ARMA模型在淺埋剛性管線變形預測的應用研究

王海濤，宋詞，王凱

(1.大連交通大學 土木與安全工程學院，遼寧 大連 116023；2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

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ARMA模型在淺埋剛性管線變形預測的應用研究

王海濤1，宋詞1，王凱2

(1.大連交通大學 土木與安全工程學院，遼寧 大連 116023；2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

摘要:為了研究隧道開挖對淺埋剛性管線的影響，基于平穩時間序列分析理論，通過對ARMA模型的識別與定階以及參數的估計，建立管線變形監測數據處理與預測的時間序列ARMA模型。利用該模型對大連地鐵1號線千山路站淺埋剛性管線的變形進行預測，并將預測數據與實測數據進行比較，結果表明：兩者擬合程度很高，ARMA模型取得較好的擬合效果和預測精度。說明ARMA模型對管線變形監測數據處理與預測是十分有效和可靠的，可為隧道開挖過程中，施工人員做出決策提供技術參考。

關鍵詞：地鐵隧道；埋地管線；ARMA模型；變形預測

地鐵隧道工程一般處于城市中心地帶，由于地層中各種管線交錯密集、分布復雜，隧道施工必然會對其安全造成不利影響，嚴重威脅地下管線的正常使用和安全。同時，供水、污水管線等可為工程帶來大量地下水，影響工程周圍巖土體的穩定，嚴重時可導致工程事故的發生[1-5]。地下管線是城市的生命線，是城市賴以生存與發展的“神經”和“血管”，工程建設必須保證其安全。施工前應對地下管線進行變形預測，以確定其所受影響程度，并采取必要的保護措施。國內外學者在城市地下工程施工對鄰近埋地管線的影響研究方面做了很多工作，研究方法主要包括理論計算[6-7]、現場測試[8]、模型試驗[9]和數值模擬[10-11]等。關于地鐵隧道施工時地層沉降及管線變形預測研究，主要采用理論計算法和基于實測數據的實測數據分析法[12]。理論計算法主要有以Peck理論為代表而不斷發展、完善、改進的經驗理論法，以及以有限元法為主的數值預測法等。實測數據分析法是指利用數學方法對統計數據進行處理并做出預測。按照假設前提的不同，實測數據分析法又分為回歸分析和時間序列分析兩大類。時間序列法包括了灰色預測、指數平滑法和自回歸移動平均模型等[13-15]。20世紀70年代，美國統計學家G.E.P.BOX和英國統計學家G.M.Jenkins提出自回歸移動平均模型 (Auto-regressivemoving-averagemodel，簡稱ARMA模型，也稱B-J方法)。它是一種精度較高的時序短期預測方法，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間t的一組隨機變量，單個序列值具有不確定性，但整個序列的變化是有規律的，可以以數學模型進行描述。ARMA模型強調“讓數據自己說話”，不需要事先假定數據存在著一定的結構或模式，而是從數據本身來尋找可以較好描述數據的模式，從而可以保證模型與數據擬合較好。該模型在預測過程中既考慮了研究對象在時間序列上的依存性，又考慮了隨機波動的干擾性。與平穩時間序列、周期時間序列模型相比，ARMA模型的建模方法在數學上較為完善，預測的精度較高。本文通過對ARMA模型的識別與定階以及參數的估計，建立管線變形監測數據處理與預測的時間序列ARMA模型。利用該模型對大連地鐵1號線千山路站淺埋剛性管線的變形進行預測，為隧道開挖環境影響評價標準的建立提供理論參考。

1地鐵隧道開挖對淺埋剛性管線的影響

地鐵隧道開挖時地下管線與土體的相互作用主要表現為：管線對周圍土體起約束作用，約束土體的變形，同時，土體對管線有反作用。在地鐵隧道開挖之后，初期襯砌達到一定強度之前，圍巖應力會發生調整進而產生變形甚至破壞。當圍巖變形傳遞到管線處時，管線產生附加應力和彎矩，進而產生變形。由于管線對土體的錨固作用，土體變形得到一定的約束。管線與土體的相對剛度以及管線周圍土體的變形決定了管線變形的大小。當管線軸線平行地鐵開挖方向時，周圍土體對管線起軸向拉壓作用；當管線軸線垂直地鐵開挖方向時，周圍土體會增大管線接頭轉角和彎曲應力[16-17]。

1.1剛性管線

隧道開挖產生的地層變形會使剛性管線上產生彎矩，圖1所示為采用焊接、法蘭等剛性接口，材質較為堅硬的管線所受彎矩及與隧道的位置的關系。管線的彎矩及其抵抗地層變形的能力受接頭位置、類型和剛度等的影響。

(a)管線與隧道垂直；(b) 管線與隧道平行圖1　隧道開挖引起相鄰管線附加彎矩特性圖Fig.1 Additional moment characteristics graph of adjacent pipeline caused by tunnel excavation

1.2柔性管線

由若干節管道通過橡膠圈連接而成的承插接口管道(如球墨鑄鐵管、鋼筋混凝土管等)，管材本身剛度較大且基本不產生變形，管線豎向變形主要由相鄰接口處的相對轉動來實現。當管線兩端通過工作井、支墩等設施約束管線位移時，其穩定后中間段均勻沉降，豎向位移等于最大沉降量；其余不均勻沉降段呈折線狀，總變形量逐漸增大。試驗表明，對于敷設于同種土層中的管線而言，管線不均勻沉降段的相鄰兩節管道之間均存在一個大小相等的相對轉角。通訊電纜等管線材質較為柔軟時，則可隨地層出現整體變形，變形及變化規律與地層較為一致。

剛性管線和柔性管線的控制標準并不相同，管線的埋深也影響著管線變形的直接測量，根據經驗公式，可以將地表沉降值作為管線破壞的控制標準。淺埋剛性管線的控制標準為豎向沉降，由于埋深淺，沉降值可以直接測量。本文以淺埋剛性管線為例，介紹管線累計沉降值的預測方法，其他情形的預測方法及思路與此相同。

2ARMA模型

(1)

若φ0=0，該模型稱為中心化ARMA(p,q)模型。缺省默認條件，中心化ARMA(p,q)模型可簡寫為：

xt=φ0+φ1xt-1+…+φpxt-p-θ1εt-1-…-θqεt-q

(2)

默認條件與AR模型、MA模型相同。引進延遲算子，ARMA(p,q)模型簡寫為：

Φ(B)xt=Θ(B)εt

(3)

式中：

Φ(B)=1-φ1B-…-φpBp，為p階自回歸系數多項式。

Θ(B)=1-θ1B-…-θqBq，為q階移動平均系數多項式。

顯然：當q=0時，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型；當p=0時，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型。所以，AR(p)模型和MA(q)模型實際上是ARMA(p,q)模型的特例，它們統稱為ARMA模型。而ARMA(p,q)模型的統計性質也正是AR(p)模型和MA(q)模型統計性質的有機組合。

3基于ARMA模型的淺埋剛性管線變形預測

3.1工程概況及數據采集

大連地鐵1號線工程千山路站地貌為冰磧丘陵，場地南高北低，地面高程34.49～38.38m。擬建車站附近建筑物密集，管線、管道眾多。本區間范圍內上覆第四系人工堆積層(Q4ml)、第四系中更新統冰磧層(Q2gl)、下伏震旦系五行山群甘井子組白云質灰巖(Zwhg)。本區間范圍未發現明顯的斷裂構造，局部受區域構造影響，巖石節理裂隙較發育。場地構造穩定性總體較好。場地內無地表河流經過。千山路站J5527號鑄鐵管線，管徑100mm，埋深0.8m。監測點埋設方法為：成孔深度嚴格控制在管線頂上方1.0m處，成孔直徑φ200mm，然后進行人工掏土。當見管線頂部時，下放直徑為φ40mm的鋼管，然后在管線頂與鋼管接觸的部位灌注速凝混凝土，將管線頂部與鋼管固結成一體，最后將高出路面的鋼管截去。鉆孔孔壁和鋼管之間用細中砂回填。在孔口四周用磚砌成保護井，頂部為井蓋和保護井圈。人工挖孔埋設沉降管回填材料為級配砂石，回填要分層振搗、分層回填、連續作業。必要時用竹竿、鐵管、鋼筋釬人工輔助插搗，以補充機械振搗不足。回填距離地面lm時，開始澆注混凝土至路面，為防止路面塌陷，雨水滲漏，澆注要密實，并在地面鋼管處做保護井。其監測點的布置示意圖如圖2所示。現場測點實際埋設情況如圖3所示。

圖2　測點埋設示意圖Fig.2 Sketch of measuring points

圖3　現場測點埋設圖Fig.3 Layout of monitoring point

管線累計沉降曲線如圖4所示，管線日沉降量如圖5所示。可以看出，地鐵開挖導致管線產生沉降，開挖掌子面距離管線較近時管線日沉降量較大，日沉降最大值達0.46mm/d。

圖4　管線累計沉降量隨時間分布圖Fig.4 Cumulative settlement of pipeline with time distribution

圖5　管線日沉降量隨時間分布圖Fig.5 Day settlement of pipeline with time distribution

3.2數據平穩性檢驗

只有平穩序列才能直接建立ARMA模型。設累計沉降值序列為x，首先應檢驗x是否為平穩序列。可以通過序列的自相關系數檢驗序列的平穩性。自相關—偏自相關分析圖如圖6～7所示。

圖6　x序列自相關—偏自相關分析圖Fig.6 Analysis chart of x series autocorrelation-partial autocorrelation

圖7　D(x)序列自相關—偏自相關分析圖Fig.7 Analysis chart of D(x) series autocorrelation--partial autocorrelation

由圖6可見，x序列的自相關系數并沒有很快地落入隨機區間，即不趨近于0。故x為非平穩序列。很多非平穩序列可以通過適當處理(比如，逐期差分)轉化為平穩序列。對x序列進行二階逐期差分，設新序列為x2，檢驗x2的平穩性。x2的自(偏)相關系數如圖7所示，可見滯后期大于1時，自相關系數便落入隨機區間，因此可以直觀地判斷x2為平穩序列。

為了更進一步判斷x2的平穩性，比較x2樣本均值與標準誤差的大小關系，當樣本均值落入正負2倍標準誤差區間時，認為序列滿足0均值假設，即序列滿足平穩性。計算得到，x2的均值為-0.000 384，不顯著為0的自相關系數取第1項，算得x2的標準誤差為0.002 732。因此可以認為x2序列為平穩序列，可以建立ARMA模型。

3.3模型的識別與建立

觀察圖7，從自相關分析圖可見，當滯后期大于1時，序列的樣本自相關系數趨于0，從偏自相關分析，滯后3期以后的偏自相關系數明顯不為0，并且序列的自相關函數和偏自相關函數都具有截尾性，因此可以建立ARMA(3,1)模型。

當p=3，q=1時，模型參數估計與相關檢驗結果如圖8所示。從圖8中可以看出：各滯后多項式的倒數根都在單位圓內，說明過程既是平穩的，也是可逆的。

因此，x2序列的表達式可以寫成：

圖8　模型參數估計與相關檢驗結果Fig.8 Model parameters estimation and related inspection result

3.4模型檢驗

常通過檢驗模型殘差的隨機性來評價模型的優劣。對x2序列建立ARMA(3,1)模型，對模型殘差及殘差平方進行自相關檢驗，結果如圖9～10所示。可以看出，殘差及殘差平方的自相關系數很快地落入置信區間，從而可以直觀地判斷出殘差序列是純隨機的。另外，用Jarque-Bera法檢驗殘差的正態性，結果如圖11所示，服從正態分布的概率為0.903 819。綜上所述，模型的殘差序列具有隨機性，模型通過檢驗。

3.5管線變形預測

利用x2序列的ARMA(3,1)模型靜態預測x序列，預測結果如表1所示。可以看出，兩者擬合程度很高，前期數據預測誤差相對較大，最大誤差精度為8.0%，后期數據的預測精度相對較高，除個別數據有一定誤差外，預測數據與原始數據基本重合。

圖9　殘差自相關—偏自相關分析圖Fig.9 Analysis chart of residual error autocorrelation-partial autocorrelation

圖10　殘差平方自相關—偏自相關分析圖Fig.10 Analysis chart of residual square autocorrelation--partial autocorrelation

圖11　殘差正態性檢驗Fig.11 Residual normality tests

利用ARMA模型，動態預測未來1個星期管線沉降累計值的變化情況，如表2所示。從表2可知，管線累計沉降量在4.47～4.50mm范圍變化，變化幅度較小，即管線沉降已趨于穩定，可為施工人員做出決策提供技術參考。

表1　管線累計沉降預測結果及誤差精度

表2　未來1個星期的預測值

4結論

1)基于ARMA模型對大連地鐵1號線千山路站淺埋剛性管線的變形進行預測。通過對管線的累計沉降序列進行二階差分得到序列x2，針對x2序列建立ARMA(3, 1)模型，并利用該模型預測了管線累計沉降，預測數據誤差較小，除個別數據有一定誤差外，預測數據與實測數據基本重合，表明ARMA模型可以用來預測管線累計沉降。

2)ARMA模型預測方法概念簡單，結果反饋迅速，為隧道開挖環境影響評價標準的建立提供理論參考。

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* 收稿日期：2015-08-25

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51208073)；遼寧省博士啟動基金資助項目(20121061)

通訊作者：王海濤(1982-)，男，湖北隨州人，副教授，博士，從事巖土工程與地下結構工程方面的研究;E-mail：wht@djtu.edu.cn

中圖分類號：TU279.7

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)06-1122-07

Research on ARMA model and its application to prediction ofshallow buried rigid pipeline deformation

WANG Haitao1，SONG Ci1，WANG Kai2

(1.SchoolofCivilandSafetyEngineering,DalianJiaotongUniversity,Dalian116028,China;2.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

Abstract:In oder to study the effect of tunnel excavation on buried pipeline, the time series ARMA model for processing and forecasting the deformation data of pipeline. The stationary time series analysis theory, the estimation of parameters and the identification of the order of ARMA model is used in the process above. Using the method of time series to model and analysing the deformation monitoring data of shallow buried rigid pipeline in Qianshan Road Station of Dalian metro line one, the prediction are in good agreement with actual measurements; It is proved that the method is basically feasible.

Key words:subway tunnel; buried pipeline; ARMA model; deformation prediction