幾何畫板條件下橢圓的25種典型作法*

楊永良，孔德宏

(昆明市第十六中學，云南 昆明 650200；云南師范大學數學學院，云南 昆明 650092)

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幾何畫板條件下橢圓的25種典型作法*

楊永良，孔德宏

(昆明市第十六中學，云南 昆明 650200；云南師范大學數學學院，云南 昆明 650092)

用幾何畫板探究橢圓的不同作法，能夠激發學生學習橢圓的興趣，加深對橢圓相關數學知識的理解，提高幾何畫板的使用水平.本文借助幾何畫板，給出了橢圓的25種作法，并指出了其數學原理，或給出了數學證明。

幾何畫板；橢圓；作法；證明

橢圓是我們所熟悉的一種重要而又優美的曲線，它的作法很多，其中最簡單最優美的作法就是根據橢圓第一定義的手工作法，即：取一條定長細繩，把它的兩端分別固定在畫圖板上的F1和F2點，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓.然而在數學教師都喜聞樂見的幾何畫板軟件中，我們卻不可能直接像手工做法那樣去作出一個橢圓，因為幾何畫板軟件有自己的一套操作和制作規則.這似乎給我們帶來了極大的麻煩和困難，然而另一方面，充分挖掘幾何畫板的強大功能，也會給我們帶來許多意想不到的驚喜！例如，可以間接地作出本例的橢圓.

于是我們就會產生這樣的想法：滿足什么條件的動點，其軌跡會是橢圓？我們希望這個動點要容易作出來，進而，其軌跡──橢圓也就容易構造出來了.特別地，我們要在技術的支撐下進行探究，這是一個極富于挑戰，又充滿樂趣的開放性的研究性課題.需要指出的是，它不僅取決于我們的知識，而且還取決于我們的方法和手段.下面將重點討論：在幾何畫板技術的條件下，橢圓有哪些不同的典型作法？

用幾何畫板探究橢圓的不同作法，能夠激發學生學習橢圓的興趣，加深對橢圓相關數學知識的理解，同時提高幾何畫板的使用水平. 下面將從八個方面：一、平面幾何法(橢圓的第一定義、第二定義等)；二、代數法(普通方程、參數方程、極坐標方程)；三、交軌法；四、變換法；五、包絡法(需要用到高等數學的知識)；六、物理法(凸透鏡法)；七、立體幾何法(用平面截圓錐)；八、其他方法，給出幾何畫板條件下橢圓的25種典型作法，同時也給出了必要的說明或數學證明.需要指出的是，每一種作法都對應一定的數學知識，讀者務必搞清數學原理，同時結合幾何畫板的使用方法，這樣才能明白每種做法的依據和來龍去脈.

一、根據橢圓的定義作橢圓

方法1：交弧法

作法：如圖1.

1.作AB=2a，在線段AB取一動點P.

2.作兩個點F1和F2，以F1為圓心，AP為半徑作圓C1；以F2為圓心，BP為半徑作圓C2.

3.記圓C1和圓C2的交點為M(注意有兩個交點，否則就只能得到半個橢圓)，以P為主動點，M為從動點構造軌跡便得到橢圓.

方法2：單圓法(1)[1]

作法：如圖2.

1.作AB=2a.以F1為圓心，以線段AB為半徑作圓.

2.在圓上取動點P.記線段PF2的中垂線與線段F1P的交點為M，以P為主動點，M為從動點構造軌跡便得到橢圓.

∴動點M的軌跡為以F1、F2為焦點的橢圓.

方法3：橢圓的第二定義[2]

作法：如圖3.

3.以F為圓心，OP為半徑作圓；

4.按標記的距離平移準線L，平移后的準線與圓相交于M(注意有兩個交點，否則就只能得到半個橢圓)，以P為主動點，M為從動點構造軌跡便得到橢圓.

二、代數方法(用橢圓的方程)

方法4：直接建立參數，根據普通方程，畫函數圖像.

作法：如圖4.

1.作參數a=3，b=1.

(按數字鍵盤上的+、-號，可以改變參數a,b的值，橢圓曲線會隨之發生相應的變化.只需a≠b，且a≠0、b≠0即表示橢圓.值得注意的是，即便a、b取負值也表示橢圓.)

方法5：以線段的長作為參數，根據普通方程，畫函數圖像.

作法：如圖5.

1.分別在X軸、Y軸上作點A、點B.分別以線段OA、OB的長作為參數a、b.

(拖動點A或者點B，可以改變參數a,b的值，橢圓曲線會隨之發生相應的變化.方法5與方法4相較而言，參數具有直觀的幾何意義，有利于學生形象思維的發展.)

方法6：根據普通方程，描點作出函數圖像.

作法：如圖6.

1.分別在X軸、Y軸上作點A、點B.以線段OA、OB的長作為參數a、b.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，可以分別得出上半橢圓和下半橢圓.

(拖動點A或者點B，可以改變參數a,b的值，橢圓曲線會隨之發生相應的變化.方法6說明了這樣一個事實：在技術的支持下，以往受到冷落的描點作函數圖像的方法現在又重新得到了人們的重視.)

方法7：直角坐標下的參數方程(同心圓法)[2]

作法：如圖7.

1.以O為圓心，分別以OA、OB為半徑作兩個圓.

2.在大圓上任取一點P，連接OP交小圓于點C.

3.過P作X軸的垂線，過C作X軸的平行線，兩直線相交于點M.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

分析：設OA=a，OB=b，∠POA=θ，

∵M點、P點的橫坐標相同，M點、C點的縱坐標相同，而P點的橫坐標為acosθ，C點的縱坐標為bsinθ，

∴M(acosθ，bsinθ)，即M點的軌跡為橢圓.

方法8：直角坐標下的參數方程(同心圓法)

作法：如圖8

1.以O為圓心，分別以OA、OB為半徑作兩個圓.設OA=a，OB=b.

2.在大圓上任取一點P，設∠POA=θ.分別計算acosθ，bsinθ，-bsinθ.

3.繪制點M(acosθ，±bsinθ)，由于幾何畫板里的0θ180°，故縱坐標要取兩個：±bsinθ，否則只能得到上半橢圓.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

方法9：直角坐標下的參數方程(同心圓法)

作法：如圖9

5.以O為圓心，分別以OA、OB為半徑作兩個圓.設OA=a，OB=b

6.在大圓上任取一點P，設∠POA=θ.分別計算asinθ，-asinθ，bcosθ.

7.繪制點M(±asinθ，bcosθ)，由于幾何畫板里的0θ180°，故橫坐標要取兩個：±acosθ，否則只能得到右半橢圓.

8.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

(方法8與方法9的差異在于參數方程的不同.)

方法10：根據極坐標方程.

作法：如圖10.

1.直接建立參數e、p，例如e=0.8，p=1.

(按數字鍵盤上的+、-號，可以改變參數e、p的值，橢圓曲線會隨之發生相應的變化)

方法11：根據極坐標方程.

作法：如圖11.

2.作一條線段，度量其長度作為p.

(拖動點C可以改變e的值，改變線段p的長度可以改變p值，橢圓曲線會隨之發生相應的變化.方法11與方法10相較而言，其參數具有直觀的幾何意義.)

三、用軌跡的方法

方法12：兩直線交點的軌跡(單圓法(2)).

原理：兩直線交點的軌跡是橢圓

作法：如圖12.

1.設圓O與y軸交于A、B點，在圓O上任取一點P.

2.過P作X軸的垂線，交X軸于Q點.

3.設直線AP與BQ相交于M點.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

則A(0,r)，B(0,-r)，Q(x′,0)，M(x,y)，

點M也滿足這兩條直線方程，又點P在圓上，即x′2+y′2=r2，消去參數x′、y′，

方法13：兩直線交點的軌跡(切線法).

原理：兩直線交點的軌跡是橢圓

作法：如圖13.

1.設圓O與x軸交于A、B點，過A、B分別作圓O的切線.

2.在圓O上任取一點P，過P作圓O的切線分別與上述兩條切線相交于點C、D.

3.設直線AD與BC相交于M點.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

則A(-r,0)，B(r,0)，

于是過P的切線方程為x′x+y′y=r2，

點M也滿足這兩條直線方程.又點P在圓上，即x′2+y′2=r2，消去參數x′、y′，

方法14：動點的軌跡(橢圓規).

原理：動點的軌跡是橢圓

作法：如圖14.

1.在圓O上任取一點P，過P分別作X、Y軸的垂線，垂足分別是A、B.

2.在直線AB上任取一點M(除點A、B外).

3.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

說明：其實這就是教材中出現過的橢圓規，即：定長線段AB的兩個端點A、B在坐標軸上滑動，直線AB上任一點M(除點A、B外)的軌跡為橢圓.

方法15：動點的軌跡.

原理：動點的軌跡是橢圓

作法：如圖15.

1.在X軸正半軸上取兩個定點(焦點)F1和F2，以F1為圓心作一個圓F1，在圓上任取點P.

2.直線PF1交Y軸于A點，以A為圓心，過原點O作圓A.

3.過F1作圓A的(異于X軸)切線F1B.

4.過F2作圓A的(異于X軸)切線F2C.

5.兩切線F1B、F2C交于點M.

6.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

證明：由圓的切線性質知：MF1+MF2=(MB+BF1)+MF2

=(MC+OF1)+MF2

=OF1+(MC+MF2)

=OF1+CF2

=OF1+OF2(定值)

∴動點M的軌跡為橢圓.

四、伸縮法

方法16：動點的軌跡.

原理：沿某一方向，圓經過壓縮或伸長得到橢圓.

作法：如圖16

2.取圓上一動點P，連PB，交x軸于點A.

3.在y軸上任取一點C，連AC，交過P且平行于y軸的直線于M點.

4.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

5.(拖動點C，可改變橢圓的形狀和大小).

證明：設P(x′,y′)，M(x,y)，則x=x′.

∴動點M的軌跡為橢圓，其在x軸上的半軸長為r，在Y軸上的半軸長為kr.

方法17：橢圓的相似

作法：如圖17

2.在平面內任取一點B，在線段BP上任作一點M.

3.選主動點P和從動點M，構造軌跡，得到橢圓.

(拖動點M，可改變橢圓的大小).

∴動點M的軌跡為橢圓.

五、包絡法

方法18：圓族的外包絡

作法：如圖18

1.以原點O為圓心任作一圓O.

2.在X軸上任取一點A，過A作Y軸的平行線交圓O于B點.

3.以A為圓心，過點B作圓A.

4.選主動點A和從動(點)圓A，構造軌跡，則圓A的外包絡為一個橢圓.

消去c而得到的曲線之中.

∴圓A方程為(x-c)2+y2=r2-c2.其關于c的導數方程為-2(x-c)+2c=0，

方法19：切線族的包絡

作法：如圖19

1.作一圓O，在圓O內取不同于圓心的一點F.

2.在圓O上取一動點P，作線段PF的中垂線L.

3.選主動點P和從動(點)線L，構造軌跡，則切線族的包絡為一個橢圓.

方法20：弦線族的包絡

作法：如圖20

1.作一圓O，在圓O內取不同于圓心的一點F.

2.在圓O上取一動點P，直線PF交圓O于點A.

3.直線AO交圓O于點B.

4.連接直線BP.

5.選主動點P和從動(點)線BP，構造軌跡，則弦線族的包絡為一個橢圓.

六、其他方法

方法21：通過凸透鏡成像把圓成像成圓錐曲線

作法：如圖21

1.在凸透鏡的左側任意作一個圓.

2.在圓上取一動點P，點P通過凸透鏡的成像點為P'.

3.選主動點P和從動點P'，構造軌跡，則P'的軌跡為一個橢圓.

方法22：橢圓的斜二測畫法

作法：如圖22

1.作一圓O，在圓O上取任一點P.

2.過P作X軸的垂線，垂足為N.

3.以N為旋轉中心，P點順時針旋轉45°得到P'點.

5.選主動點P和從動點M，構造軌跡，則得到一個橢圓.

方法23：橢圓按標記角的“斜二測”畫法

作法：如圖23

1.新建角度參數t，如圖t=-62°.

2.作一圓O，在圓O上取任意點P.

3.過P作X軸的垂線，垂足為N.

4.以N為旋轉中心，P點旋轉角度t，得到P'點.

6.選主動點P和從動點M，構造軌跡，則得到一個橢圓.

方法24：用平面截圓錐[2]

作法：如圖24

1.作橢圓，使其中心在原點，長軸AB在X軸上.

2.在Y軸上取一點S，在橢圓上取一點C，連接SC，選擇主動點C和從動線(點)SC，構造軌跡，得圓錐SC.

3.在線段SO上取一點E，過E作EF∥X軸交SB于點F.過E作直線n∥CO.

4.作圓H，在其上任取一點I.

5.過F作FG∥HI交直線n于點G.

6.在線段SO上取一點D，直線DG交SC于點M.

7.選擇主動點C和從動點M，構造軌跡，得橢圓.

(拖動點E、點D、點I可以改變截面的高度和傾斜度.)

方法25 直接繪制參數曲線

作法：如圖25(這是新版幾何畫板5.06的功能)

1.新建參數a，新建函數f(x)=acosx.

2.新建參數b，新建函數g(x)=bsinx.

3.先后選中函數f(x)=acosx、g(x)=bsinx，繪圖—>繪制參數曲線，讓定義域t包含(0,π)，即可繪制出橢圓.

[1]繆亮，盤俊春.幾何畫板5.X課件制作實用教程[M].北京：清華大學出版社，2012.

[2]陶維林.幾何畫板實用范例教程(第3版)[M].北京：清華大學出版社，2013.

(責任編輯 李艷梅)

25 Kinds of Typical Ellipse Construction under the Condition of the Geometer's Sketchpad

YANG Yongliang & KONG Dehong

(KunmingNO. 16MiddleSchool,Kunming, 650200,YunnanProvince;SchoolofMathematics,YunnanNormalUniversity,Kunming, 650092,YunnanProvince)

Inquiring different ways of making ellipses by using the Geometer's Sketchpad can motivate students’ learning about ellipses, and also enhance their mathematical knowledge about ellipses, improve the effective use of the Geometer's Sketchpad. This article proposes 25 ways of construction ellipses based on the use of the Geometer's Sketchpad, mathematical principles and proof are offered as well.

The Geometer's Sketchpad, ellipse, construction, proof

2016 - 05 - 07通訊作者：孔德宏(1972—)，男，副教授，主要從事數學教育與數學教育技術研究

O123.5

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