全變分高階模型的快速去噪算法

山東科技大學數學與系統科學學院 張 倩

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全變分高階模型的快速去噪算法

山東科技大學數學與系統科學學院 張 倩

【摘要】全變分模型的圖像去噪，雖然能保持圖像邊緣，但導致階梯效應。為了去除階梯效應，提出了全變分的高階模型。本文將采用交替方向乘子法（ADMM），對該高階模型進行求解，并對ADMM算法進行改造，在具體數值求解的過程中使用快速傅里葉變換法，通過仿真實驗證明該模型的有效性和優越性。

【關鍵詞】圖像去噪；全變分模型；高階模型；ADMM；快速傅里葉變換

0　引言

在科學研究、軍事技術、工農業生產、醫學、氣象及天文學等領域，圖像去噪技術都得到廣泛地關注，圖像去噪可以幫助人們更加準確地獲得我們所需要的圖像特征，使其應用到各個研究領域，幫助解決醫學、物理、航天、文學等具體問題。

本文關注的是基于全變分高階模型的圖像去噪研究。1992年Rudin等人提出了圖像去噪的全變分（Total Variation，TV）模型［1］，該模型在去除圖像中原有噪聲的同時，能有效地保留圖像的邊緣信息，但它有一個顯著的缺點就是容易產生階梯效應，也就是圖像的平坦區域產生了虛假邊界。后來Lysaker、Lundervold和Tai（LLT）提出了高階全變分模型［2］，去除了階梯效應，保持了圖像平坦區域的光滑度。最近幾年，為解決圖像去噪模型中，存在的一些非光滑不可微問題，提出了大量快速高效地數值算法：原始對偶混合梯度法（PDHG）［3］，增廣拉格朗日方法（Augmented Lagrandian Method，ALM）［4］，交替極小化算法［5］等等。本文在研究全變分高階模型去噪問題，采用了交替方向乘子法，以及快速傅里葉變換的優化方法求解模型，來提高圖像去噪質量和效率。

1　全變分圖像去噪模型

全變分（TV）模型表示為求以下泛函的極小值：

高階導數全變分模型（HOTV）：

2　本文算法與收斂性分析

最早是在文獻［5］提出經典的ADMM算法，在圖像處理等領域，這一算法得到了廣泛的應用，其求解問題的基本思想是，引入幾個輔助變量替換原問題中較難處理的部分，本文結合ADMM算法，在對能量泛函求解時加入快速傅里葉變換，給出一個快速數值求解方法：首先引入兩個輔助變量(m，n)。

把上述問題轉化為無約束優化問題，其增廣拉格朗日函數為：

（4）

根據交替迭代的思想，通過固定其他的變量，對某一個變量求最小，下面給出對每一個子問題的具體求解方法：

由收縮公式，式（5）等價于：

由文獻［6］中求解收縮閾算子方法，可得式（6）的解為：

下面關于n進行求導，由于在導數為零處取得極小值。

（3）求解的子問題

（11）

等價于：

由Euler-Lagrange方程可得：

下面求得u，應用快速傅里葉變換及其性質。

由式（7），（10），（14）得本文算法步驟為：

結合經典的ADMM算法的收斂性分析［7］，由于本文算法添加兩個變量，是ADMM算法在圖像去噪的一個應用，下面給出文中ADMM算法的收斂性。

3　實驗結果與分析

為檢驗本文ADMM算法在圖像去噪的有效性，本節對多幅圖像進行仿真實驗。下面的圖均在Matlab R2013a的環境下進行仿真實驗。本文選用常用的“Lena”圖像，實驗參數選取。算法迭代終止條件為：是用來控制迭代終止的量，本文取

實驗對加入噪聲的Lena灰度圖像進行去噪，分別給出在迭代30次和60次的計算結果。如圖1和圖2所示。

圖1　

圖1給出了Lena灰度圖像的原圖，含噪聲圖像，以及迭代20次的Chambolle算法和本文算法的去噪圖像。

圖2　

圖2給出了進行數值求解迭代60次時采用Chambolle算法和本文算法的計算結果圖像。

通過對比以及視覺觀察上面給出的去噪后的圖像，可以看出本文算法在進行圖像去噪時效果更好，圖像更清晰更自然。

由Matlab2013a進行數值實驗，當算法終止迭代時，文獻［8］的算法在迭代30次和60次的時候，運行時間都要比本文算法多20-30s，所以本文算法與文獻［8］算法相比，運行時間大大縮短，從而提高了圖像去噪的效率。

4　結束語

本文給出了圖像去噪高階模型，并在求解過程中加入快速傅里葉變換，該算法不僅能夠有效地去除噪聲，也加快了運算，大大提高了運算時間。通過Lena灰度圖進行仿真實驗，實驗結果表明：對高階TV模型，加入快速傅里葉變換，進行算法求解是可行的，而且該方法不僅能有效地去除圖像中的噪聲，還能縮短運行時間。

參考文獻

［1］Rudin L I，Osher S，Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physics D： Nonlinear Phenomena，1992，60（1/4）：259-268.

［2］Lysaker M，Lundervold A，Tai Xuecheng.Noise removal using fourth-order partial differential equation with applications to medical magnetic resonance images in space and time［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2003， 12（12）：1579-1590.

［3］M.Zhu and T.Chan，An Efficient Primal-Dual Hybrid Gradient Algorithm for Total Variation Image Restoration［R］.Ucla Cam report， 2008.

［4］Wu Chunlin，Zhang Juyong，Tai Xuecheng.Augmented Lagrangian method for total variation restoration with non-quadratic fidelity ［J］.Inverse Problems and Imaging， 2011， 5（1）：237-261.

［5］R Glowinski and A Marrocco.Sur l'approximation parelements nisd'ordreun， etlan resolution par penalisation-dualite， d'une classe de problemes de Dirichlet non lineaires［M］. Journal of Equine Veterinary Science， 1975， 31（s 5-6）：41-76.

［6］Yang J，Yin W，Zhang Y，et al.A fast algorithm foredge-preserving variational multichannel image restoration ［J］.SIAM Journal on Imaging Sciences，2009，2（2）： 569-592.

［7］J.Eckstein and D.Bertsekas，On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators［M］.Mathematical Programming，1992，55：293-318.

［8］宋錦萍，鄭昌燕.高階模型的快速圖像修補［J］.計算機工程與應用， 2015， 51（11）：154-157.

［9］胡學剛，張龍濤，蔣偉.基于偏微分方程的變分去噪模型［J］.計算機應用，2012， 32（7）： 1879-1881. 1901.

作者簡介：

張倩（1991-），女，山東膠南人，山東科技大學碩士研究生。