關于交變電流有效值的幾個問題

周正陽

高中物理教材人教版選修3-2第五章介紹了交變電流.對于高中學生來講對恒定電流比較熟悉，因為初中里涉及到的基本都是恒定電流的題目，對交變電流了解的并不多，特別是交變電流的有效值問題，筆者想就此問題做一陳述.

交變電流在生活和生產中有廣泛的應用，電流、電壓隨時間做周期性變化的的電流叫做交變電流，方向不隨時間變化的電流稱為直流電，與直流電相比，交變電流強調更多的是電流方向隨時間做周期性變化，由于交變電流比恒定電流要復雜得多，所以描述交變電流的物理量有周期、頻率、瞬時值、峰值、有效值、平均值等.其中一個比較重要的物理量是有效值，新教材引入有效值的概念的思路與過去的教科書基本相同，而引入的方式略有不同.新教材通過“思考與討論”的欄目，設計一個讓學生自主研究交變電流通過電阻時產生熱量的問題情景，為新概念的引入做了很好的鋪墊.由于交變電流的大小和方向隨時間變化，它產生的效果也隨時間變化，但在處理實際問題中，常常只要知道它的平均效果就可以了，例如：流過電燈的交變電流不斷變化，為什么看不出燈光會一亮一暗？這是由于電流變化太快，而人眼有視覺暫留的緣故.當電流變小時，燈絲還來不及變冷，電流又變大了，所以燈絲總是熱的.也就是說，燈絲的亮度是電功率隨時間變化的平均效果.

1 交變電流的有效值

我們可以從交變電流的熱效應考慮，某個交變電流和多大的恒定電流相當，由此引入有效值的概念.我們可以讓某個交變電流與恒定電流分別通過大小相同的電阻，如果在一個周期內交變電流產生的熱效應與相等時間內恒定電流產生的熱效應相同，就可以用恒定電流的電壓和電流來表示交變電流的電壓和電流的平均效果.在交變電流中有實際意義的往往不是瞬時功率，而是它在一個周期內的平均效果，則在形式上寫成與直流電路功率相同的公式：P=UI，I和U就是交變電流的有效值，有效值的實際意義也正是基于有效值與平均功率的如此密切的關系.特別值得注意的是，以前的教科書只是提到在相等時間內兩者產生的熱量相等.新的教科書第一次明確提出了用一個周期的時間來定義有效值，這樣使有效值的概念更加準確.下面用兩個具體例子來說明如何求解交變電流的有效值.

例1 如例1圖所示為一交變電流的i-t圖象，該交變電流的有效值為多少？

規范思維 （1）計算有效值一般取交變電流的一個周期；（2）不要盲目套用公式，2倍關系只適用于正弦式交流電.

例2 兩個完全相同的電熱器，分別通過如圖a和b所示的電流最大值相等的方波交變電流和正弦交變電流，則這兩個電熱器的電功率之比Pa∶Pb等于多少？

解析 有效值與最大值關系I=I2是僅對正弦交變電流適用，即對于b圖才有Ib=I2，Pb=I2bR=12I2mR，對于a圖的方波交變電流來說，由于每時刻通過電阻R的電流都是Im，只是方向做周期性變化，而對于電流通過電阻發熱來說，它與電流方向是沒有關系的.因此從熱效應來說，圖（a）交變電流與電流是Im的恒定電流是等效的，也可以說a圖交變電流有效值就是Im.因此Ia=Im，Pa=I2aR=I2mR.所以

Pa∶Pb =1∶12=2∶1.

2 正弦式交變電流有效值與峰值的關系

在例題2中提到了交變電流的最大值，書本上稱之為“峰值”，教科書上是如此描述的：交變電流的峰值Im或Um是它能達到的最大數值，可以用來表示電流的強弱或電壓的高低.例如，把電容器接在交變電路中，就需要知道電壓的峰值.電容器所能承受的電壓要高于交變電流的峰值，否則電容器就會被擊穿.從這句話中我們能知道電容器的擊穿電壓是指交變電流的峰值.我們日常生活中遇到的交變電流有：正弦式交變電流、鋸齒形交變電流、矩形交變電流等，其中最常見的正弦式交變電流，書本上只有這么一句話：理論計算證明，正弦式交變電流的有效值與峰值是2倍關系，沒有具體的描述，下面想通過三種方法來說明正弦式交變電流的有效值與峰值是2倍關系.

2.1 利用微積分的方法

如果交變電流經過一個阻值不變的電阻R，在一個周期內消耗的電能和一恒定電流經過同一電阻消耗的電能相等，則此恒定電流I的大小就是交變電流i的有效值.它們的關系是

也就是說，交變電流的有效值等于這個電流在一個周期內的平方根值，這個關系適合于一個周期內平均值不為零的周期性電流.同理交變電壓有效值

交變電流在電阻R上瞬間消耗的瞬時功率P，

通常有意義的不是瞬時功率，而是平均功率.平均功率是瞬時功率在一個周期T內的平均值

對于正弦式交變電流I（t）=Imsinωt，在純電阻電路中，u（t）與i（t）同相，無相位差，u（t）=Umsinωt，在一個周期T內的平均功率為

在純電阻電路中，u（t）、i（t）相位一致，因而任何時刻輸入電阻的瞬時功率P（t）都是正的，這些電能全部轉化為焦耳熱，這和恒定電流是相同的.對于恒定電流I有P=UI=I2R，兩者一比較，我們可以得出I=Im2，同理可以得出U=Um2.這就是正弦式交變電流的有效值與峰值是2倍關系.這個推導要借助微積分思想，這對于一個高二學生來講可能有點困難，下面介紹第二種方法.

2.2 利用初等函數來推導

由于正弦式交變電流波形是對稱的，在每一個t2-t1=T4內，當t1=kT4，（k=0、1、2、…）時，電流的有效值與一個周期內的有效值是相同的；對其定性分析，高中生是不難理解的.所以，我們下面就通過“T4”時間的電流有效值來確定一個周期內的交變電流的有效值.如圖3，把T4時間分為n等分，每等分時間間隔為Δt，則

下面我再介紹一種更簡單的方法.

2.3 利用簡單三角函數推導

將兩個最大值、周期相同的正弦和余弦交變電流分別通過相同阻值的電阻R，在圖4中的電流在0-T4時間內R上產生的熱量和圖5中的電流在3T4-T時間內R上產生的熱量相等.在圖4中的電流在T4-T2時間內R上產生的熱量和圖5中的電流在0-T4時間內R上產生的熱量相等.在圖4中的電流在T2-T時間內R上產生的熱量和圖5中的電流在T4-3T4時間內R上產生的熱量相等.所以，在一個周期T內兩個交變電流分別通過相同電阻R產生的熱量Q1和Q2相等，它們具有相同的有效值I.

這個方法利用了正弦和余弦交變電流分別通過相同阻值的電阻R上的瞬時功率之和為一個定值，進一步求出它們在一個周期T內在電阻R上的熱量之和，回避了用抽象的平均功率求解，更便于學生掌握之.

3 正弦式交變電流整流后的有效值和平均值的關系

在中學物理題中有一些習題涉及交變電流整流后的功率或者發熱問題.這類問題往往因為沒有正確理解有效值和平均值而出現錯誤.先看正弦交變電流全波整流后，其圖形如圖6甲所示，電流的平方i2（t）圖象如圖6乙所示.全波整流后，電流的方均根值應與整流前相同，所以I=Im2仍然適用.但經半波整流后，波形如圖6丙所示，由于每個周期內，都有半個周期電流為零.故一個周期內電流的有效值

可見半波整流后的有效值為整流前的12倍，而平均值為整流前（半周的平均值）的一半.