensing systems：US7252001B2［P］. 2007-08-07.

［7］BOSGIRAUD T.Two degrees of freedom miniaturized gyroscope based on active magnetic bearings［D］.Lausanne：Ecole Polytechnique Federale de Lausanne，2008：22-35.

［8］MARUYAMA Y，MIZUNO T，TAKASAKIM，et al.An app lication of activemagnetic bearing to gyroscopic and inertial sensors［J］.Journal of System Design and Dynamics，2008，2（1）：155-164.

［9］MARUYAMA Y，MIZUNO T，TAKASAKIM，et al.Extension of measurement bandwidth in an AMB-based gyroscopic sensor［J］.Mechatronics，2009，19（8）：1261-1268.

［10］MARUYAMA Y，MIZUNO T，TAKASAKIM，et al.Proposal of a new configuration formagnetically suspended gyro［C］∥35th Annual Conference of IEEE Industrial Electronics.Piscataway，NJ：IEEE Press，2009：1911-1916.

［11］房建成，劉彬，王志強(qiáng)，等.一種磁懸浮陀螺飛輪：CN 200910241243.3［P］.2012-07-25.

FANG JC，LIU B，WANG Z Q，et al.A magnetically suspended gyrowheel：CN200910241243.3［P］.2012-07-25（in Chinese）.

［12］劉彬，房建成，劉剛.一種磁懸浮陀螺飛輪方案設(shè)計(jì)與關(guān)鍵技術(shù)分析［J］.航空學(xué)報(bào)，2011，32（8）：1478-1487.

LIU B，F(xiàn)ANG JC，LIU G.Design of a magnetically suspended gyrowheel and analysis of key technologies［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32（8）：1478-1487（in Chinese）.

［13］FANG JC，ZHEN SQ，HAN B C.Attitude sensing and dynamic decoupling based on active magnetic bearing of MSDGCMG［J］.IEEE Transactions on Instrument and Measurement，2012，61（2）：338-348.

［14］ZHEN S Q，HAN B C.Investigations of an integrated angular velocity measurement and attitude control system for spacecraft using magnetically suspended double-gimbal CMGs［J］.Advances in Space Research，2013，51（12）：2216-2228.

［15］房建成，孫津濟(jì)，樊亞洪.磁懸浮債性動(dòng)量輪技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012：112-115.

FANG JC，SUN J J，F(xiàn)AN Y H.Magnetically suspended inertial momentum wheel technology［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2012：112-115（in Chinese）.

［16］HU X N，WANG Q，CUI C Y，et al.Torque compensation system design for a spherical superconducting rotor［J］.IEEE Transactions on Instrument and Measurement，2014，63（12）：2789-2794.

［17］HE C，WANG Q.Force characteristics analysis on a superconducting sphere suspended by spherical coils［J］.Cryogenics，2007，47（7-8）：413-417.

［18］LIU JH，WANG Q，LIX.Modeling of the superconducting suspension system with shaping blocks［J］.IEEE Transactions on Applied Superconductivity，2010，20（1）：47-51.

［19］崔春艷，胡新寧，程軍勝，等.超導(dǎo)磁懸浮支承系統(tǒng)干擾力矩及漂移誤差分析［J］.物理學(xué)報(bào)，2015，64（1）：379-389.

CUIC Y，HU X N，CHENG JS，et al.Analysis ofmagnetic disturbance torque and drift error in a superconducting suspension system［J］.Acta Physica Sinica，2015，64（1）：379-389（in Chinese）.

Tel.：18610226728

E-mail：jingninan＠126.com

蔡遠(yuǎn)文 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：航天發(fā)射與測(cè)試。

Tel.：010-66364191

E-mail：caiyuanwen＠263.net

任元 男，博士，講師。主要研究方向：先進(jìn)債性測(cè)量與控制技術(shù)。

Tel.：010-66364384

E-mail：renyuan823＠aliyun.com

Dynam ic m odeling and key error sources analysis ofm agnetically suspended sensitive gyroscopes

XIN Chaojun1，CAIYuanwen1，REN Yuan1，*，MIAO Cunxiao2，ZHANG Liyuan2

（1.Department of Space Equipment，Equipment Academy，Beijing 101416，China；2.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China）

The mathematical model of a new magnetically suspended sensitive gyroscope（MSSG）with rotor of double spherical envelope surfaces is established based on rotor dynamics，and the key error sources of the gyro in sensing angular rate are analyzed theoretically.First，structural features and sensing princip les of the MSSG are described.Second，the theoreticalmodels of electromagnetic forces and moments acting on the rotor are built respectively.The influencing mechanisms of rotor translation and titling on itsmechanical state are analyzed.Simulation results by finite-elementmethod software ANSYS are basically in agreementwith the calculated results.Finally，two key error sources of rotor asphericity and Lorentz force magnetic bearing process errors are analyzed，and the analytical expression of the disturbing torques has been constructed.Calculation results show that the rotor aspheric factors and the inhomogeneousmagnetic field in Lorentz forcemagnetic bearing are themajor factors inducing disturbance torques.Themodel provides a valuable theoretical basis for further research on optim ization design and analysis of the MSSG.

magnetically suspended sensitive gyroscope（MSSG）；double spherical envelope surfaces； Lorentz force；aspheric error；error sources analysis

2015-10-08；Accep ted：2015-11-06；Pub lished online：2016-01-08 15：17

National Natural Science Foundation of China（51475472）

V448.2；TJ761.7

A

1001-5965（2016）10-2048-11

辛朝軍 男，博士研究生，講師。主要研究方向：先進(jìn)債性測(cè)量技術(shù)。

http：∥bhxb.buaa.edu.cn jbuaa＠buaa.edu.cn

DO I：10.13700／j.bh.1001-5965.2015.0650

2015-10-08；錄用日期：2015-11-06；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-01-08 15：17

www.cnki.net／kcms／detail／11.2625.V.20160108.1517.004.htm l

國家自然科學(xué)基金（51475472）

*通訊作者：Tel.：010-66364384 E-mail：renyuan823＠aliyun.com

辛朝軍，蔡遠(yuǎn)文，任元，等.磁懸浮敏感院螺動(dòng)力學(xué)建模與關(guān)鍵誤差源分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，42（10）：2048-2058.XIN C J，CAIYW，REN Y，et al.Dynamic modeling and key error sources analysis ofmagnetically suspended sensitive gyroscopes［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2016，42（10）：2048-2058（in Chinese）.

URL：www.cnki.net／kcms／detail／11.2625.V.20160108.1517.004.htm l

*Correspond ing au thor.Tel.：010-66364384 E-mail：renyuan823＠aliyun.com