基于維度特性的二維到達角及極化參量聯(lián)合估計算法*

吳　娜,司偉建,焦淑紅

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院,哈爾濱　150001)

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基于維度特性的二維到達角及極化參量聯(lián)合估計算法*

吳娜,司偉建,焦淑紅

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院,哈爾濱150001)

摘要:針對利用極化敏感陣列進行多維參數(shù)聯(lián)合估計運算復雜度大的問題,提出一種基于噪聲子空間維度特性的極化敏感陣列DOA及極化參數(shù)聯(lián)合估計算法。算法利用陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣噪聲子空間的維度特性構(gòu)造譜函數(shù),有效降低了極化敏感陣列信號參數(shù)聯(lián)合估計的計算復雜度,同時保證了算法的估計性能。對算法與現(xiàn)有基于長矢量的MUSIC算法的運算復雜度進行了理論分析對比。最后,仿真對比實驗驗證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞:極化敏感陣列;維度特性;DOA估計;極化參量估計

0引言

近幾十年來,基于極化敏感陣列的空間信號到達角(directionofarrival,DOA)和極化參數(shù)的聯(lián)合估計問題受到相關(guān)學者的廣泛關(guān)注[1-6]。利用極化敏感陣列可以實現(xiàn)信號DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計,獲得更多入射信號的信息,從而提高陣列的接收能力,改善相應的DOA估計性能。

極化敏感陣列將空間域的參數(shù)估計擴展為空間極化域聯(lián)合參數(shù)估計問題,相比于空間域的二維搜索,空間極化域的四維搜索需要的計算量相當高,嚴重制約了該類算法在實際工程中的應用。MUSIC算法的巨大計算量主要集中于兩部分,即特征值分解和空間譜的構(gòu)造,其中構(gòu)造空間譜需要的運算量要遠遠大于特征值分解運算的運算量。因此,如果可以降低空間譜構(gòu)造的運算量就可以大大減少MUSIC算法的總運算量。文獻[7-11]將MUSIC算法擴展應用到了極化敏感陣列;文獻[12]研究了用于極化敏感陣列的基于長矢量MUSIC算法(longvector-basedMUSIC,LV-MUSIC),該方法基于長矢量數(shù)學模型,具有較高的估計精度,但運算量巨大;文獻[13]研究了基于四元數(shù)理論的信號入射角和極化參量的聯(lián)合估計問題,利用四元數(shù)在運算量上的優(yōu)勢,降低了算法的運算次數(shù),但由于四元數(shù)由1個實部和3個虛部構(gòu)成,每次運算需要的運算時間變長,因此總體運算時間并沒有降低,同時由于減少了矩陣維數(shù),因此在分辨力上相比于LV-MUSIC算法有所下降。

文中提出一種適用于極化敏感陣列二維到達角和極化參數(shù)聯(lián)合估計算法(dimensionfeature-basedMUSIC,DF-MUSIC)。針對MUSIC算法譜峰搜索運算量大的問題,降低每個譜峰值求解的運算量,從而降低基于長矢量的MUSIC類算法的運算量,并且保留了長矢量數(shù)據(jù)模型在估計精度上的優(yōu)勢。為了簡便,文中算法的理論推導及計算機仿真均假設信號的極化相位差是已知的。但是在極化相位差未知的情況下,所提算法仍然適用。最后,通過計算機仿真對比實驗驗證了算法的有效性。

1數(shù)學模型

由N=M×M對正交偶極子構(gòu)成的均勻平面陣列如圖1所示。其中第il(i,l=1,2,…,M)個偶極子對的中心坐標為(x,y)=((i-1)d,(l-1)d),相鄰偶極子對之間的間隔為d,數(shù)值等于入射信號源的半波長。

圖1　極化敏感均勻平面陣

設有K個遠場靜態(tài)隨機信號入射到天線陣列。定義第k個入射信號的DOA和極化參數(shù)分別為(θk,φk)和(γk,ηk),為了簡便且不失一般性,設ηk=90°,即入射信號的極化在坡印廷球面的同一圓周上[1]。

極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)的矩陣形式為:

(1)

式中:X(t)=[x1(t)x2(t)…x2N(t)]T∈C2N×1為接收信號矢量;S(t)=[s1(t)s2(t)…sK(t)]T∈CK×1為信號源矢量;N(t)是2N×1維協(xié)方差矩陣為σ2I2N的零均值高斯白噪聲矢量。A(θ,φ,γ)∈C2N×K為流型矩陣,具體形式如下:

A(θ,φ,γ)=

(2)

式中:a(θk,φk,γk)=as(θk,φk)?ap(θk,φk,γk),(k=1,2,…,K),“?”為克羅內(nèi)克積,as(θk,φk)稱為陣列流型矢量,具體形式如下:

as(θk,φk)=

(3)

ap(θk,φk,γk)稱為極化矢量,其表達式為:

(4)

將極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)矢量的奇數(shù)位數(shù)據(jù)取出得到沿X軸方向的N個偶極子的接收數(shù)據(jù)矢量,定義為子陣Xx(t),矢量形式為:

(5)

同理,取出對應偶數(shù)位的信息得到沿Y軸方向的N個偶極子的接收數(shù)據(jù)矢量,定義為子陣Xy(t),矢量形式為:

(6)

將陣列接收數(shù)據(jù)矢量重新排列,得到新的陣列接收數(shù)據(jù)矢量為:

(7)

設陣列接收的噪聲為零均值加性空間平穩(wěn)高斯白噪聲,噪聲功率為σ2,則對應的新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

(8)

(9)

在實際中,天線接收的數(shù)據(jù)為有限長的,因此常用最大似然估計方法得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的估計值,即:

(10)

2DF-MUSIC算法基本原理

2.1算法基本原理

對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣Rx進行特征分解得:

(11)

(12)

其中第一組包含前K個大特征值,其對應的特征矢量構(gòu)成信號子空間US=[u1u2…uK],第二組包含從第K+1到第N個小特征值,其對應的特征矢量構(gòu)成矩陣UN1=[uK+1uK+2…uN],該矩陣張成的空間包含于噪聲子空間,第三組包含后N個小特征值,其對應的特征矢量構(gòu)成矩陣UN2=[uN+1uN+2…u2N],該矩陣張成的空間同樣包含于噪聲子空間。

設噪聲子空間為UN,由經(jīng)典空間譜理論可知,理想條件下數(shù)據(jù)空間中的信號子空間與噪聲子空間是相互正交的,即信號子空間中的導向矢量也與噪聲子空間正交,則有下式成立:

(13)

任取e∈UN,由以上分析可知,有等式aH(θ,φ,γ)e=0成立,則任取e∈UN2?UN,有aH(θ,φ,γ)e=0成立,則有信號子空間中的導向矢量也與噪聲子空間的子空間UN2正交,即:

(14)

UN2的維數(shù)等于極化敏感陣列包含的偶極子對個數(shù),與入射信源數(shù)無關(guān),則若用UN2來近似噪聲子空間,可以實現(xiàn)未知信源數(shù)情況下的DOA信息和極化信息的聯(lián)合估計。

與經(jīng)典MUSIC算法相同,由于噪聲的存在,a(θ,φ,γ)與UN2并不能完全正交,也就是說式(14)只能近似成立,所以構(gòu)造DF-MUSIC算法的譜估計公式為:

(15)

根據(jù)子空間正交原理,在三維空間搜索,可得DOA信息及極化信息為:

(16)

2.2算法步驟總結(jié)

根據(jù)以上理論分析,將文中算法的步驟總結(jié)如下:

步驟4在信號參數(shù)范圍內(nèi)根據(jù)式(15)進行譜峰搜索;

步驟5找出極大值對應的角度及極化信息可得信號入射方向及其極化信息。

2.3算法運算量分析

在實際工程應用中,運算復雜度是衡量算法是否滿足實時性要求的重要指標之一,因此本節(jié)對文中算法(DF-MUSIC)與經(jīng)典基于長矢量的MUSIC算法的運算復雜度進行分析對比。MUSIC類算法的計算量主要體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣的構(gòu)造、特征值分解及譜函數(shù)的搜索過程。對比的兩種方法采用了相同的協(xié)方差矩陣構(gòu)造及特征值分解方法,因此運算量的區(qū)別主要體現(xiàn)在譜函數(shù)的搜索過程,而MUSIC類算法的運算量大部分都來自譜函數(shù)搜索過程,因此減少譜函數(shù)搜索過程的運算量可以極大的減少整個算法的運算量。下面對兩種方法的譜函數(shù)搜索的運算量進行對比。

設入射源數(shù)為K,陣列是由M×M對正交偶極子構(gòu)成的均勻平面矩形陣列,根據(jù)式(14)可知文中算法(DF-MUSIC)計算每一個搜索點的譜值的計算量為4M4+2M2,而經(jīng)典的基于長矢量的MUSIC(LV-MUSIC)算法計算每一個搜索點的譜值的計算量為8M4-4M2K+2M2,文中算法與LV-MUSIC算法相比,每計算一個搜索點的譜值減少的計算量為Δ=4M4-4M2K=4M2(M2-K),而文中算法和LV-MUSIC算法都是以假設入射信源個數(shù)小于接收陣元數(shù)為前提推導得出的,即均需滿足M2>K,則有Δ>0。計算空間譜包含方位角、俯仰角和極化輔助角三維信息,需要在這個三維空間進行極大值搜索。假設方位角搜索步數(shù)為nθ,俯仰角搜索步數(shù)為nφ,極化輔助角搜索步數(shù)為nγ,則共有nθnφnγ個搜索節(jié)點。則在構(gòu)造空間譜這一步驟時采用文中算法比采用經(jīng)典LV-MUSIC算法減少的計算量為nθnφnγΔ=nθnφnγ4M2(M2-K)。

綜上所述,在兩種算法的搜索空間及搜索步數(shù)相同的情況下,運算復雜度對比可以歸納為如表1所示。

3計算機仿真分析

為了驗證文中算法的估計性能,對文中算法進行仿真分析。仿真采用由3×3對正交偶極子構(gòu)成的均勻平面矩形陣接收信號,采樣快拍數(shù)L設為200。假

表1　兩種算法運算復雜度對比

設入射信號均為遠場窄帶橫電磁波,且各入射信號之間相互獨立。噪聲的均值為零的空間加性白噪聲。

實驗1算法有效性驗證

設信噪比SNR=10,兩個入射信號到平面天線陣列的DOA參數(shù)(θ,φ)分別為(15°,45°)和(150°,60°),極化輔助角為10°和45°。圖2和圖3分別給出了極化輔助角為10°和45°時的空間譜圖。

圖2　極化輔助角為10°時DF-MUSIC算法的空間譜圖

圖3　極化輔助角為45°時DF-MUSIC算法的空間譜圖

由圖2和圖3可見:DF-MUSIC算法可以有效估計出入射信號的DOA信息和極化信息,并且得到的空間譜圖在入射信號點處的譜峰十分尖銳。這是因為算法采用了極化敏感陣列,接收的極化信息為信號參數(shù)估計提供了更多的信息量,有效改善了算法的估計性能。

實驗2算法估計性能與信噪比的關(guān)系

下面通過仿真對DF-MUSIC算法和LV-MUSIC算法的估計精度進行對比分析。入射信號的DOA參數(shù)和極化參數(shù)的設置與實驗1相同,設快拍數(shù)為100,信噪比SNR以2dB為步進值依從-2dB增加到20dB,噪聲為空間加性高斯白噪聲,進行100次獨立重復實驗。采用待估計參量的均方根誤差來衡量算法的估計性能,定義待估計參量x的均方根誤差的表達式為:

(17)

其中M為獨立重復實驗次數(shù)。仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4　對兩入射信號方位角θ估計的RMSE隨SNR的變化

圖5　對兩入射信號俯仰角φ估計的RMSE隨SNR的變化

圖6兩入射信號極化輔助角γ估計的RMSE隨SNR的變化

從圖4、圖5和圖6可以看出,隨著信噪比的增加,兩種算法對信號入射方位角、俯仰角及極化輔助角的估計誤差均變小,即信噪比越大,估計精度越高。由圖4可知,兩種算法對入射信號方位角的估計誤差幾乎相同,而對信號源1方位角的估計誤差明顯大于對信號源2方位角的估計誤差,這是由于信號源1的方位角設為150°,入射方向與天線陣成鈍角,天線陣對信號的接收效果不及入射方向與天線陣成銳角的情況。而在入射方向與天線陣成銳角的情況下,對入射信號源2的方位角的估計誤差在低信噪比時,LV-MUSIC算法的估計精度高于DF-MUSIC算法,但當信噪比增加到2dB以后,二者的估計精度相同。從圖5可以看出,在低信噪比時,DF-MUSIC算法的估計精度低于LV-MUSIC算法的估計精度,隨著信噪比的增加,二者的差別逐漸變小,并且估計誤差趨于穩(wěn)定。與對方位角和俯仰角的估計結(jié)果類似,同樣是在低信噪比的情況下,DF-MUSIC算法的估計精度低于LV-MUSIC算法,隨著信噪比的增加,二者的估計誤差越來越接近。通過對仿真結(jié)果的分析可知,在低信噪比的情況下,文中算法的估計精度不及LV-MUSIC算法,但對方位角、俯仰角和極化輔助角的估計誤差相差分別不超過0.5°、0.3°、1.2°,對于空間域的兩個參量可以滿足大多數(shù)的工程要求,而極化域的參量一般用于判斷信號的極化狀態(tài),例如判斷信號是水平極化還是垂直極化,僅需要知道信號的極化參量是在哪個區(qū)間內(nèi)就可以滿足工程需求,因此文中算法對信號的極化參量進行估計的估計精度同樣滿足工程指標。并且在同樣滿足工程需求的前提下,所提算法可以有效降低算法運算量。

4總結(jié)

文中基于傳統(tǒng)的長矢量數(shù)據(jù)模型,利用噪聲子空間維度特性提出了適用于極化敏感陣列的信號空間域極化域聯(lián)合參數(shù)估計算法。算法對極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的特征值及特征向量進行分析,給出噪聲子空間的近似形式,利用該近似形式構(gòu)造空間譜,降低了生成空間譜時參與乘法運算的矩陣的維度,從而降低計算量。由于生成空間譜時根據(jù)各維度搜索步數(shù)的不同會導致需要計算的點數(shù)不同,因此各維度的搜索步數(shù)越大,所提算法較LV-MUSIC算法的運算量減少的就越多。而搜索步數(shù)越大,搜索間隔就越小,對應的估計精度越高,因此文中算法可以在保證估計精度的前提下減少一定的計算量。需要補充的是,文中算法的噪聲子空間的近似形式并不拘于文中所提的方法,其適用于任何基于極化敏感陣列的噪聲子空間類參數(shù)估計算法。

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*收稿日期:2015-04-02

基金項目:航空科學基金(201401P6001)資助

作者簡介:吳娜(1986-),女,黑龍江哈爾濱人,博士研究生,研究方向:寬帶信號檢測、處理與識別。

中圖分類號:TN911

文獻標志碼:A

DimensionFeature-basedTwo-dimensionalDOAandPolarizationEstimationwithaPolarizationSensitiveArray

WUNa,SIWeijian,JIAOShuhong

(CollegeofInformationandCommunicationEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:Joint estimation of DOA and polarization with a polarization sensitive array has the shortcoming of high computational complexity. In order to solve this problem, a direction of arrival (DOA) and polarization joint estimation algorithm based on dimension feature of the noise-subspace using polarization sensitive array was proposed. Approximation of projection matrix was obtained for construction of spectrum function by dimension feature of noise subspace, which reduces computational complexity of DOA and polarization joint estimation algorithm but also guarantees estimation performance. Ccomputational complexity of the algorithm was compared with that of long vector-based MUSIC algorithm. Finally, efficiency of the proposed algorithm was verified based on the simulation results.

Keywords:polarization sensitive array; dimension feature; DOA estimation; polarization estimation