基于Kachanov損傷理論的巖石蠕變模型研究

吳祝林　王　偉　朱鵬輝　陳　曦

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京　210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所, 南京　210098)

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基于Kachanov損傷理論的巖石蠕變模型研究

吳祝林1，2王偉1，2朱鵬輝1，2陳曦1，2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 南京210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所, 南京210098)

摘要：一般而言，巖石的蠕變全過程可以分為幾個階段，即初始的衰減蠕變階段，到中間的穩定蠕變階段，再到最后的加速蠕變階段，直至巖樣破壞．以往的大多數基于元件組合的模型只能有效的模擬前兩個階段，不能很好的模擬加速蠕變階段．本文在Burgers元件模型的理論基礎上，引進損傷體理論模擬加速蠕變階段，與Burgers元件模型串聯組合構建出能夠有效模擬巖石全過程蠕變特征的組合模型，推導出蠕變本構方程．最后，將理論推導的蠕變本構方程用試驗曲線擬合確定模型參數，并將理論曲線與試驗曲線對比分析，表明所構建蠕變模型的合理性與可行性．

關鍵詞：加速蠕變；Burgers元件；損傷體；本構方程

在巖石的全過程蠕變特征中，加速蠕變是比較難模擬的，在目前的理論研究中主要有兩類方法模擬加速蠕變特征：1)構建出能夠模擬加速蠕變特征的理想非線性材料元件[1-2]，再與基本元件組合即可模擬全程蠕變，如鄧榮貴[2]等將非牛頓流體粘滯阻力原件與傳統模型組合，模擬某大壩斷層蠕變，結果良好；宋勇軍[3]等將FC軟體元件與彈簧元件串聯結合構件構建模型，能有效描述巖石蠕變特性，且模型元件和參數較少；趙延林[4]將Hook體、黏彈塑性損傷體與Bingham串聯串聯組合成流變模型，有效的描述了不同應力狀態下的蠕變規律；張英[5]等以粘滯系數為不定常量，構建能描述加速流變階段的復合模型，以恒應變和恒應力分析巖石非線性蠕變和松弛特性．2)引進損傷理論，用損傷因子修正巖石的蠕變參數，并將損傷元件與傳統的基本元件組合建立能夠模擬全過程蠕變特征的蠕變方程[6-7]．楊圣齊[8]通過Kachanov提出損傷率，推導出衰減、穩態和加速蠕變兩階段中的損傷演化方程；朱昌星[6]等以錦屏二級水電站中的板巖為例，考慮時效損傷和加速門檻值的特點，建立蠕變損傷方程．張強勇[9]等考慮巖體流變參數的弱化效應，建立了變參數蠕變損傷模型，該模型很好反應流變參數隨時間的劣化過程．基于損傷力學理論，有兩類方法定義損傷因子：第一種是能量損傷中按彈性模量變化定義的損傷因子，第二種是幾何損傷中從結構有效承載面積出發定義的的損傷因子即D=1-A2/A(A=A1+A2)，(A1表示材料損傷面積，A2表示材料未損傷面積，A表示材料總的橫截面積)．本文采用的是第二種基于有效承載面積定義的損傷因子，從而引進由彈塑性損傷元件[10]演化而來的塑性損傷體．進而與Burgers元件模型組合，構建出能描述損傷的蠕變模型．

1模型的建立

引進彈塑性損傷體元件[10]，如圖1所示．

圖1　彈塑性損傷體元件

其中A1為在應力狀態下的損傷面積，A2為未損傷部分面積，則損傷體總的橫截面積為：

(1)

(2)

由于本文引進的損傷因子為D=1-A2/A，再聯立式(1)、(2)，可得：

(3)

假設彈塑性元件未損傷部分應力應變關系滿足虎克定律，則：

(4)

(5)

聯立式(3)、(4)、(5)可得：

(6)

此即為巖石損傷的彈塑性體損傷本構模型．基于Kachanov[11]的研究，假設巖石的損傷是由有效承載面積的減小而導致，即巖石有效承載面積的弱化作用，從而引進基于承載面積損傷的損傷因子D，如下式：

(7)

式中，tF巖石的蠕變破壞時間，V為巖石材料參數，t為蠕變時間．

由實驗研究表明，損傷并不是在任何情況下都會發生，只有當外在應力大于巖石的屈服應力σs時，才會發生損傷，因此，在考慮外界應力大小的基礎上可建立巖石蠕變損傷的損傷因子：

(8)

式中α=1/(V+1)．

將式(8)代入式(6)，得到彈塑性損傷體的本構模型為：

(9)

基于此，式(9)即為推導出的彈塑性損傷體的本構模型，由式(9)可知，當損傷體所受應力小于屈服應力時，只產生彈性應變，并未產生損傷，由于需要研究的是當所受應力超過屈服應力而產生損傷的部分，也即為反應巖石的加速蠕變階段過程，所以由彈塑性損傷體不考慮彈性部分，只研究其塑性部分，得到下式塑性損傷體：

(10)

下面再來導出反應巖石的線性蠕變階段過程，本文引進Burgers元件模型反應線性階段過程，Burgers元件組合模型總應變為：

(11)

瞬時彈性應變為：

(12)

開爾文體應變：

(13)

馬克斯韋爾體粘性應變速率為：

(14)

式中，η1為馬克斯韋爾體的粘滯系數．

由拉氏變換得：

(15)

(16)

此即為Burgers模型的蠕變方程，式中σ0為巖石應力，E1、E2為黏彈性模量，η1、η2為黏滯系數，t為蠕變時間．由式(16)可知，Burgers模型的蠕變量由3部分組成：

到這里，用以描述衰減蠕變與穩定蠕變的Burgers模型已建立，用以描述加速蠕變的塑性損傷蠕變模型也已建立，將Burgers模型與塑性損傷體模型串聯組合，模擬全過程蠕變，因此：巖石在外在應力作用下引起的總應變ε由塑性損傷體應變εep和Burgers元件應變εve組成，可表示為：

(17)

組合的圖形如圖2所示．

圖2　巖石蠕變模型

將式(10)和式(16)代入式(17)可得：

(18)

至此，模擬巖石全過程蠕變特性的蠕變方程已建立．

2模型參數的確定

巖石蠕變模型中包含E0、E1、E2、η1、η2、α、tF7個參數，其中tF為巖石的蠕變壽命，即應變曲線趨向無窮大時所對應的時間，可以根據應變試驗曲線很容易的得到參數tF．其余參數的確定方法根據試驗曲線數據擬合得出，擬合出參數的方法簡單，可行．

本文是對砂巖進行實驗，引進王偉等人的砂巖實驗數據[12]，砂巖蠕變試驗曲線如圖3所示．

圖3　砂巖蠕變試驗曲線

由圖3可知，砂巖的蠕變經歷了初始蠕變階段、穩定蠕變階段和加速蠕變階段．在100 MPa的應力作用下，砂巖還出現了瞬時彈性變形，在后續增加軸向應力時軸向應變發展緩慢．當應力加到150 MPa時，出現了加速蠕變破壞現象．

在本文建立的蠕變模型基礎上，引進王偉的砂巖實驗數據[12]，對各階段應力水平下的模型參數進行擬合，求得各級應力水平下的模型參數，巖石蠕變參數見表1．

表1　砂巖蠕變模型參數

將模型理論曲線與試驗曲線對比分析，如圖4所示，可得到該模型不僅能模擬初始蠕變階段與穩定蠕變階段，還能有效的模擬加速蠕變階段，驗證了本文所建立模型的可行性與合理性．

圖4　砂巖全過程蠕變理論曲線與試驗曲線

3結論

本文通過對巖石的蠕變過程進行分析，對其線性階段通過常用的元件模型來模擬，而其非線性階段則引進損傷理論，建立起用來描述線性階段與非線性階段全過程的蠕變模型，最后通過試驗驗證該模型的合理性．得到了以下結論：

1)巖石在受外力長期作用下，主要經歷了初始蠕變、穩定蠕變和加速蠕變階段，其初始蠕變和等速蠕變用Burgers元件模型來描述，加速蠕變階段通過引進塑性損傷體與Burgers元件串聯來描述，即能有效的建立包含加速蠕變階段在內的巖石全過程蠕變模型．

2)由砂巖的蠕變試驗數據，擬合出各級應力作用下蠕變模型參數，得到各級應力水平下的蠕變方程，并將模型方程理論曲線與試驗曲線對比分析，證明本文建立的模型的可行性與有效性．

參考文獻：

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[責任編輯周文凱]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.008

收稿日期：2015-12-30

基金項目：973項目(2011CB013504)；留學回國人員科研啟動基金(51103312)

通信作者：吳祝林(1990-)，男，碩士，從事巖石力學與工程方面研究．E-mail：1206725293@qq.com

中圖分類號：TU452

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)03-0032-04

Research of Creep Model of Rock Based on Kachanov Damage Theory

Wu Zhulin1，2Wan Wei1，2Zhu Penghui1，2Chen Xi1，2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechnical & Emankment Engineering, Hohai Univ., Nanjin 210098, China;2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjin 210098, China)

AbstractIn general, the creep process of rock can be divided into several stages, namely the initial attenuation creep stage, the middle stable creep stage, to the last stage of accelerating creep, until the rock damage. In the past, most element combination model can effectively simulate the first two stages, but can't well simulate acceleration creep stage. Based on the theory of Burgers component model, this paper introduces the damage body theory to simulate accelerating creep stage; it can effectively simulate the whole process of rock creep characteristics with series combination of Burgers components model, and deducing the creep constitutive equation. Finally, determining model parameters of the creep constitutive equation derived from the theory with the test curve, by comparative analysis of theoretical curve with test curve, it is shown that the established creep model is reasonable and feasible.

Keywordsaccelerating creep；Burgers element；damage body；constitutive equation