元件相依的串、并聯系統的剩余壽命及休止時間

方　睿，沈國安

(1.汕頭大學理學院，廣東汕頭515063；2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

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元件相依的串、并聯系統的剩余壽命及休止時間

方睿1*，沈國安2

(1.汕頭大學理學院，廣東汕頭515063；2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

摘要：應用阿基米德copula刻畫隨機變量間的相依性結構,對于由兩個元件組成的并聯系統,比較了由舊元件組成的新系統的壽命與舊系統的剩余壽命的隨機大小,得到了似然比序存在的充分條件.對于由兩個元件組成的并(串)聯系統,比較了新元件組成的系統的休止時間與在給定兩相似元件已損壞條件下系統休止時間的最大(最小)值之間的隨機大小,得到了失效率序、似然比序存在的充分條件，也給出幾個數值例子進一步說明得到的主要結論.

關鍵詞：休止時間;剩余壽命;似然比序;失效率序;阿基米德copula

串聯和并聯系統作為可靠性理論中的兩個最基本也最重要的系統,在過去的幾十年間受到相當的關注并已得到深入的研究.通常來說,串聯系統正常運行當且僅當該系統的每個元件都正常工作,而并聯系統正常運行當且僅當至少有一個元件正常運行.協同系統是一種更一般的系統,包含串聯和并聯系統.有關協同系統可參見文獻[1-2].

在可靠性理論中,比較舊協同系統的壽命與由舊元件組成的協同系統的剩余壽命(休止時間、系統可靠性等)的隨機大小具有理論和實際指導意義,是一個重要的問題.具體地,對于任意時刻t≥0,舊協同系統在該時刻的剩余壽命和休止時間可以分別表示為[T(X)-t|T(X)>t]和[t-T(X)|T(X)≤t];由舊元件組成的協同系統在該時刻的剩余壽命可以表示為[(X1-t,…,Xn-t)|X1>t,…,Xn>t];而在給定元件均已失效的條件下,元件的休止時間向量可以表示為[(t-X1,…,t-Xn)|X1≤t,…,Xn≤t].在獨立假定下的研究可參閱文獻[3-6].事實上,在許多實際場景中獨立性的假設常常不能滿足,如處于同一工作環境中的各元件壽命間通常會存在一定的相依性.有關相依元件系統的研究結果不多,可參閱文獻[7-10].在比較一般的相依性結構下,Gupta等[10]研究了元件壽命相依且同分布的兩個協同系統剩余壽命及休止時間的隨機大小.然而,元件同分布的假設實際中很少滿足,同時其所給出的充要條件過于復雜,導致實際應用時即使在系統結構很簡單的情況下也很難驗證.為了部分克服這一缺陷,在系統具有阿基米德copula相依結構的場景中,考慮雙元件的串、并聯系統,比較了兩個壽命同分布的舊元件構成的并聯系統的剩余壽命與由相似新元件組成的并聯系統的剩余壽命之間的隨機大小;對于元件壽命不同分布的情景,比較了在給定元件都失效的條件下,元件休止時間的最大(最小)值與由相似新元件組成的并(串)聯系統的休止時間之間的隨機大小.這里“相似”表示元件壽命的聯合分布函數相同.

1基本概念

首先回顧幾個重要的概念,包括失效率序、似然比序、copula和阿基米德copula的定義.

2) 如果g(x)/f(x)關于x單調增加,則稱X以似然比序小于Y(記為X≤lrY).

有關更多其他隨機序可參閱文獻[11-12].

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2)),

則稱C為X的copula.copula刻畫了隨機變量間的相依性結構,在過去的幾十年里受到廣泛的關注.在眾多copula族類中,阿基米德copula族具有良好的數學性質,在理論分析與統計擬合方面均具有相當的優勢,而且能夠刻畫很大一部分相依性結構,因此近年來在金融經濟、精算保險和統計分析等領域有廣泛的應用.

表1　一些常用的阿基米德copula

Tab.1　Some commonly-used Archimedean copulas

名稱生成元ψ參數copulaIndependencee-t無C1(u1,u2)=u1u2Clayton(θt+1)-1/θθ>-1C2(u1,u2)=(max{u-θ1+u-θ2-1,0})-1/θAMH1-θet-θθ∈[-1,1)C4(u1,u2)=u1u21-θ(1-u2)(1-u1)

Cψ(u1,u2)=ψ(ψ-1(u1)+ψ-1(u2)),

對任意的(u1,u2)∈[0,1]2,

(1)

阿基米德copula族包含許多copula子族,表1列出了3個常用的阿基米德copula：Independence,Clayton,AMH.更多有關阿基米德copula的研究可參閱文獻[13-14].

為方便起見,文中約定如下:隨機變量均為非負絕對連續隨機變量,遞增(減)性都是非嚴格意義下的單調性.

2主要結論

考慮壽命為X和Y的兩個元件,在時刻t>0,這兩個元件組成的并聯系統與串聯系統的剩余壽命分別表示為

(max{X,Y})t=

和

(min{X,Y})t=

對應的休止時間分別為

(max{X,Y})t=

以及

(min{X,Y})t=

由已經工作t時間的舊元件組成的并聯與串聯系統的壽命分別為

類似的,在給定元件在t時刻已經損壞的條件下,元件休止時間的最大、最小值分別為

容易看出無論X與Y具有何種相依性結構,串聯系統的剩余壽命與舊元件組成的串聯系統的壽命隨機相等.此外,對任意的x≥0,

P((max{X,Y})t≤x)=

(2)

2.1元件壽命同分布

考慮壽命同分布的元件組成的串、并聯系統.假定隨機向量(X,Y)的阿基米德copula為Cψ,邊際分布函數為F以及邊際密度函數為f，則(X,Y)的聯合分布函數可表示為

P(X≤x,Y≤y)=ψ(φ(F(x))+φ(F(y))).

定理1給出了并聯系統的剩余壽命以似然比序小于舊元件組成的并聯系統的壽命的一個充分條件.

定理1如果ψ′是單調遞增函數且ln(-ψ′)為凸函數,那么對任意的t≥0,

Y>t].

f1(x)=

與

于是

令

只需證明M1(x)關于x遞減.

由ψ的單調性可知φ(F(t+x))關于x單調遞減.對任意的x1≤x2,由ln(-ψ′)的凸性和ψ′的單調遞增性質可以得到

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x2)))).

因此

M1(x)=exp{log(-ψ′(φ(F(t+x))+

φ(F(t))))-log(-ψ′(2φ(F(t+x))))}

關于x單調遞減.于是f2(x)/f1(x)關于x單調遞增,結論成立.

容易驗證,表1中列出的Independence copula、Clayton copula(當參數θ>0)、AMH copula(當參數θ∈[0,1))都滿足定理1中關于copula的條件.同時需要指出的是,當X,Y相互獨立時,定理1結論中的等號不一定成立.當t=0時,不等號左右兩邊退化為同一個隨機變量,此時等號成立.

定理2比較了在給定元件均已失效的條件下,元件休止時間的最小(最大)值與由相似元件構成的串(并)聯系統的休止時間的隨機大小,得到了似然比序存在的一個充分條件.

定理2如果ψ′是單調遞增函數且ln(-ψ′)是凹函數,則對任意的t≥0,

X≤t,Y≤t],

及

X≤t,Y≤t].

(3)

與

f4(x)=

于是

M2(x)-1.

由ln(-ψ′)的凹性和ψ′的單調遞增性質,采用定理1證明中的方法,可以證明M2(x)關于x遞增,即f4(x)/f3(x)關于x的遞增.

(ii) 對x≥0,(min{X,Y})t的密度函數為

令

注意到ln(-ψ′)為凹函數且ψ′為單調遞增函數,采用定理1證明中的類似方法,可以證明M3(x)關于x單調遞增,故結論成立.

不難驗證,表1中的Independence copula、Clayton copula(當參數θ∈(-1,0))、AMH copula(當參數θ∈[-1,0))滿足定理2中對copula結構的條件.此外,與定理1 類似,當X,Y相互獨立時,定理2結論中的等號不一定成立.對于t→∞的情形,不等號左右兩邊退化為同一個隨機變量,此時等號成立.在本小節的最后給出一個數值例子,表明定理2的結論在條件不滿足的情形下可能依然成立.

圖1　密度函數比值曲線Fig.1Curves of the ratio of density functions

2.2元件壽命不同分布

前文已經研究了元件壽命同分布的情形,但在實際應用中,系統元件壽命具有不同分布的情形更為常見.本小節將考慮元件壽命不同分布的場景,比較了在給定元件均已失效的條件下,元件休止時間的最大(最小)值與相似元件組成的并(串)聯系統休止時間的隨機大小,得到了失效率序存在的充分條件.具體的,假設兩個元件壽命X和Y的分布函數分別為F1與F2,(X,Y)具有阿基米德copula(記為Cψ),則(X,Y)的聯合分布函數可表示為

P(X≤x,Y≤y)=

ψ(φ(F1(x))+φ(F2(y))).

定理3如果lnψ為凹函數,則對任意的t≥0,有

X≤t,Y≤t],

及

Y≤t].

(ψ(φ(F1(t-x))+φ(F2(t)))+ψ(φ(F1(t))+

φ(F2(t-x))))·(ψ(φ(F1(t-x))+

φ(F2(t-x))))-1-1=M4(x)+M5(x)-1,

(4)

其中

注意到ψ為對數凹函數,采用定理1證明中的思路,可以證明M4(x)和M5(x)都關于x單調遞增.故式(4)為關于x的增函數.

(ii) 采用(i)中的證明思路即可證明

經過簡單計算可以發現,表1中的Independence copula、Clayton copula(當參數θ∈(-1,0))、AMH copula(當參數θ∈[-1,0))都滿足定理3中對copula結構的條件要求.下面例子指出定理3中關于失效率序的結論在條件不滿足的某些場景中依然成立,即定理3的條件不是必要的.

例2假定X和Y分別服從參數λ為2和3的指數分布,均具有生成元為ψ(z)=(zθ+1)-1/θ的Clayton copula(見表1).顯然當θ∈[0,∞)時,ψ(z)是對數凸函數,因而不滿足定理3中的條件.令θ=2和t=2.容易發現在t=2休止時間的支撐集為區間[0,2].

圖2　生存函數比值曲線Fig.2Curves of the ratio of survival functions

從圖2可以看出,兩條生存函數的曲線在x∈[0,2]上都是單調遞增的.所以定理3的結論仍然成立.

3結論

注意到文獻[15]指出,對于一個二維阿基米德copulaCψ,ln(-ψ′)的凸性等價于Cψ是CI的(一個n維隨機向量X=(X1,…,Xn)是條件遞增，記為CI),而CI是一種正相依性結構的刻畫.由ln(-ψ′)為凹函數可知lnψ為凹函數,類似于文獻[16-17]中的方法,容易發現lnψ的凹性可推出Cψ的LTI性質[2](一個二元隨機向量(X,Y)具有左尾遞增性，記為LTI),而LTI是一種負相依性的刻畫.

本研究的多數結果都是在元件壽命具有負相依性場景下得到的,文獻[18]給出了一些實際應用中具有負相依結構的場景.比如：1) 當一個電閘失效而未能啟動時,其控制的下游電路即被切斷,電路中的電子設備所承受的負載隨即消失,它們失效的概率就會降低;2) 當一個系統因某個特定元件進行維修而停機,施加在其他元件上的負荷通常也會被去除,從而這些元件失效的可能性在系統維修期間也會相應降低.除了負相依性外,正相依性在可靠性領域實際應用中也頗為常見.比如,當幾個元件共同承擔一定工作負荷時,其中一個元件的失效會加重剩余元件的工作負荷,從而導致這些元件失效的可能性增加.更多有關正相依性在實際場景中的例子可參考文獻[18].關于正相依性結構場景的研究結論不多,而從數值例子中可以發現,在負相依場景中所得到隨機比較結果很可能在正相依場景中依然成立,進一步的研究具有重要的理論和實際意義.

致謝對李效虎教授在論文撰寫過程中提供的寶貴修改意見表示衷心的感謝.

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doi：10.6043/j.issn.0438-0479.201412035

收稿日期：2015-05-26錄用日期：2016-06-06

基金項目：國家自然科學基金(11171278)；汕頭大學科研啟動基金(NTF15002)；汕頭大學青年科研基金(YR15002)

*通信作者：xmufr1987@hotmail.com

中圖分類號:O 211

文獻標志碼：A

文章編號：0438-0479(2016)04-0558-06

Stochastic Comparisons on Inactivity Times and Residual Lifetimes of Series and Parallel Systems with Dependent Components

FANG Rui1*，SHEN Guoan2

(1.College of Science,Shantou University,Shantou 515063,China;2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In this paper,we employ the Archimedean copula to characterize the dependence structure between random variables.For two-unit parallel systems,we compare the lifetime of a parallel system composed of two used units with the residual lifetime of the parallel system composed of a similar pair of new units,and obtain a sufficient condition for the existence of likelihood ratio order.as for two-unit series (parallel) systems,we compare the inactivity time of a series (parallel) system with two new unitsand the minimum (maximum) of a similar pair of units′ inactivity time given that both units have failed,and obtain several sufficient conditions for the existence of hazard rate order and likelihood ratio order.Several numerical examples are also presented to illustrate the main results.

Key words:inactivity time;residual lifetime;likelihood ratio order;hazard rate order;Archimedean copula

引文格式：方睿，沈國安.元件相依的串、并聯系統的剩余壽命及休止時間[J].廈門大學學報(自然科學版)，2016,55(4)：558-563.

Citation：FANG R，SHEN G A．Stochastic comparisons on inactivity times and residual lifetimes of series and parallel systems with dependent components[J].Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(4)：558-563．(in Chinese)