合金凝固過程枝晶生長的界面前沿跟蹤法模擬

劉波祖 ，衣冠玉 ，趙忠魁

(1.山東建筑大學材料科學與工程學院，山東 濟南 250001；2.山東省科學院新材料研究所，山東省汽車輕量化鎂合金材料工程技術研究中心，山東 濟南 250014)

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【新材料】

合金凝固過程枝晶生長的界面前沿跟蹤法模擬

劉波祖1，衣冠玉2*，趙忠魁1

(1.山東建筑大學材料科學與工程學院，山東 濟南 250001；2.山東省科學院新材料研究所，山東省汽車輕量化鎂合金材料工程技術研究中心，山東 濟南 250014)

摘要：為預測鋁合金鑄件凝固時的微觀組織演化，本文采用當量法對KGT模型進行擴展，建立了適應多元合金的界面前沿跟蹤模型。應用該模型對Al-6Si-4Cu合金凝固過程的微觀組織的演化過程進行了模擬。實驗結果表明，所建立的模型能夠再現凝固過程中自由枝晶生長形態、液相中的溶質分布以及多晶生長時枝晶的競爭生長過程。該模型可以實時地跟蹤凝固界面前沿的位置，節省計算時間，提高效率。

關鍵詞：界面跟蹤模型；枝晶生長；多元合金

隨著宇宙航空航天技術的迅猛發展，鋁合金作為低密度、高強度的金屬材料備受關注與青睞。微觀組織形態是影響鋁合金鑄件性能的重要因素之一，也是凝固成型后評價其鑄件質量的一個重要指標[1]。早期對微觀組織演變的研究多采用實驗和解析方法，但是這兩種方法很難直觀描述多元合金的枝晶形貌特征。隨著計算機技術和數值計算方法的進步，數值模擬技術得到了快速的發展。由于數值模擬技術具有不受實驗條件制約、成本低等優點，能夠定量研究凝固過程的微觀組織形貌，因此凝固組織模擬模型的作用越來越重要[2-7]。

進入二十一世紀，國內外數值模擬技術的發展非常迅速，建立了數種的微觀組織模擬模型，成為預測合金凝固過程枝晶形貌和微觀偏析的重要工具。目前，最常用的微觀組織數值模擬方法主要有相場法(phase field, PF)[8-13]、元胞自動機法(cellular automaton, CA)[14-15]和界面前沿跟蹤法(front-tracking，FT)[16-17]等。

相場法雖然能夠獲得與實驗結果相近的枝晶形貌，但是其假定固/液界面有一定的厚度，缺乏清晰的物理基礎。元胞自動機法中，網格的尺寸及形狀容易影響模擬結果，模擬凝固過程的偏析存在較大誤差。界面前沿跟蹤方法能夠解決相場法和元胞自動機法引起的問題，可以跟蹤固/液界面的邊界條件，通過將固/液中的熱、質傳輸方程和邊界條件相耦合，建立一個控制方程組，可以模擬枝晶尖端的穩態生長，同時具有較高的計算效率。

本文采用當量法[18]，將已有的二元合金的界面前沿跟蹤模型擴展到了多元體系，建立了多元合金枝晶生長的界面前沿跟蹤模擬方程，該研究對理解凝固過程和組織控制有較高的理論指導作用。

1控制方程

在金屬的凝固過程中，伴隨著傳熱和傳質的現象。國內外許多研究者對傳熱和傳質的過程進行了大量的研究，發現此過程的改變會影響晶粒的形核和生長以及凝固后的微觀組織。因此，只有正確和深入地研究凝固過程中的傳輸現象，建立傳熱和傳質方程以及凝固理論模型，才能正確地模擬微觀組織的形成過程。

1.1宏觀傳熱的計算

宏觀溫度場的模擬在凝固過程中非常重要，是微觀形核、生長模擬的基礎，也是能否正確模擬微觀組織的前提。在鑄件凝固過程中，如果不考慮對流現象，其凝固過程可以看成不穩定的導熱過程。金屬凝固過程是相變的過程，在此過程中會放出凝固潛熱，而這種潛熱反過來又會對合金凝固時的溫度場產生影響。結晶潛熱的釋放是金屬凝固過程區別于一般導熱過程的顯著特點。宏觀和微觀的模擬不是完全獨立的，因此必須加以綜合考慮、分析。

凝固過程中，如果僅考慮二維傳熱的話，其二維溫度場控制方程為：

(1)

其中， ρ為材料的密度； Cp為定壓比熱容；λ為導熱系數；ΔH為潛熱；fs為固相分數。

1.2多組元溶質擴散的計算

合金凝固過程中，隨著晶粒的形核和生長，當溶質在固相中的溶解度小于在液相的溶解度時，一方面固相中多余的溶質被排放出來富集在凝固界面前沿的液相中，使得界面前沿存在溶質梯度, 從而推動溶質擴散的進行；另一方面從不同成分的液相析出的固相也具有不同的成分，使凝固體系中固/液界面各處溶質濃度不均勻，因此需要對每種元素分別進行溶質擴散方程的求解，建立的溶質擴散控制方程為：

(2)

其中，CL,i為組元i在液相或固相中的溶質成分；DL,i為組元i在液相中的擴散系數；ki為組元i的溶質平衡分配系數。

1.3固相分數增量的計算

金屬凝固是晶粒不斷形核和長大的過程，晶粒在長大的過程中固/液界面曲率不斷發生變化，影響界面溶質擴散。假定凝固過程中，固/液界面的固、液相成分保持平衡， 固/液界面滿足熱力學平衡，綜合考慮溶質成分和曲率過冷的影響，界面平衡液相溶質濃度的控制方程可以表示為：

(3)

其中界面張力的各向異性和界面曲率的控制方程為：

(4)

f(θ,θ0)=1-δcos[4(θ-θ0)],

(5)

其中，a為元胞尺寸；fs(i)為鄰居元胞的固相分數；N為鄰居元胞的數量取24；δ為界面能各向異性系數。

當界面上平衡液相溶質成分大于液相溶質成分時，固/液界面開始往液相推進，兩者的差值是凝固的驅動力，在一個時間步長內元胞的固相分數增加量的控制方程為：

(6)

其中，Δfs為一個時間步長內一個界面網格固相分數的增加量。

在KGT模型中，主要是針對二元合金，當對多元合金進行計算時，使用當量法對其進行擴展，建立適合多元合金的改進模型。當多元合金為Al-xSi-yCu，可以對Al-xSi和Al-yCu進行計算，每一個二元合金的液相線斜率和溶質平衡分配系數由相圖得出，也可以由實驗測得。控制方程為：

C0=∑Ci,

(7)

(8)

(9)

其中，Ci為多元合金時某一組元的初始溶質分數；mi為液相線斜率；ki為溶質平衡分配系數。

2數值求解流程

使用有限差分法將控制方程進行離散化處理，把控制方程在時間和空間上差分化，對計算域中的每個元胞進行計算。在計算工作完成后，對數據進行處理，使用MATLAB將數據進行圖像顯示，進行分析和討論。

(1)將計算區域劃分M×N的網格，隨機選擇一個或若干個元胞作為形核中心，形核中心捕獲周圍的液相元胞，使其成為界面元胞；

(2)設定初始條件及邊界條件，并設定一定的冷卻速率；

(3)通過公式(1)進行溫度場計算；

(4)通過公式(2)進行溶質場計算，并通過公式(3)、(4)、(5)計算平衡液相溶質濃度；

(5)通過公式(6)計算分數增量，當元胞的固相變為1時，將此元胞標記為固相；若小于1，則重復步驟(1)～(4)，直至元胞凝固。

3模擬結果

應用所建立的界面前沿跟蹤模型，對 Al-6Si-4Cu合金凝固過程進行了模擬計算。該模型主要用來模擬形核后晶粒的長大過程。模擬時選用的網格為500×500，網格尺寸為1 μm，通過對單晶生長和多晶生長的模擬，研究枝晶生長的過程。模擬時所用的熱物性參數如表1所示。

表1　Al-6Si-4Cu合金熱物理參數

晶粒生長受很多因素的共同影響，實際生產過程中對晶粒生長的影響更是復雜。該模型可以單獨地改變某一因素，研究其對枝晶生長的影響。如圖1所示，參數過冷度為3 K，冷卻速率為15 K/s，凝固時間為1.23 s時的模擬結果。

圖1　枝晶組織形態溶質分布圖 Fig.1　Distribution of solute Cu and Si in dendrite structure

圖2所示為沿枝晶臂方向溶質在固/液相中的分布情況。

圖2　枝晶組織溶質分布 Fig.2　Solute distribution in tip and arm of dendritic structure

由于溶質平衡分配系數小于1，即固相中的溶解度小于液相，凝固時，固相中的溶質向液相析出，溶質在枝晶前沿位置產生了富集，如圖2所示。由于溶質傳輸的作用，導致固/液界面前沿熔體凝固時溶質成分不同，這樣在不同液相熔體中析出的固相成分也不相同。同時，從模擬結果可以看出凝固的固相中溶質成分也不相同，在最先凝固的枝晶中心位置溶質成分最低，從枝晶中心向外固相中的溶質成分逐漸變大。

圖3所示為冷卻速率為5、10、15 K/s的枝晶臂尖端溶質分布圖。從圖中可以得出，冷卻速率越大，枝晶尖端溶質梯度越大。

圖3　不同冷卻速度下枝晶尖端溶質分布情況Fig.3　Cu and Si solute distribution of dendrite tip for different cooling rates

圖4和圖5所示為多晶粒不同時刻在冷卻速率為10 K/s時的模擬結果。計算區域為500×500的網格，將8個晶核隨機地分布在計算區域內，并隨機地給予每個晶核一個擇優生長方向，假設計算域內溫度均勻，以10 K/s的冷卻速率下降。

圖4　不同時刻枝晶生長過程的溶質元素Si的分布情況Fig.4　Distribution of solute Si in dendritic growth process at different time

圖5　不同時刻枝晶生長過程的溶質元素Cu的分布情況Fig.5　Distribution of solute Cu in dendritic growth process at different time

圖6　不同時刻溶質元素微觀偏析曲線Fig.6　Cu and Si micro segregation curves at different time

由圖4和圖5可以看出，枝晶在多晶粒共同生長時，再現了晶粒生長的競爭。在晶粒剛開始生長時，由于距離相對較遠，晶粒之間影響較小，在生長初期所有晶核都均勻沿著各自的擇優生長方向生長。隨著枝晶的不斷長大，當枝晶臂靠的較近時，枝晶會停止生長或發生彎曲，凝固完成后，枝晶之間彼此接觸形成了晶界。由于在模擬時選擇了固定的擴散系數，導致溶質組元Si和Cu有相同溶質擴散的分布情況，在以后的研究中會考慮其相互的影響。

圖6所示為對溶質組元Si和Cu做定量的分析，在圖4和圖5中x=250位置處，取不同時刻的溶質成分分布圖。

從圖中可以看出隨著凝固的進行，界面處的溶質梯度越來越大，當兩個枝晶臂接近時，溶質梯度在該處最大。本文通過對多晶生長的模擬，研究微觀組織的演化規律，可以更好地對材料的性能進行分析，提前預測材料的各項參數，為實際生產提供理論依據。

4結論

本文基于KGT模型，建立了多元合金界面前沿跟蹤模型，模擬結果與KGT模型吻合，符合經典凝固理論的凝固現象。通過精確地跟蹤固/液界面位置，模擬三元Al-Cu-Si合金凝固時微觀組織及枝晶組織的生長及演化過程，得出如下結論。

(1)應用所建立的模型成功地對鋁硅銅合金凝固進行了模擬計算，并使用可視化軟件處理結果，再現了單晶和多晶微觀組織的枝晶生長和溶質偏析現象。

(2)多晶模擬時，晶粒生長初期模擬結果與單晶模擬相同；隨著凝固的進行，當枝晶臂靠的較近時，枝晶會停止生長或發生彎曲，再現了枝晶的競爭生長。

(3)由于凝固過程中溶質的再分配，使得溶質在枝晶前沿富集，降低了過冷度，減小了生長的速度，有縮頸現象的出現。

(4)該模型可以實時地跟蹤凝固界面前沿的位置，節省計算時間，提高效率。

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DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.006

收稿日期：2016-03-17

基金項目：山東省科技廳國際合作項目(2013GHZ30205)；山東省科學院科研計劃項目(青年基金)(2013QN004)

作者簡介：劉波祖(1990-)，男，碩士研究生，研究方向為材料計算。 *通信作者，衣冠玉(1978-)，男，副研究員，研究方向材料計算。Email:gyyi@sdas.org

中圖分類號：TG292

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2016)03-0028-07

Front-tracking model of dendritic growth in multicomponent alloy solidification process

LIU Bo-zu1,YI Guan-yu2*,ZHAO Zhong-kui1

(1.School of Material Science and Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan 250001, China;2. Shandong Provincial Engineering Research Center for Lightweight Automobile Magnesium Alloy,Advanced Materials Research Institute, Shandong Academy of Sciences, Jinan 250014, China)

Abstract∶To predict microstructure evolution of Aluminum alloy castings in solidification process, we generalize KGT model with an equivalent method and construct a front-tracking model applicable to multicomponent alloy. We further apply the model to the simulation for the solidification process of Al-6Si-4Cu alloy. Simulation results show that the model can predict free dendritic growth, solute segregation in liquid phase and competitive growth process of dendrites in polycrystal growth. The model can therefore track real-time front position of solidification, save computation time and improve efficiency.

Key words∶front-tracking model; dendritic growth; ternary alloy