Schr?dinger Virasoro代數上的Poisson結構

金婷婷，劉 東

（湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

Schr?dinger Virasoro代數上的Poisson結構

金婷婷，劉 東

（湖州師范學院理學院，浙江湖州313000）

研究李代數上的Poisson代數結構問題是代數學研究中的一個重要問題.基于扭Heisenberg Virasoro代數的相關結果，利用根系階化的方法首先給出Schr?dinger Witt代數的所有Poisson代數結構，進而確定出Schr?dinger-Virasoro代數上的所有Poisson代數結構.該研究成果對于進一步研究其他相關代數上的Poisson代數結構有重要作用.

Poisson代數；Schr?dinger Virasoro代數；Witt代數；Virasoro代數

MSC 2010：17B60，17B63，17B65

無限維李代數的結構和表示理論對數學領域及物理學的發展都有極其重要的作用和影響.20世紀初，法國數學家E.Cartan給出了四類無限維李代數，其中Virasoro代數是Witt代數的泛中心擴張，是一類非常重要的無限維李代數，隨后在Virasoro代數的基礎上又衍生了許多其他的代數.1994年M.Henkel研究Schr?dinger自由方程不變性時引入了Schr?dinger-Virasoro代數的概念［1］.

Poisson代數源于Poisson幾何的研究，具有代數結構和李代數結構，乘法與李代數乘法間滿足Leibniz法則.近來許多人研究了結合的Poisson代數結構問題：姚裕豐研究了Witt代數和Virasoro代數上的Poisson代數結構［2］；靳全勤和佟潔研究了Toroidal李代數等李代數上結合的Poisson代數結構［3-4］；Kubo研究了特征零情形下有限維Poisson代數［5］，確定了仿射Kac-Moody代數上的所有結合的Poisson代數結構［6］；在Kubo的研究基礎之上，靳全勤和佟潔系統地研究了擴張仿射Kac-Moody代數上的Poisson代數結構［7］.

目前，有關非交換、非結合的Poisson代數的研究較少.近來部分論文研究了Kac-Moody李代數、W（2，2），以及扭的Heisenberg-Virasoro代數上的非交換、非結合的Poisson代數結構［8-10］.本文在文獻［9 -10］的基礎上研究Schr?dinger-Virasoro代數的Poisson代數結構.由于Schr?dinger-Virasoro代數是Schr?dinger-Witt代數的普遍中心擴張，因此本文首先給出Schr?dinger-Witt代數的Poisson代數結構，進而確定Schr?dinger-Virasoro代數上的Poisson代數結構.

在本文中，?總表示整數集，?表示復數域，所有的代數都定義在?上.

1 基本概念

定義1.1［10］根據定義，Schr?dinger-Virasoro代數L作為?上的向量空間有一組基｛Li，Mi，Yp，C|i∈?，p∈?+1/2｝，且滿足如下關系式：

Schr?dinger-Virasoro代數的由｛Li，Mi，C|i∈?｝生成的子代數稱為扭Heisenberg-Virasoro代數，記為H.近來Schr?dinger-Virasoro代數表示理論得到了廣泛研究［1114］.

Poisson代數源于Poisson幾何的探究.它既是一個代數，又是一個李代數，且乘法與李代數乘法間滿足Leibniz法則.

定義1.2［10］Poisson代數（A，*，［-，-］）是指?上的一個向量空間A，同時具有代數乘法*以及李代數乘法［-，-］，且滿足Leibniz法則：

如果乘法*滿足結合律，則稱Poisson代數是結合的；如果乘法*滿足交換律，則稱Poisson代數是交換的.靳全勤和佟潔等主要研究了一些李代數上結合的或交換的Poisson代數結構［3-9］，但是非結合、非交換的相關問題研究較少.本文主要研究李代數Schr?dinger-Virasoro代數上的一般Poisson代數結構（非結合、非交換），進而得到此代數上的結合或交換的Poisson結構.

定理1.1［10］若H是?上的扭Heisenberg-Virasoro代數，則H上的任何Poisson代數結構滿足：

?m，n∈?，其余為零，其中k1∈?.

2 Schr?dinger-Witt代數上的Poisson結構

定義2.1［13］作為向量空間，Schr?dinger-Witt代數Q：=?｛Li，Mi，Yp|i∈?，p∈?+1/2｝，且對?m，n∈?，p∈?+1/2滿足如下關系式：

顯然Q關于Cartan子代數h=?｛L0，M0｝有分解［3］：

引理2.1 如果在Schr?dinger-Witt代數Q上存在一個代數乘積*，使得（Q，*，［-，-］）成為一個Poisson代數，則有：

證明 對任意的x∈Qi，y∈Qi，有：

即x*y∈Qi+j，因此Qi*Qj?Q i+j.

定理2.1 Schr?dinger-Witt代數Q上的任何Poisson代數結構滿足：

?m，n∈?，其余為零，其中k1為常數.

證明 Q關于Cartan子代數h=?L0有分解：根據引理2.1，Qi*Qj?Qi+j，同時根據定理1.1，可假設Lm，Im之間乘法滿足（2）式～（4）式以及：

由于［Mk，Lm*Yp］=［Mk，Lm］*Yp+Lm*［Mk，Yp］=-k Mm+k*Yp，但［Mk，Lm*Yp］=am，p［Mk，Ym+p］=0.因此有-kcm+k，pYm+k+p=0，從而cm+k，p=0，即

類似上述討論，由下列等式：

可推出

其中c2為常數.

由于

且

可推出Yp*Yq=c3（q-p）Mp+q，c3為常數.

注意到當m+k≠0時，

但

同樣，由于

但

可推出k3=k1，c3=-k1.

于是有

?m∈?，?p，q∈?+1/2，其中k1為常數.定理得證.

推論2.1 Schr?dinger-Witt代數上沒有非平凡的結合的Poisson代數結構.

3 Schr?dinger-Virasoro代數上的Poisson結構

定理3.1 Schr?dinger-Virasoro代數上的任何Poisson代數結構滿足如下形式：

?m，n∈?，?p，q∈?+1/2，其中k1為常數.定理得證.

證明 顯然Lm、Mm與Yp的Poisson乘法結構與定理2.1相同.

①討論Lm與Mn的Poisson乘法結構.

當m+n≠0時，Lm*Ln，Lm*Mn，Mm*MnPoisson乘法結構與定理2.1相同.

當m+n=0且n≠0時，可假設：

由于

同時

取k=-m，可推出

從而

類似上述討論，由等式：

取k=-m，可推出

②討論Lm，Mn，Yp分別與C的Poisson乘法結構.

由

得：

當m≠0時，有：

當m=0時，取k≠0，由于

且

所以

取k=1，得L0*C=0，從而Lm*C=0，?m∈?.類似上面的討論，由下列等式：

所以，對C*Ln=0，Mn*C=0，C*Mn=0，?n∈?.

當m=0時，注意到

于是有：

故對?m∈?，有：

類似地，容易得到：

推論3.1 Schr?dinger-Virasoro代數L上沒有非平凡的結合的Poisson代數結構.

［1］Henkel M.Schr?dinger invariance and strongly anisotropic critical systems［J］.J Stat Phys，1994，75：1 023-1 029.

［2］姚裕豐.Witt代數和Virasoro代數上的Poisson代數結構［J］.數學年刊，2013，34A（1）：111-128.

［3］靳全勤，佟潔.Toroidal李代數上的Poisson代數結構［J］.數學年刊，2007，28A（1）：57-70.

［4］佟潔，靳全勤.李代數的Poisson代數結構Ⅱ［J］.數學雜志，2010，30A（1）：145-151.

［5］KUBO F.Finite-dimensional non-commutative Poisson algebras［J］.J Pure Appl Algebra，1996，113（3）：307-314.

［6］KUBO F.Non-commutative Poisson algebra struetures on affine Kac-Moody algebras［J］.J Pure Appl Algebra，1998，126：267-286.

［7］靳全勤，佟潔.廣義仿射李代數上的非交換Poisson代數結構［J］.數學學報，2011，54A（4）：561-570.

［8］ZUSMANOVICH P A.Compendium of Lie structures on tensor products［J］.Journal of Mathematical Science，2013，199（3）：40-81.

［9］李雅南，高壽蘭，劉東.李代數W（2，2）上的Poisson結構［J］.數學年刊A輯，2016，In press.

［10］趙曉曉，高壽蘭，劉東.扭Virasoro-Heisenberg代數上的Poisson結構［J］.數學學報中文版，已錄用.

［11］LI J B，SU Y C.Representations of the Schr?dinger-Virasoro algebras［J］.Journal of Mathematical Physics，2008，49（5）：053512.

［12］LIU D.Classification of Harish-Chandra modules over some Lie algebras related to the Virasoro algebra［J］.J Algebra，2016，447：548-559.

［13］TAN S B，ZHANG X F.Automorphisms and Verma modules for generalized Schr?dinger-Virasoro algebras［J］.J Algebra，2009，322（4）：1 379-1 394.

［14］ZHANG X F，TAN S B，LIAN H F.Whittaker modules for the Schr?dinger-Witt algebra［J］.J Math Phys，2010，51（8）：083524，17pp.

Poisson Structure on the Schr?dinger-Virasoro Algebra

JIN Tingting，LIU Dong
（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

It is important to determine Poisson algebra structures on a given Lie algebra.Based on such results on the twisted Heisenberg-Virasoro algebra，we firstly determine all Poisson structures on the Schr?dinger-Witt algebra by the method of root-graded，and then do researches on the Schr?dinger-Virasoro Algebra.The results can help to further determine Poisson structures on other relevant Lie algebras.

Poisson algebras；Schr?dinger-Virasoro algebras；Witt algebras；Virasoro algebras.

O152.5

A

1009-1734（2016）04-0001-06

［責任編輯 高俊娥］

2016-03-04

國家自然科學基金項目（11371134，11201141）；浙江省自然科學基金項目（LZ14A010001，LQ12A01005）.

劉東，教授，研究方向：李代數.Email：liudong@hutc.zj.cn

MSC 2010：17B60，17B63，17B65