基于最小二乘法離場航跡構造方法

張曉娜　葉　子　薛　成　耿笑寒　謝　穎

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基于最小二乘法離場航跡構造方法

張曉娜1葉子2薛成2耿笑寒2謝穎2

1.中國民航大學理學院；2.中國民航大學計算機科學與技術學院張曉娜，女，本科，中民民航大學，研究方向為計算機圖形學。

國家級基金項目：中國民航大學大學生創新創業訓練計劃項目（201510059012）

行業曲線

創新點 ：本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構造方法。此方法與目前的構造方法相比較創新點有三點：第一點，采用最小二乘法結合兩種離場方式特征逆向推出離場航跡最佳匹配函數，使得離場水平面航跡更加準確、平滑；第二點，解決了在離場數據、飛行計劃及氣象資料缺失的情況下，無法對飛機離場航跡進行構造的問題；第三點，構造了基于貝葉斯推理的飛機離場航跡選擇評分函數，從而保證了離場方式的準確性。

本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構造方法。該方法解決在離場數據、飛行計劃及氣象資料缺失的情況下，無法對飛機離場航跡進行構造的問題。通過構造基于貝葉斯推理的飛機離場航跡選擇評分函數，驗證離場方式的選取方法的有效性。實驗表明該方法不僅解決了在飛機離場信息缺失的情況下離場航跡的構造問題，而且確保了飛機起飛方式的準確性。

飛機離場航跡是飛機起飛過程的形象化體現。目前，飛行航跡的構造方法通常采用兩類方式，第一類是在飛行計劃確定及氣象資料完整的情況下，結合飛行動力學和運動學模型正向推導的方法。飛機起飛航跡計算方法研究 提出了對不同機型統一的離場航跡構造方法，該方法主要針對離場航跡剖面進行了構造，缺少對水平投影面構造的方法；基于ANP數據庫的飛機起飛仿真研究是基于詳細的飛行資料和性能參數的前提下，提出了飛機離場剖面航跡構造方法；離場航跡降噪優化設計的多目標智能方法是一種利用航段飛行特征約束求解離場航跡的方法。第二類是在擁有較為準確的雷達位置信息點的情況下對雷達數據去噪，擬合出最佳函數匹配從而得到平滑的航跡。經緯儀目標交匯測量及航跡曲線擬合文中提出根據不同時刻的坐標，用最小二乘法對目標航跡進行擬合，從而推測下一時刻的位置速度及加速度；三維航跡的B樣條曲線擬合算法利用B樣條曲線的幾何性質，解決了飛行器三維航跡擬合中的邊界條件等約束問題。第二類多用于飛機離場結束后航跡的擬合。上述提出的兩類方法用于離場航跡的構造存在以下三種問題：一是由于飛機離場屬于低空飛行，雷達捕捉飛行器在低空飛行的位置信息不準確，飛機離場的雷達點相比于真實點誤差較大，且飛機離場的方式不同，導致無法單一的利用擬合離場雷達數據的方法確定離場航跡。二是現有方法多為對離場剖面航跡進行構造，忽略由于離場方式的不同導致水平面航跡存在誤差。三是在離場數據、飛行計劃及氣象資料缺失的情況下，無法對飛機離場航跡進行構造的問題。由此本文為了解決上述問題，采用最小二乘法結合兩種離場方式特征，提出離場航跡逆向構造方法。

相關工作

飛機離場過程是指飛機高于起飛表面450m（1500ft），并完成從起飛到航路形態的轉變，達到規定的速度和爬升梯度。飛機起飛過程包括起飛場道滑跑階段和起飛航道階段。起飛航跡依據飛機的構型、發動機的推力狀態、對爬升梯度的要求等分為第一爬升階段、第二爬升階段、第三平飛階段、最后爬升階段等四個階段。本文忽略平飛過程，把此過程與第四階段融合在一起下文統稱第三階段，分別對第一、二及三階段分別進行構造。

最小二乘法是通過最小化誤差的平方和求得待定系數從而尋找數據的最佳函數匹配。假設多項式：

得方程組：

該方程組稱為多項式擬合的法方程，令：

貝葉斯推理需要根據當前所觀察到的樣本信息及現有經驗和知識得出結論，以估計和假設檢驗為基礎發展出的一種歸納推理方。具體方法為已知一個事件集其中每一Bi的概率為p（Bi），又知在Bi已發生的條件下A事件發生的條件概率p（A/Bi），就可通過以下公式得出在給定A已發生的條件下任何Bi發生的條件概率p（Bi/A）即：

基于最小二乘法飛機離場航跡逆向構造方法

飛行高度在350m以上的雷達監測位置信息點較為準確，本文把航跡投影到水平面和剖面分別構造，并利用準確數據逆推離場航跡。首先根據兩種離場方式特征判別離場方式，其次利用350m以上的雷達監測位置信息點分別擬合兩種離場方式的第三階段航跡水平面投影，最后計算各階段關鍵參數確定滑跑航跡及運動過程。不得不提在離場數據、飛行計劃、氣象資料缺失前提下。起飛過程模擬難度很大，為了確保模擬的航跡準確性，不可避免需要根據飛機的離場規則，假設合理數值。點為已知飛機在跑道滑跑的加速始點，此點的各方向速度均為V0=0，點為飛機的離地點，其中z1已知為地平面高度，為直線離場時高度為z21=122+z0時的坐標點 ，轉彎離場時為轉彎點，為已知雷達數據第一個點。

基于貝葉斯推理的飛機離場方式估計方法

直線離場方式特征：特征一，起始離場航線與跑道中線方向角度相差小于15°；特征二，離場航跡偏于跑道中線一側而在DER（離場末端）的橫向距離不大于300m。但只要實際可能，離場航線就應與跑道中線延長線一致。轉彎離場方式特征：離場過程中出現離場角度要求大于15°的轉彎，并且規定在飛機起飛離場到達DER標高之上才允許轉彎，在此之前為直線飛行。

由于已知雷達數據的高度值不同分為以下兩種情況，利用不同的離場特征分別作為判別離場方式的依據。

圖1　飛機離場示意圖

（1） 現有雷達數據高度值在450m以上，飛機可能已經結束離場并立即發生轉彎，由雷達數據得到的航線與跑道中線的夾角大于15°不能說明轉彎發生在離場過程中，因此不能用特征一判斷，利用特征二更加適合。利用特征二區分時，計算雷達數據第一個點與跑道直線的水平距離如果小于300m則為直線，否則為轉彎。

（2）現有雷達數據高度值在450m以下，飛機還未結束離場，利用特征一就可以判斷。已知離場結束后航跡的雷達數據，前幾個點組成的航跡是順沿離場航跡的方向產生，繼承了離場方向變化趨勢。利用特征一區分時，利用前四個數據點進行一次的最小二乘法擬合方程，跑道直線方程，由正切公式計算兩直線夾角，則，當時為轉彎離場，否則為直線離場。

為了檢驗上述判斷方法的準確性構建飛機離場方式選擇評分函數。因為飛機離場方式主要分為兩種，一為直線（line）式離場，一為轉彎（arc）式離場，兩類飛機離場模型互相獨立互為補集。所以根據以上特征，簡單化問題，可以化為非此及比的模型。由此就可以根據概率論的乘法定理及貝葉斯公式求得P（line/w）及P（arc/w）。P（line/w）物理意義為在一定特征事件的基礎上飛機是直線離場，P（arc/w）物理意義為在一定特征事件的基礎上飛機是轉彎離場。公式：

綜上，評分規則為：滿分為100分。若直線起飛方式分數為P（line/w）×100，轉彎起飛方式起飛分數為，

通過分數檢驗離場方式區分方法的準確性。

爬升階段構造方法

其中V0=0得。

轉彎離場方式：利用現有雷達數據點作二次的最小二乘法擬合，擬合出的曲線方程為F2（x）。跑道中線坐標已知，任取跑道中線兩點坐標計算跑道直線方程F1（x）。擬合出的二次曲線方程與跑道中線求交點，此交點為轉彎點P2。

解得：

機起飛的方向比對兩種計算結果的大小，決定?的正負情況，當起飛方向X軸上的數值是增加的則取兩種計算結果較大值，反之取較小。

計算X、Y軸方向的離地速度

并對其進行單位轉換。其中θ=arctan（k），k為跑道直線方程斜率。轉彎離場P2點X軸坐標已知，但高度未知。轉彎離場的計算方法與直線不同，轉彎離場，由公式（3），（4），（5）計算：

計算轉彎離場點的Z軸方向坐標。轉彎高度計算公式：

補充兩個階段之間每隔四秒的坐標。直線離場方式：利用X、Z軸加速度及F1（x）直線方程及坐標P1（x1,y1,z1）及P2（x2,y2,z2）計算。轉彎離場方式：利用X、Z軸加速度及F2（x）計算。下方公式中j表示第j階段，n表示為j階段第n個坐標值，t等時間間隔4s，T為j階段的總時間，

公式為：

起飛場道階段構造方法

飛機在地面加速滑跑時，其受到的外力包括發動機推力T、升力L、阻力D、地面的支撐力N、摩擦力F、起飛地面滑跑階段通常認為飛機的迎角、發動機的安裝角均為小量。實際上近似計算飛機滑跑距離時，可將地面滑跑階段發動機的推力取平均值并視為常數，同樣計算摩擦系數也取其平均值并看作常數，于是可得飛機地面起飛滑跑階段速度為V0=0加速到離地速度VLOF的滑跑距離為：

便于估算引入“換算摩擦系數”μ'，其值為：

在實際計算起飛滑跑距離時，可以將地面滑跑期間發動機的推力取平均值并視為常數，同樣換算摩擦系數也取其平均值并看作常數，飛機地面滑跑距離的近似估算公式：

距離差已知公式為：

作為地面滑跑時的平均速度，則有

合加速度單位為m2/s

得X、Y軸加速度為：

利用X、Z軸加速度、速度、F1（x）直線方程及坐標P0（x0,y0,z0）補充三個階段之間每隔四秒的坐標。公式為：

綜上飛機離場航跡由此確定。

圖2　原始數據三維散點圖

圖3　航跡構造前后對比結果

方法驗證

本實驗以首都機場為例，采用首都機場提供的2013 年4、5月的飛機飛行數據及機場地理位置信息，隨機抽取1000條離場航跡進行實驗。首先，依據構造方法對數據進行處理擬合出離場航跡，利用擬合出的航跡計算出飛機離場滑跑距離及轉彎高度，查看計算出的上述參數是否符合飛機離場規定，從而驗證方法的有效性。利用基于貝葉斯推理的飛機離場方式選擇評分函數計算分數，驗證飛機離場方式選擇方法的準確性。

為了大致了解離場航跡線的特點，利用雷達數據做出三維散點圖。進而根據航跡線水平面的投影的特征對航跡線進行分類。航跡線水平面投影類型分為兩類，第一類為近似順延跑道延長線如圖2（a）。第二類為偏離跑道延長線，在跑道的一側與跑道延長線形成較大夾角如圖2（b）。從對雷達數據初步分析可以看出本文對離場模型的分類假設是正確的。

圖3（a）和（b）分別為直線離場實驗前350m以上原始雷達數據三維曲線圖和實驗后效果圖。圖2（c）和（d）分別為轉彎離場實驗前350m以上原始雷達數據三維曲線圖和實驗后效果圖。通過實驗效果前后對比可以看出利用本文方法構造出的離場航跡與實際情況較為一致。

由表1可以看出轉彎高度均允許轉彎高度值120m以上。滑跑距離在均合理范圍以內。

表1　飛機離場參數計算結果

表2　離場方式的評分結果

由統計學辦法得出P（line）及P（arc）。利用飛機離場方式選擇方法從直線離場航跡中篩選出符合直線起飛特征的航跡及符合轉彎起飛特征的航跡，從轉彎離場航跡中篩選符合直線起飛特征的航跡及符合轉彎起飛特征的航跡，利用統計學辦法得出。最后利用評分方法計算評分。評分結果均在85分以上表明離場方式選擇方法的準確度較高。

由圖1和表2可以看出本文對離場模型的分類假設是正確的，離場方式選擇方法準確度較高。由圖2和表1可以看出本文構造出的離場航跡與實際情況一致。由此驗證了基于最小二乘法離場航跡構造方法的有效性及準確性。

結語

本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構造方法。新方法的可行性已在多次實驗中得到驗證。并利用基于貝葉斯推理的飛機離場航跡選擇評分函數計算評分，評分結果理想，驗證了離場方式的選取方法的有效性。新方法不僅可以利用于解決在飛行計劃和氣象資料缺失的前提下，無法對飛機離場航跡進行構造的問題，還可以為場間雷達與空中雷達連接方案的制定提供有利參考。

DOI：10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.13.019