基于POT模型的大壩位移預警指標實時估計

任　杰,蘇懷智,陳　蘭,許焱鑫

(1.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室,江蘇南京210098；2.河海大學水利水電學院,江蘇南京210098；3.長江水利委員會長江科學院,湖北武漢430010)

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基于POT模型的大壩位移預警指標實時估計

任杰1,2,蘇懷智1,2,陳蘭3,許焱鑫1,2

(1.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室,江蘇南京210098；2.河海大學水利水電學院,江蘇南京210098；3.長江水利委員會長江科學院,湖北武漢430010)

摘要：大壩服役過程中,對其預警指標進行實時估計具有重要意義。基于極值理論,針對大壩位移歷史監測序列,擬定合理的閾值,利用廣義帕累托分布(GPD)對超閾值序列進行刻畫,結合大壩失事概率,建立位移預警指標估計超閾值(POT)模型。通過實時更新建模序列,完成對位移預警指標的實時估計。針對某混凝土重力拱壩29號壩段某測點在典型時間段2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年的位移監測數據,利用POT和傳統區間極值(BMM)模型分別完成對2010年、2011年和2012年位移預警指標的估計,驗證了POT模型比傳統區間極值(BMM)模型更加安全合理。

關鍵詞：大壩；位移預警指標；極值理論；POT模型

0引言

根據大壩工作性態及原始監測資料,結合先進的數學、力學方法建立各種效應量的安全預警指標估計模型,是實現大壩安全預警的重要手段。大壩安全預警的機理是根據大壩對抵御已經歷荷載能力的分析,評估和預測抵御可能發生荷載的能力,確定出在各種荷載組合下大壩服役性態效應量的警戒值。實現大壩效應量預警指標估計是大壩安全預警的關鍵。預警指標估計重點考慮的是極端事件,借助極值理論可實現對其的估計和研究[1]。各種效應量中,大壩位移量能很好的反映大壩的運行狀態,同時精度高,易于測量,故常根據位移歷史監測數據建立位移預警指標估計模型。

基于極值理論實現對預警指標估計,一般通過建立極值BMM(BlockMaximaMethod)模型或POT(PeaksoverThreshold)模型。BMM模型是按時間或周期將獨立隨機的效應量序列分隔為若干互不重疊的區間,選取區間極大值構成子樣本序列并進行廣義極值分布(Generalizedextremevaluedistribution,GEV)擬合[2],這是傳統的預警指標估計方法。若資料年限較短,子樣本容量小,會產生較大的抽樣誤差,加之區間內僅極值參與統計計算,使得該區間內若干有價值測值被摒棄,如某一區間次極大值雖然大于另一區間的極大值卻被漏選,這顯然不合理,而且必將影響效應量預警指標的估計。POT模型則是依據一定的規則擬定合理的閾值,以超閾值序列作為子樣本序列,利用廣義帕累托分布(GeneralizedParetoDistribution,GPD)擬合子樣本序列,得到其分布函數,根據統計學條件概率公式繼而得到母樣本的分布函數,結合大壩的失事概率可完成對預警指標的估計。POT模型既擴大了樣本的容量,亦提高了樣本的質量,同時漸近地刻畫了分布的尾部特征。Balkema和deHaan(1974)以及Pickands(1975)指出,來自同一總體的簡單隨機樣本,若閾值擬定充分大,超閾值的隨機變量的極限分布即為GPD分布[3,4]。大量學者研究表明,基于POT模型的極值理論方法比其他方法能夠更準確地描述序列分布的尾部特征,尤其在采樣數據較少的情況下,是一種較為準確的分位數分析和預測手段[1,2,5,6]。本文針對某混凝土重力拱壩29號壩段測點在2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監測序列,建立了大壩位移預警指標實時估計POT模型,完成了對2010年、2011年和2012年位移預警指標的估計,結合位移年極值信息,與傳統BMM模型位移預警指標估計對比,對POT模型的合理性和安全性進行了驗證。

1大壩位移預警指標估計POT模型

1.1GPD分布與POT模型

POT模型是基于GPD分布對超閾值序列進行建模,來漸進刻畫分布的尾部特征。GPD分布被定義為

(1)

式中,ε為形狀參數；u為位置參數；σ為尺度參數。當ε≥0時,x≥0；當ε<0時,u

1.2超閾值分布函數(CEDF)與總體分布函數

(2)

式中,0≤y≤xF-u；xF≤∞為F的右邊界。

由PBDH定理[3,4]可知：隨著閾值u的不斷增大,即u取得充分大時,超閾值量序列的分布函數近似于GPD分布,Fu(y)≈Gε,u,σ(x)=Gε,σ(y),根據概率分布轉換公式,F(x)=F(u)+(1+F(u))Fu(y),并利用經驗分布函數代替F(u),即F(u)=1-nu/n,則此時F(x)得以確定：

(3)

1.3位移歷史監測序列厚尾檢驗

針對位移歷史監測序列{xi,i=1,…,n},利用Q-Q圖(quantile-quantileplot)法對其進行厚尾檢驗。正態Q-Q圖是散點分布圖,以標準正態分布的分位數為橫坐標,序列值為縱坐標。若散點近似的分布于一條直線附近,則位移歷史監測序列可能近似正態分布；若Q-Q圖的中部為直線,上端向右偏離該直線,向下傾斜,則位移歷史監測序列分布的上尾可能具有厚尾性；若Q-Q圖的中部為直線,下端向左偏離該直線,向上翹起,則位移歷史監測序列分布的下尾可能具有厚尾性[7]。

1.4閾值u擬定的Hill圖法

利用GPD分布擬合超閾值序列,需解決閾值u擬定這個關鍵問題,同時閾值u也是準確估計參數ε和σ的前提。若閾值u的擬定過高,超閾值序列樣本容量少,使得參數估計的方差過大；若閾值u的擬定過低,則有可能不滿足PBDH定理成立的條件,使得超閾值序列樣本分布與GPD分布產生較大差異。閾值擬定方法分作圖法與數值計算法兩類[5,8,9]。本文借助Hill圖法進行閾值u的擬定。

大壩位移歷史監測序列{xi,i=1,…,n},其倒序統計量為xn,n≥…≥xi,n≥…≥x1,n,定義Hk,n為其極值指數的Hill估計,則

(4)

1.5GPD分布參數估計

GPD分布參數估計的方法有：極大似然估計法,概率權矩法以及L矩估計法等[11-13]。本文采用最常用的極大似然估計法對GPD分布的參數進行估計。

似然函數：

(5)

式中,gε,σ(y)為廣義Pareto分布密度函數。

至此,根據上文公式及計算所得參數便可確定式(3)的分布函數。據分布函數反函數,結合大壩失事概率,可以求得大壩位移預警指標估計值。

大壩位移預警指標實時估計基本流程見圖1。

圖2　監測數據厚尾檢驗

圖3　監測數據Hill曲線

圖1　建模流程

2實例分析

某水利樞紐位于安徽省,地處長江流域。樞紐包括混凝土重力拱壩、溢洪道、泄洪中孔、泄水底孔、發電廠房和筏道。壩頂高程為126.3m,最大壩高為76.3m,設計水位122.2m,總庫容為28.25億m3,本文依據該混凝土重力拱壩右岸壩肩29號壩段2007年～2012年徑向監測資料,分別選取典型時間段2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監測序列,建立POT和BMM模型,假定失事概率為1%并結合年極值信息,完成2010年、2011年和2012年位移預警指標估計與比較工作。本文取該測點向下游方向位移為研究對象。

2.1監測數據厚尾檢驗

利用Q-Q圖法對位移歷史監測數據進行厚尾檢驗,檢驗結果見圖2。由圖2可知,位移監測數據中間部分近似直線,呈微凹型,下端向左翹起,上端向下彎曲,具有厚尾分布,滿足極值POT模型成立的前提條件。

2.2Hill圖法擬定閾值u

借助Hill圖法進行閾值u的擬定,分別繪出2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年位移監測數據Hill曲線,確定相應年份閾值,結果見圖3。

根據Hill圖中數據變化急緩情況,并結合已有文獻[9]的研究,分別定出2007年～2009年、2007年～2010年和2007年～2011年的超閾值個數nu,并由nu值找尋順序統計量中相應的位移值,即閾值u。將POT模型計算結果列于表1。

表1POT模型參數計算結果

年份nnuuεσ2007年～2009年473400.99-0.8190.2312007年～2010年559371.01-0.7710.2032007年～2011年656430.98-0.7870.23

2.3模型對比分析

假定大壩失事概率1%以及表1中參數計算F(x)結果,由式(6)計算反函數即可得到2010年、2011年和2012年位移預警指標估計值,并與傳統BMM模型計算結果進行對比。為評判模型估計合理性,引入實測年極值作參考,結果見表2。

表2POT和BMM模型安全預警指標實時估計比較

年份位移/mmPOT模型BMM模型年極值2010年1.221.270.922011年1.211.270.712012年1.271.291.24

從表2中可知：①POT和BMM模型對于2010年、2011年和2012年位移預警指標的估計非一成不變,且均大于相應的年極值,與大壩壩肩實際狀況一致,兩種模型均具合理性；②倘若利用POT模型在2010年擬定的位移預警指標應用到2012年大壩位移監控中,便會失效,說明了實時加入新監測資料對預警指標的估計具有實際意義；③對比POT與BMM模型可以得到POT模型在位移預警指標估計中更加偏于安全。

3結語

極值理論POT模型通過設定合理的閾值,更全面的考慮了所有較大測值,利用GPD分布更好地刻畫了數據樣本的超閾值分布特征,因此得到的預警指標估計值能更客觀地反映工程實際。

本文將極值POT模型應用于大壩位移預警指標實時估計中,通過分析研究,大壩處于安全狀態,與大壩的實際情況較為吻合,與該大壩壩肩實際監測資料成果分析一致,說明本文建立的位移預警指標實時估計模型較為可靠,具有一定的科學性。本文在模型建模過程中,因大壩失事概率尚無具體規范可依據,依經驗對其假定具有主觀性,為更加客觀精確的估計預警指標,存在的不足,需進一步進行研究與完善。

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(責任編輯王琪)

收稿日期：2015- 05- 18

基金項目：江蘇省杰出青年基金(BK2012036)；國家自然科學基金(51179066, 51409167,81279052,2014513311)；國家重點實驗室研究項目(20145028312)；江蘇省“333高層次人才培養工程”科研項目(2016-B1307101)

作者簡介：任杰(1992—),男,山西臨汾人,碩士研究生,研究方向為水工結構工程安全監控．

中圖分類號：TV698.1

文獻標識碼：A

文章編號：0559- 9342(2016)04- 0045- 04

Real-TimeEstimationofDamDisplacementEarlyWarningIndicatorBasedonPOTModel

RENJie1,2,SUHuaizhi1,2,CHENLan3,XUYanxin1,2

(1.StateKeyLaboratoryofHydrology-WaterResourcesandHydraulicEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,Jiangsu,China; 2.CollegeofWaterConservancyandHydropower,HohaiUniversity,Nanjing210098,Jiangsu,China;3.ChangjiangRiverScientificResearchInstituteofChangjiangWaterResourcesCommission,Wuhan430010,Hubei,China)

Abstract:In the process of dam service, the real-time estimation of dam safety early warning indicator is of great significance. Based on extreme value theory, the reasonable threshold is firstly proposed for displacement historical monitoring sequences, and then the over threshold sequences will be featured by using Generalized Pareto Distribution (GDP), finally the Peaks Over Threshold (POT) model of displacement early warning indicator will be built combining with the probability of dam failure. By updating the modeling sequences in real time, the real-time estimation of displacement early warning indicator will be completed. Based on the displacement monitor sequences of 2007- 2009, 2007- 2010 and 2007- 2011 of the 29thmonolith of a gravity arch dam, the estimations of displacement early warning indicators of 2010, 2011 and 2012 are completed by using POT model and traditional Block Maxima Method (BMM) respectively. The results validate that the POT model is more safe and reasonable than BMM model．

Key Words:dam; displacement early warning indicator; extreme value theory; POT model