彈丸空氣阻力定律超音速段有理式經驗公式*

劉　鵬,王雨時,聞　泉,張志彪

(南京理工大學機械工程學院,南京　210094)

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彈丸空氣阻力定律超音速段有理式經驗公式*

劉鵬,王雨時,聞泉,張志彪

(南京理工大學機械工程學院,南京210094)

摘要:為了給低伸彈道方程近似解析解提供基礎,應用Matlab軟件對描述彈丸空氣阻力特性的1943年阻力定律和西亞切阻力定律超音速段進行了有理式函數數值擬合,得到了具有較高精度的經驗公式。應用這類經驗公式,不但可以用于外彈道數值求解時表值阻力定律的編程處理,而且有助于獲取低伸彈道方程的近似解析解。

關鍵詞:彈道學;曲線擬合;經驗公式;阻力定律;低伸彈道;數值計算

0引言

在外彈道工程計算時,空氣阻力系數是重要參量。盡管現代彈丸外形較1943年阻力定律和西亞切阻力定律的標準彈外形有較大改變,彈丸長細比更大,彈形更為復雜,阻力特性變化規律與這兩個阻力定律描述有較大不同,但文獻[1]的研究表明,在數值計算和仿真、外彈道觀測技術以及風洞試驗技術飛速發展的今天,經典的彈丸空氣阻力定律以其方便使用的特點和足夠的準確度,仍能應用于多數彈藥和引信工程研制實踐。但1943年阻力定律和西亞切阻力定律卻都是表值定律,為便于外彈道學數值計算程序編制,并作進一步的解析分析處理,需將表值定理進行曲線擬合,表達成解析形式。在實用中,引信和彈藥總體設計與彈道環境估計都需要低伸彈道經驗公式。文獻[2]曾以三次拋物線分段擬合的方式給出了1943年阻力定律和高阻炸彈阻力定律的解析表達式。其精度雖然不大于4%,但分段過多(3～4段),應用仍不方便,而用于某些特定彈道(如低伸彈道)的近似解析求解,則已不可能了。文獻[3]中所給出的1943年阻力定律的阻力函數經驗公式,同樣由于分段過多(4段)而不便應用。文獻[4]以Logistic曲線擬合方式分別給出了1943年阻力定律亞音速段和超音速段的經驗解析表達式,但這類表達式仍不適合低伸彈道的近似解析求解。身管武器系統可大致上分為彈丸亞音速和彈丸超音速兩大類?？缫羲俣螐椡铓鈩恿μ匦噪y以穩定,故彈丸跨音速段武器系統較少。文中旨在尋找1943年阻力定律和西亞切阻力定律1～4 Ma段阻力系數新的簡單直觀的解析表達式,擬用于超音速段低伸彈道方程的近似解析求解。

11943年阻力定律超音速段曲線擬合

1943年阻力定律表值在超音速段(1～4 Ma)呈現先上升后下降的規律。若采用傳統的多項式擬合,則擬合出的多項式冪次過高且對常系數的有效位數要求較高。而其它常見函數(如傅里葉函數、指數函數)的擬合系數過多,方程過于復雜不利于后續解析求解。利用Matlab軟件自帶的擬合工具箱可視化的優點[5-6],在對1943年阻力定律進行曲線擬合的過程中可直觀的觀察曲線符合情況。通過比較分析,Matlab擬合工具箱中的有理式(rational)函數能很好的實現擬合。

有理式函數的一般形式為:

(1)

式中:x為曲線的自變量;y為曲線的因變量;m為分母最高次數;n為分子最高次數;pi、qi為擬合曲線的待定系數。

有理式函數的主要優點是在處理復雜數據時具有很高的靈活性;缺點則是當分母處于0附近時存在不穩定性。

利用有理式函數對1943年阻力定律進行擬合時,冪次過低時擬合效果不好,冪次過高容易出現突變且不利于后續解析求解。經試驗比較,最終使用的有理式分式的分子分母皆為二次多相式。如圖1所示。

對1943年阻力定律采用的擬合方程為:

(2)

利用最小二乘法對曲線進行擬合,求得待定系數為:

p1=0.218 166 476 686 158;

p2=-0.245 838 817 803 349;

p3=0.073 813 571 190 993;

q1=-1.691 999 884 809 146;

q2=0.831 091 598 545 532。

其最大相對誤差為2.553%,方差為8.353 5×10-4。

圖1　1943年阻力定律曲線擬合

2待定系數有效數字位數的選取

為進一步探討待定系數有效數字位數對曲線精度的影響,表1中給出了待定系數取不同的有效數字位數時擬合效果的比較結果,圖2中給出了待定系數取不同的有效數字位數時的曲線圖。

從表1和圖2中可以看出,當待定系數有效數字位數為2位和3位時,其擬合效果有一定的偏差;當待定系數有效數字位數為4位時,其擬合效果與最優解的擬合效果已經很接近,應用中可取4位有效數字。

表1　不同的待定系數有效數字位數擬合效果比較

圖2　不同的待定系數有效數字位數擬合曲線比較

3待定系數選取方法優化

最優解待定系數位數過多不便于實用,而取一定的有效數字位數又與最優解存在偏差。為解決此問題,可先選取影響因素較小的待定系數(如式中常數項系數p3或q2),對其它待定系數取一定的有效數字位數,確定新的擬合方程,然后再對曲線進行擬合求取待定系數,這樣二次求解理論上能提高曲線的擬合效果。

圖3給出了取4位有效數字時,不同待定系數選取方法的曲線比較圖;表2給出了擬合效果的比較結果。

從圖3和表2中看出各種待定系數選取方法的擬合結果基本相同。因此推薦1943年阻力定律在1～4 Ma范圍內的經驗公式為:

(3)

圖3　不同的待定系數選取方法所得擬合曲線比較

4西亞切阻力定律超音速段曲線擬合

西亞切阻力定律已有解析式[3]但應用不便,利用上述方法可對西亞切阻力定律做相同處理,其結果如表3所示。表4給出了待定系數取不同的有效數字位數時擬合效果的比較結果。

從表4中可以看出,利用有理式函數對西亞切阻力定律進行擬合,同樣可以取得很好的效果,且估取待定系數的4位有效數字就能滿足工程計算需求。

表3　西亞切阻力定律有理式函數擬合方程

表4　各個擬合方程不同的待定系數有效數字位數擬合效果比較

5擬合曲線跨音速段延伸

為了研究擬合曲線在跨音速段的適應性,表5給出了1943年阻力定律和西亞切阻力定律擬合曲線(待定系數取4位有效數字)在0.85～1 Ma段的誤差值。

表5　0.85～1 Ma段各個擬合方程的擬合誤差

小。因此推薦西亞切阻力定律在1～4Ma范圍內的阻力系數經驗公式為:

(4)

6結束語

對于1943年阻力定律和西亞切阻力定律超音速段的曲線擬合,有理式函數都能取得很好的效果。相對于傳統的經驗公式,該擬合方程對待定系數有效數字位數要求較低,且結構簡單,不但可以用于外彈道數值求解時表值阻力定律的編程處理,而且有助于獲取超音速段低伸彈道方程的近似解析解。

參考文獻:

[1]楊翔, 王雨時, 聞泉. 應用阻力系數擬合曲線解析式數值解算外彈道諸元 [J]. 彈箭與制導學報, 2014, 34(5): 151-155.

[2]王雨時, 焦志剛, 于世杰, 等. 外彈道學阻力定律的三次拋物線分段擬合 [C]∥遼寧省兵工學會第5屆學術年會論文集, 1994.

[3]浦發, 芮筱亭. 外彈道學: 修訂本 [M]. 北京: 國防工業出版社, 1989: 39-40.

[4]王雨時. 彈丸戰斗部及其破片空氣阻力系數的Logistic曲線分段擬合 [J]. 彈箭與制導學報, 2006, 26(1): 242-244.

[5]史立新, 聶信天, 季明. 基于Matlab曲線擬合工具箱的列表曲找擬合 [J]. 《新技術新工藝》·軟件技術應用, 2007(7): 39-41.

[6]胡慶婉. 使用MATLAB曲線擬合工具箱做曲線擬合 [J]. 電腦知識與技術, 2010, 6(21): 5822-5823.

*收稿日期:2014-10-18

基金項目:江蘇省自然科學基金青年基金(BK20140786)資助

作者簡介:劉鵬(1991-),男,湖南長沙人,碩士研究生,研究方向:引信及彈藥技術。

中圖分類號:TJ012.3

文獻標志碼:A

RationalEmpiricalFormulasforAirResistanceLawofProjectileatSupersonicSection

LIUPeng,WANGYushi,WENQuan,ZHANGZhibiao

(SchoolofMechanicalEngineering,NUST,Nanjing210094,China)

Abstract:In order to lay foundation for approximate analytical expression of low trajectory equation, Matlab software was used to simulate 1943 resistance law and siacci resistance law which describe projectile’s air resistance characteristics by rational curve at supersonic section, the empirical formulas with higher accuracy were obtained. Application of this kind of experience formula can facilitate ballistic numerical solution when processing the table value resistance law programming, and possibly to solve approximate analytical expression of low trajectory equations.

Keywords:ballistics; curve fitting; empirical formula; resistance law; low trajectory; numerical calculation