基于G-MPSP算法的非線性制導律研究*

李新三,汪立新,丁邦平,閆循良,劉國輝,王明建

(1　第二炮兵工程大學,西安　710025;2　第二炮兵工程大學士官職業(yè)技術教育學院,山東青州　262500)

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基于G-MPSP算法的非線性制導律研究*

李新三1,汪立新1,丁邦平2,閆循良1,劉國輝2,王明建2

(1第二炮兵工程大學,西安710025;2第二炮兵工程大學士官職業(yè)技術教育學院,山東青州262500)

摘要:針對帶有末端多約束的非線性制導問題,運用通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃(G-MPSP)算法設計了一種快速求解連續(xù)時間系統(tǒng)具有終端落角約束的非線性最優(yōu)制導律。該算法通過向后迭代求解小維數(shù)權矩陣微分方程對控制量進行更新,將動態(tài)優(yōu)化問題轉化為靜態(tài)優(yōu)化問題,計算效率得以提高。考慮目標以不同的方式機動,仿真結果表明,末端位移偏差小于1.0 m,末端角度約束偏差可控制在0.1°范圍內(nèi),該制導律能夠滿足脫靶量和末端角度雙重要求,法向過載在整個制導過程中變化平緩。

關鍵詞:制導律;角度約束;模型預測靜態(tài)規(guī)劃

0引言

運用最優(yōu)控制理論設計對地攻擊導彈制導律具有許多優(yōu)點,不僅可以考慮多種約束條件,同時還可以對給定的目標函數(shù)進行優(yōu)化[1],例如梯度法[2]、打靶法[3]等。但是這些傳統(tǒng)的優(yōu)化算法計算量大,只適用于離線軌跡優(yōu)化。LQR理論[4]通過求解代數(shù)黎卡提方程來獲得最優(yōu)控制量,但是LQR理論僅僅適用于線性時不變系統(tǒng)。目前,非線性最優(yōu)控制理論在導彈上在線應用主要分為兩類方法:1)參考軌跡跟蹤法;2)預測-校正法。參考軌跡跟蹤法需要離線生成參考軌跡。預測-校正法首先利用猜測的初始控制量對末端狀態(tài)進行預測,然后利用末端狀態(tài)實際值與期望值的偏差對控制量進行更新。偽譜法[5-6]是一種在計算效率方面有很好效果的預測-校正法,但是該方法需要謹慎選擇基底函數(shù)和配置極點。

借鑒模型預測控制方法(MPC)[4]思想,文中給出一種通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃算法(G-MPSP)來快速求解具有末端約束的非線性制導問題。G-MPSP算法將動態(tài)規(guī)劃問題轉化為靜態(tài)規(guī)劃問題,拉格朗日乘子以顯式表達式形式給出。該算法受近幾年研究比較熱的MPSP[7-10]算法啟發(fā)很大,在歐拉積分條件下,兩種算法相互等價,在文中將加以證明。仿真驗證表明該制導方法能夠滿足末端角度和脫靶量的雙重要求,法向過載變化平緩,末端時刻不會突變。

1G-MPSP制導算法

采用如下形式的非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程如下:

式中:X∈Rn為狀態(tài)量,U∈Rm為控制量,Y∈Rp為輸出量。文中給出的制導算法需要確定初始控制量,通過優(yōu)化的方法實現(xiàn)對當前控制量U(t)的更新,確保末端時刻輸出量Yd(tf)滿足：Y(tf)→Yd(tf)。

末端時刻tf對應的輸出量偏差可表示為:

(3)

G-MPSP制導算法通過對控制量進行更新確保末端時刻輸出量偏差δY(X(tf))→0。下面將對G-MPSP制導算法進行推導。

式(1)等號兩邊與權矩陣W(t)相乘,得:

(4)

式中：W(t)∈Rp×n,可以通過W(t)將系統(tǒng)狀態(tài)方程映射到輸出空間,減小系統(tǒng)動力學方程的維數(shù)，可以縮短運算時間。

式(4)進行積分運算,得:

(5)

Y(X(tf))加到式(5)左右兩邊,得:

(6)

對式(6)最后一項進行分步積分,得:

(7)

將式(7)代入式(6)得:

(8)

上式進行變分運算,得:

(9)

式(9)中，選取合適的W(t)可以使與δX(t)相關的系數(shù)項為零,得:

(10)

(11)

式(10)和式(11)為關于W(t)的微分方程和邊界條件，對式(10)反向積分運算可以求解W(t)。

對于確定的初始條件,δX(t0)=0。結合式(10)和式(9),得:

(12)

式中:

(13)

其中,Bs(t)為控制量偏差δU(t)和輸出量偏差δY(X(tf))之間的靈敏矩陣,即式(12)建立了末端時刻tf對應的輸出量偏差和t∈[t0,tf)時間歷程內(nèi)的控制量偏差之間的聯(lián)系。

性能指標函數(shù)如下式:

(14)

式中:Up(t)代表更新前的控制量;δU(t)為控制量偏差。將末端約束考慮進去,式(14)可以表示為:

(15)

式中：λ∈Rp為靜態(tài)拉格朗日乘子。式(15)進行變分運算,得:

(16)

t=tf

(17)

由式(16)得:

(18)

將式(18)代入式(17),得:

(19)

其中:

(20)

(21)

當Aλ非奇異時,由式(19)得:

(22)

式(22)可以求得靜態(tài)變量拉格朗日乘子λ。文中給出的制導算法避免求解時變協(xié)態(tài)變量的問題，簡化了計算。

將式(22)代入式(18),得:

(23)

由式(23)可得到更新后的控制量:

(24)

文中給出的制導算法通過將動態(tài)優(yōu)化問題轉化為維數(shù)更小的靜態(tài)優(yōu)化問題進行求解，只需要求解靜態(tài)拉格朗日乘子，這種處理方法使得優(yōu)化問題的求解更簡單。

基于歐拉近似處理,G-MPSP算法與MPSP算法是相互等價的[11]。與MPSP相比,G-MPSP不需要對運動方程進行離散化處理。由于論文篇幅的限制，文中不予證明。

2基于G-MPSP的制導律設計

圖1為導彈與目標運動示意圖，M為導彈，T為目標，導彈的速度為Vm，彈道傾角為γm，彈道偏角為ψm，導彈的位移分別為xm、ym、zm，導彈法向過載指令分別為az、ay,下標f代表末端時刻導彈狀態(tài)量。假設目標低速機動,要求導彈精確擊中目標,彈道偏角和傾角滿足ψm(tf)→ψmf,γm(tf)→γmf約束。

圖1　導彈目標運動示意圖

狀態(tài)方程經(jīng)歸一化處理得:

(25)

其中:Xn=[Vmnγmnψmnxmnymnzmn]T為歸一化處理后的狀態(tài)量;Un=[aznayn]T為歸一化處理后的控制量;Tm為推力;Dm為阻力。

選擇輸出量:

(26)

式(25)對狀態(tài)量微分,得:

(27)

式(25)對控制量微分,得:

(28)

式(26)對末端時刻狀態(tài)量Xn(tf)微分,得:

(29)

G-MPSP算法制導律設計時,需要對初始控制量進行猜測,文中運用增廣比例制導對初始控制量進行猜測。文獻[12]推導出的增廣比例制導(APN)方向加速度指令為:

(30)

(31)

G-MPSP制導律設計執(zhí)行流程如下:

1)選擇初始控制量,文中通過增廣比例導引律(APN)計算初始控制量,這一步將給出導彈的飛行時間tf[11]。

(2)求末端時刻輸出量偏差δY(tf)=Yd(tf)-Y(tf),Yd(tf)由目標狀態(tài)和給定的導彈期望角度約束確定,如果偏差值滿足設計要求,程序結束;如果不滿足要求,執(zhí)行步驟3)。

3)對式(10)和式(11)進行數(shù)值積分計算W(t),文中采用四階龍格庫塔方法。

4)由式(13)計算Bs(t)。

5)由式(20)和式(21)計算Aλ和bλ。

6)最后,由式(23)和式(24)計算δU(t)和U(t),令Up(t)=U(t),回到步驟1)進行下一步迭代。

3數(shù)值仿真

仿真時考慮攻擊地面機動目標。導彈質量:t≤6 s時,mm=165 kg;t>6 s時,mm=150 kg。導彈推力:t≤6 s時,Tm=5 880 N;t>6 s時,Tm=0 N。導彈參考面積Sm=0.032 4 m2。阻力Dm計算參考文獻[12]。導彈初始速度為635 m/s,初始位置為(10 000 m,5 000 m,5 000 m),初始彈道傾角和偏角為(0°,170°),末端時刻彈道傾角和偏角期望值為(-60°,250°)。目標速度為20 m/s,初始位置為(1 000 m,0 m),初始航跡偏角為60°。歸一化速度、角度、位移和加速度分別取為600 m/s、50°、5000 m和9.81 m/s2,APN系數(shù)Ne=3,仿真步長取為0.02 s。

仿真時分別考慮目標的3種機動方式：正弦機動，常值加速度機動和零值加速度機動。正弦機動時目標加速度為ayT=2gsin(ωt)，機動頻率w=1 rad/s；常值加速度機動時目標加速度ayT=g；零值加速度機動目標加速度ayT=0,ψT為常值。

圖2　不同機動方式下的三維軌跡圖

仿真時經(jīng)過6次迭代即可滿足迭代終止條件。圖2給出了目標以不同的方式機動時,導彈飛行的三維軌跡,圖3給出了導彈擊中目標時三維軌跡放大圖。圖4和圖5給出了目標以不同的方式機動導彈飛行時彈道傾角γm和偏角ψm的變化曲線。表1給出了末端時刻導彈和目標的輸出參數(shù),由仿真結果可知,末端時刻導彈飛行的彈道傾角γmf和偏角ψmf與給定的期望約束值之間的偏差在0.1°范圍內(nèi),位移參數(shù)(xmf,ymf,zmf)的偏差在1 m范圍內(nèi),即文中所提出的G-MPSP算法能較好的滿足末端約束要求。

圖3　擊中目標時軌跡放大圖

圖4　彈道傾角γm變化曲線

圖5　導彈偏角ψm變化曲線

機動方式xmf/mymf/mzmf/mxTf/myTf/mγmf/(°)ψmf/(°)正弦878.3278.30.0878.1278.3-60.0250.0常值924.722.30.0923.922.4-60.0250.1零值1197.8340.80.01196.8340.9-60.0250.1

圖6和圖7為目標機動時,法向過載az和ay的變化曲線。與傳統(tǒng)的PN制導律相比,G-MPSP算法攻擊機動目標時終端時刻法向過載az和ay不會突變;在制導過程中,法向過載az和ay大小變化比較平緩。

圖6　法向過載az變化曲線

圖7　法向過載ay變化曲線

4結論

文中針對帶有末端角度約束的機動目標非線性制導問題,設計了一種通用模型預測靜態(tài)規(guī)劃(G-MPSP)制導算法,推導了算法的制導原理。該算法避免了求解時變協(xié)態(tài)變量,具有在線應用的潛力。設計數(shù)值仿真驗證了該算法的有效性。下一步將考慮不同的初始控制量猜測方法對G-MPSP算法執(zhí)行效率的影響,并驗證G-MPSP算法的實時性。

參考文獻:

[1]BRYSON J A E, HO Y C. Applied optimal control [M]. New York: John Wiley & Sons, 1975.

[2]ROBERTS S M, SHIPMAN J S. Two-point boundary value

problems: Shooting methods [M]. New York: American Elsevier Publishing Company Inc, 1972.

[3]KIRK D E. Optimal control theory: an introduction [M]. NewJersey, USA: Prentice Hal, 1970.

[4]BETTS J T. Practical methods for optimal control using nonlinear programming [M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001: 61-125.

[5]GONG Q, KANG W, ROSS I M. A pseudospectral method for the optimal control of constrained feedback linearizable systems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2006, 51(7): 1115-1129.

[6]GONG Q, FAHROO F, ROSS I M. Spectral algorithm for pseudospectral methods in optimal control [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(3): 460-471.

[7]ROSSITER J A. Model based predictive control: A practical approach[R]. New York: CRC, 2003.

[8]PADHI R, KOTHARI M. Model predictive static programming: A computationally efficient technique for suboptimal control design [J]. International Journal of Innovative Computing, Information and Control, 2009, 5(2): 399-411.

[9]OZA H B, PADHI R. Impact-angle-constrained suboptimal model predictive static programming guidance of air-to-ground missiles [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(1): 153-164.

[10]郭鵬飛, 佘浩平. 一種具有落角約束的非線性次優(yōu)制導律[C]∥第32屆中國控制工程會議, 2013.

[11]MAITY Arnab, OZA Harshal B, Radhakant Padhi. Generalized model predictive static programming and its application to 3D impact angle constrained guidance of air-to-surface missiles[C]∥ 2013 American Control Conference (ACC)， 2013.

[12]IMADO F, KURODA T, TAHK M J. A new missile guidance algorithm against a maneuvering target[C]∥ Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, 1998.

*收稿日期:2015-01-12

基金項目:國家自然科學基金(61203354)資助

作者簡介:李新三(1982-),男,湖北廣水人,講師,博士,研究方向:飛行器制導與控制技術。

中圖分類號:V444

文獻標志碼:A

Nonlinear Guidance Law Research Based on G-MPSP Technique

LI Xinsan1,WANG Lixin1,DING Bangping2,YAN Xunliang1,LIU Guohui2,WANG Mingjian2

(1The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2College of Sergeant Occupation Technology Education,The Second Artillery Engineering University, Shandong Qingzhou 262500, China)

Abstract:Generalized model predictive static programming (G-MPSP) technique was presented in this paper in continuous time framework for rapidly solving a class of nonlinear optimal control problems with hard multiple terminal constraints. A key feature of the technique is backward propagation of a small-dimensional weight matrix dynamics, using which the control history got updated. It leads to a static optimization problem and it is the reason for its high computational efficiency. Different maneuvering ground targets were considered in the simulation studies. Simulation results show that final miss distance is less than 1.0 m, terminal impact angle errors are less than 0.1°. Impact angle constraints are met in addition to achieving near zero miss distance and the variation in the lateral acceleration history is quite smooth throughout the engagement.

Keywords:guidance law; impact angle constraints; model predictive static programming