基于NURBS直紋面擬合敏感點的空間凸輪側銑刀軌算法優化

胡東方　張文博

河南科技大學，洛陽，471003

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基于NURBS直紋面擬合敏感點的空間凸輪側銑刀軌算法優化

胡東方張文博

河南科技大學，洛陽，471003

摘要：基于NURBS直紋面擬合敏感點的空間凸輪側銑刀軌算法優化原理，提出了擬合誤差敏感點的選擇方法，根據NURBS曲面重構的原理，將曲面曲率最值點和擬合誤差最大點定義為理論加工刀軌曲面誤差敏感點。利用曲率敏感點，在理論非等徑刀軌曲面規劃離散網格，得到初始數據點。通過最小二乘優化方法重構NURBS刀軌直紋面，再根據誤差敏感點定義的等參數曲線來調整刀軌直紋面形狀。構建了理論加工誤差模型，并通過實例的仿真計算和數值模擬說明了該算法的有效性。

關鍵詞：空間凸輪；側銑加工；敏感點；NURBS直紋面；形狀調整

0引言

空間凸輪的廓形誤差會縮短其使用壽命。提高空間凸輪的精度可以有效減小凸輪在運行過程中的振動，提高凸輪機構運行的平穩性。對于大批量生產的空間凸輪，在精加工階段通常采用共軛創成法進行加工[1]，即刀具與被加工凸輪共軛創成復現滾子與凸輪的共軛運動，采用的刀具與滾子幾何特征參數完全相同，這樣就保證了所生成的廓面與滾子完全嚙合。這種方法加工出的凸輪除了由內外螺旋線螺旋角不一致而造成的原理誤差外，并沒有其他誤差，因此可制造出較高精度的凸輪。等徑加工存在的缺陷是必須保證刀具的半徑與滾子半徑嚴格一致，刀具需要專門定制，在小批量生產時加工成本會變得很高。因此，非等徑加工是常用的空間凸輪小批量生產的加工方式，即采用半徑小于滾子半徑的刀具加工空間凸輪廓面。

近年來，學者們針對凸輪的非等徑側銑加工刀軌優化問題，從刀具與工件的局部幾何關系和NURBS直紋面整體逼近兩個方面進行了研究。文獻[2]根據局部刀具與凸輪的接觸線幾何關系計算出加工最佳切觸點，減小了理論加工誤差；文獻[3]綜合側銑點位偏置算法的優點，建立局部刀位搜索模型來確定最優刀位點；文獻[4]簡化了刀具與凸輪接觸線幾何關系求解模型，提出了一種自適應誤差補償算法；文獻[5]根據NURBS曲面重構原理，利用最小二乘法從整體上提高了理論加工精度；文獻[6]對理論非等徑刀軌曲面進行了插值反算，并利用遺傳算法從整體上對刀軌進行了優化。從誤差控制效果和算法實現效率來看，整體直紋面逼近算法的理論誤差相對較小，也無需過多考慮局部優化過程中存在的刀具干涉問題，因此，從總體上來看，NURBS直紋面整體逼近算法要優于局部幾何優化方法。

現有直紋面逼近算法都只運用了NURBS最基本的算法原理，鮮見對NURBS擬合算法深層次應用的研究。因此筆者提出一種基于NURBS直紋面擬合敏感點的側銑刀軌優化算法，利用NURBS曲面重構原理的多種數學性質構建誤差控制模型，減小空間凸輪非等徑側銑加工的理論誤差。

1NURBS直紋面擬合

直紋面是通過位于兩條準線之間的直線做連續運動而形成的曲面，其準線S(u)的NURBS表達式為[7-8]

(1)

式中，u為準線的定義域，u∈[0,1]；Wi為權因子； Ni,k(u)為k次規范B樣條基函數；di為準線的控制頂點位置矢量(簡寫為控制頂點，下同)。

在不影響直紋面的逼近的前提下，可對式(1)進行簡化，設定兩條NURBS準線的次數和節點數均相同。由于理論刀軌面數據點之間權重相等，取NURBS曲面所有權因子W=1。3次NURBS在CAM中應用廣泛，因此采用3次NURBS方程對刀軌曲面進行重構，取k=3。因此NURBS直紋面的兩條準線S1(u)和S2(u)可表示為3次B-Spline形式：

(2)

直紋面方程可根據兩條準線定義為

S(u,v)=(1-v)S1(u)+vS2(u)

(3)

v∈[0，1]

將式(2)代入式(3)，可得NURBS直紋面表達式：

(4)

Ri,k；j,l(u,v)=

式中，di,j為NURBS表達式的權因子；Ri,k;j,l(u,v)為NURBS表達式的基函數；Wi,j為直紋面S(u,v)的權因子；Nj,l(v)為NURBS直紋面母線上的基函數，其中l=1，表示直紋面母線次數為1。

2敏感點對NURBS擬合約束

NURBS擬合曲面生成過程中，需要從初始理論曲面獲得初始數據點，然后利用數據點擬合NURBS曲面。理論曲面離散數據點的采樣算法和擬合出的曲面形狀對理論加工誤差有直接影響。一般情況下，理論NURBS曲面初始數據點的采樣算法采用等參數離散法，擬合曲面采用NURBS插值反算方法。通過分析NURBS曲面的擬合算法原理可知，NURBS重構過程中會出現“弓高”誤差，利用等參數離散插值反算重構算法求得的NURBS曲面，其擬合誤差會隨著曲率的增長而逐步提高，并在曲率最值點達到最大。從NURBS曲面重構原理上來看，曲率最大點就是誤差最大點，即曲面曲率與曲面加工誤差有著直接的對應關系[9]。因此可將曲率最值點與誤差最大點統一定義為擬合誤差敏感點[10]，在敏感點處施加約束來控制NURBS刀軌直紋面擬合誤差。

2.1非等徑刀軌曲面推導式及其性質

常用的求解刀軌曲面上任意點曲率的算法通過聯立刀軌曲面坐標公式，得到該點周圍小范圍區域內其他若干離散數據點的坐標，將這些離散的數據點坐標代入曲率公式得到該點曲率的近似解。這種方法既無法求得刀軌曲面任意點曲率的準確數值解，也不能建立曲率與數據點離散模型的直接數學關系。為了從整體上構建NURBS直紋面擬合誤差控制模型，將理論刀軌曲面數據點離散算法建立在曲率約束的數學模型基礎上，使得擬合誤差與數據點離散形成直接的對應關系。

空間圓柱凸輪通過滾子和運動導桿來控制末端從動件的運動，按運動形式可將空間圓柱凸輪可分為直動凸輪和擺動凸輪。以空間擺動圓柱凸輪為例，其輪廓設計方法是，將凸輪的輪廓曲線展開成矩形平面，然后按照平面凸輪輪廓的設計方法求得展開的輪廓曲線，最后將平面輪廓曲線轉換到三維空間，生成等槽深的輪槽。基于以上分析可推導出一種新的空間凸輪的數學建模方法：先通過輪廓方程得到滾子的理論二維運動曲線，然后將運動曲線首尾相接進行“纏繞”，這樣就生成了等徑刀具的運動曲線，再通過“掃掠”曲面的方法進行等徑刀軌曲面的構造，如圖1、圖2所示。基于這種原理得到等徑刀軌曲面后，通過等距面偏置得到非等徑刀軌曲面方程，從而簡化非等徑刀具軌跡面的求解。根據滾子軸線軌跡面表達式可知其為直紋面，等徑刀軸軌跡面為滾子軸線軌跡面，非等徑刀軸理論軌跡面為滾子軸線軌跡面的等距偏置曲面，令等徑刀具(滾子)半徑、非等徑刀具半徑分別為R和r，則刀軌等距面偏置距離值Δr=R-r。

圖1　運動曲線纏繞

圖2　掃掠生成圓柱凸輪

凸輪理論運動曲線展開線K上點si(xi，yi)的坐標計算公式為[11]

(5)

凸輪理論運動曲線展開線上的始末點s0、sn坐標為(x0，y0)和(xn，yn)；(xB，yB)為曲線K1或K2上任意點的坐標；λ=±1，取正號代表(xB，yB)為曲線K1上任意點的坐標，取負號代表(xB，yB)為曲線K2上任意點的坐標；α為滾子的瞬時壓力角。

式(5)中參數xi、yi、α為未知量，可消去未知量α，使式(5)只含有未知量xi、yi，那么就可將式(5)改寫為yi=f(xi)形式，這樣就將凸輪的設計曲線與凸輪的理論運動曲線公式聯系起來了。

設在凸輪外徑上的si到s0的轉角為θ，則θ=(xi-x0)/Rb。令Rb為空間凸輪的半徑，Rb=(xn-x0)/(2π)，xi∈[x0，xn]。將滾子運動展開線轉換至三維坐標系，得到等徑刀具(滾子)外側軸心運動曲線(等徑刀軌直紋面導線)S(θ)在三維空間中的表達式：

S(θ)=(x(θ),y(θ),z(θ))=(Rbsinθ,Rbcosθ,yi)

(6)

根據等徑刀軸軌跡面為直紋面的性質可知，S(θ)為等徑刀軸直紋面的導線方程，對于導線上任意一點si，其沿母線方向矢量為l，則該點處等徑刀軸直紋面母線l(θ)幾何表達式為

l(θ)=(x(θ),y(θ),z′(θ))=(Rbsinθ,-Rbcosθ,0)

(7)

將其轉化為切矢為參數方程的形式，根據式(6)、式(7)及直紋面性質可得到等徑刀軌直紋面R0(θ，w)的幾何表達式：

R0(θ，w)=S(θ)+wl(θ)

(8)

式中，w為直紋面母線。

根據式(8)及等距偏置面性質得到非等徑刀軌曲面R(θ，w)的幾何表達式：

R(θ，w)=R0(θ，w)+Δrn

(9)

式中，n為等距偏置曲面之間的法向矢量。

將式(9)改寫成曲面第一、第二表達式形式：

RⅠ(θ，w)=Edθ2+2Fdθdw+Gdw2

(10)

RⅡ(θ，w)=Ldθ2+2Mdθdw+Ndw2

(11)

式中，E、F、G、L、M、N為理論非等徑刀軌曲面的曲面第一、第二表達式中的參數。

根據式(10)、式(11)，可得非等徑刀軌曲面的高斯曲率K*和平均曲率H*：

(12)

(13)

式中，k1、k2為非等徑刀軌曲面的主曲率。

2.2基于曲率敏感點的離散路徑規劃

基于曲率敏感點的自適應規劃思想對數據點取樣網格進行規劃[12]，具體步驟如下：

首先根據式(12)、式(13)得到理論刀軌曲面任一點主曲率k1、k2，然后定義刀軌曲面上任意一點的彎曲度：

(14)

根據高斯曲率和平均曲率公式 ，可將式(14)轉化為

(15)

定義形狀函數：

(16)

令非等徑刀軌曲面SR={R(θ，w)| (θ，w)∈D0}，D0是參數θ和w的定義域。根據形狀函數r(c)，假設SR離散采樣點個數為P，定義采樣點下標的集合D={1，2，…，P}。由于r(c)為能夠反映曲面SR特征變化的形狀函數，在D0上獲得基于曲率敏感點的點集V={(θi，wi) |i∈D}使給定的P個抽樣點能夠表示曲面SR的特征。定義一個領域系統N={Ni|i∈D}，Ni是點(θi，wi)的相鄰點的索引，其中i?Ni。如果i∈Nj，j∈Ni，Ni可定義為網格四領域，則離散點(θi，wi)的最符合曲率的分布位置滿足：

∑r(qj)(qi-qj)=0

式中，qi為第i次離散后點集的離散程度；qj為第j次離散后點集的離散程度，且j=i+1。

雖然非等徑刀軌曲面的曲率演化規律能夠在最終生成的網格上反映出來，但生成的網格形狀散亂，不利于下一步基于NURBS直紋面的重構，所以需要對最終的網格數據進行分析和處理。形狀函數r(c)在某點處的值越大，該點相鄰部分在等參數條件下的形狀變化越劇烈，即離散網格對曲率的“敏感度”越高。為了保留了刀軌面的幾何特征，也使生成的網格更加規則，以便于NURBS曲面重構，可采用“曲率敏感點”方式，即將曲率敏感點作為約束條件，以曲率最大的點為有效數據點生成過該點的u、v坐標網格線。算法實現過程如下。

將自適應迭代后采集的數據點改寫為的矩陣形式：

式中，a為等參數w曲線上離散得到的數據點個數；b為等參數θ曲線上離散得到的數據點個數。

矩陣同列數據點的參數w相同，同行數據點的參數θ相同。對于第i行的數據點，基于曲率敏感點規劃后取坐標點為

(θi,wj)={(θi,wj)|k(θi,wj)=

由式(9)可得離散網格上對應等參數θ的網格線方程：

R(θi,w)=R0(θi,w)+Δrn=S(θi)+wl(θi)+Δrn

(17)

對于第nj列的數據點，基于曲率敏感點規劃后取坐標點為

(θi,wj)={(θi,wj)|k(θi,wj)=

由式(9)可得離散網格上對應等參數w的網格線方程：

R(θ，wj)=R0(θ，wj)+Δrn=

S(θ)+wjl(θ) +Δrn

(18)

3基于誤差敏感點的等參數曲線約束下NURBS曲面的形狀調整

3.1基于最小二乘法的刀軌面初步擬合

最小二乘優化逼近方法是利用理論非等徑刀軌曲面離散的數據點，通過最小二乘法構造一個NURBS直紋面來逼近理論非等徑刀軌曲面。通常情況下，NURBS刀軌曲面擬合需要將等距偏置曲面離散的數據點沿著基準直紋面法向矢量方向進行投影，得到相應參數值后，再對基準直紋面進行逼近來獲得所需NURBS曲面[13]。而空間凸輪的刀軌數據點是基于理論非等徑刀軌曲面的離散點，理論非等徑刀軌曲面就是最優基準面，因此可直接對理論非等徑刀軌曲面進行逼近得到NURBS刀軌曲面。我們首先對曲面上采集的z+1個離散數據點Cij(θi，wj)進行雙向累積弦長參數化，其中z+1=ab，得到NURBS擬合所需參數化數據點(ui*,vi*)，(ui*,vi*)為離散數據點參數化生成的NURBS參數序列值，i*=0,1,…,z。將(ui*,vi*)代入式(4)得到S(ui*,vi*)。為使NURBS直紋面對理論非等徑刀軌曲面的整體逼近效果達到最優，應使NURBS直紋面到理論非等徑刀軌曲面的距離最小，因此可利用最小二乘法即以NURBS直紋面到刀軌曲面上所有離散點的距離平方和最小為目標構造逼近目標函數：

(19)

式中，X為控制頂點矢量；Φ為節點向量；C為理論非等徑刀軌曲面上離散的數據點。

根據式(19)求解出實際NURBS刀軸軌跡面S(u，v)，其直紋面母線對應的為刀具軸心線。逼近法的理論加工誤差為

δ=‖C(θ,w)-S(u,v)‖

(20)

3.2基于誤差敏感點的等參數曲線的形狀變化約束解算

為減小擬合曲面誤差，可基于最小二乘擬合刀軌直紋面的最大誤差點(該點擬合誤差值為δmax)建立誤差約束模型，改變擬合NURBS刀軌直紋面的局部形狀，進行擬合誤差的控制[14]。由式(4)可知，NURBS擬合曲面形狀與控制頂點、權重因子和節點矢量有關，根據之前對敏感點與曲率、誤差關系的分析，可建立基于誤差敏感點約束的數學模型，進一步減小理論非等徑刀軌直紋面擬合誤差。

通過調整NURBS擬合曲面的形狀，使擬合曲面在誤差敏感點處與理論曲面重合，以此控制最大誤差和相鄰區域誤差[15]。凸輪等徑刀軌直紋面上對應的最大誤差點為Cz(θz，wz)，可根據過該點的滾子直紋面母線lz的法矢nz，將lz沿nz方向偏置Δr，偏置后的曲線設為Ls，將曲線Ls作為目標約束曲線，則該曲線的等參數樣條表達式為

(21)

假設形狀改變后的NURBS直紋面為

(22)

式中，S(u，v)為形狀改變前的NURBS直紋面；εi,j為NURBS直紋面形狀調整矢量。

我們通過約束條件下建立優化模型的方法來確定調整矢量εij。參照文獻[15]可設優化模型的目標函數為

(23)

拉格朗日方程為

(24)

式中，λ*為拉格朗日乘數。

根據式(24)分別對參數λ*、εi,j求偏導得

(25)

消去參數λ*后，可得εi,j的顯式表達式：

(26)

通過式(26)可以得到εi,j，將εi,j代入式(22)得到改變形狀后的NURBS刀軌直紋面。

3.3基于NURBS擬合敏感點的臨界條件

NURBS非等徑刀軌直紋面初步擬合結果(最小二乘法擬合得到的曲面)的優劣可從兩個方面(最大誤差δmax和誤差滿足比例σ)進行判斷，設δz和σm為判定條件。若擬合曲面的最大誤差值δmax過大，則會造成在NURBS擬合直紋面敏感點算法調整形狀后，擬合刀軌直紋面局部形狀變化劇烈，這不利于在加工過程中對刀具姿態和進給速度進行精確的控制；若誤差滿足比例值σ過小，則會造成實際加工出的凸輪不能滿足使用需求。

3.4刀軸參數的獲得

4基于NURBS擬合敏感點的空間凸輪側銑刀軌算法實現方法

根據以上的分析，可以得出基于NURBS擬合敏感點的空間凸輪側銑刀軌算法實現流程，如圖3所示，具體步驟如下：

(1)利用本文算法建立精確的凸輪零件模型，根據獲得的凸輪滾子軸線軌跡面得到理論非等徑刀軌曲面。

(2)根據基于敏感點(曲率極值)算法獲得理論刀軌曲面的數據點網格，并根據曲率最值點進行網格規化。

《孟子·離婁上》云:“愛人不親，反其仁；治人不治，反其智；禮人不答，反其敬——行有不得者皆反求諸己，其身正而天下歸之。”不反躬自省用人環境“短板”，進而排解“亡牢”問題，而妄圖用“補羊”的辦法解決“亡羊”問題，顯屬本末倒置舍本逐末。其結果必然是，小洞不補大洞吃苦，東邊打魚西邊放生。

(3)利用最小二乘法對NURBS刀軌直紋面進行初步擬合，設置初步擬合最大誤差臨界值δ1、比例誤差臨界值δ*和誤差滿足比例臨界值σm，計算NURBS直紋面初步擬合誤差的最大值δmax和誤差值小于δ*的數據點個數以求得誤差滿足比例σ，利用δ1和σm判斷NURBS刀軌直紋面初步擬合的效果。若滿足設定條件則進入步驟(4)；若不滿足則返回步驟(2)，增加離散數據點個數。

(5)輸出滿足要求的刀軌。

圖3　敏感點算法流程圖

5計算實例與仿真實驗對比

為了驗證本文算法的有效性，設計如下仿真實驗：首先針對同一圓柱凸輪的同一工作廓面的非等徑加工刀軌曲面，使用不同離散方法進行數據點采集，通過不同算法對曲面進行擬合重構，計算曲面的擬合誤差并進行分析。

現加工一個空間擺動圓柱滾子凸輪，已知從動滾子半徑R=10 mm，凸輪半徑Rb=80 mm，滾子軸心運動展開線為正弦曲線，分度期轉角為180°。凸輪模型根據滾子軸線直紋面生成的非等徑理論刀軌曲面如圖4所示。

圖4　非等徑理論刀具軌跡面

(1)首先分別基于等參數法和基于曲率敏感點法生成理論非等徑刀軸軌跡面數據點離散網格，得到理論非等徑刀軌直紋面的600個離散數據點。離散結果以及曲率分布如圖5～圖7所示，可看出基于敏感點規劃離散網格可在理論刀軌曲面曲率較大的區域取到更多的點。

圖5　基于等參數法刀軸軌跡面離散的網格

圖6　基于敏感點刀軸軌跡面離散的網格

圖7　理論刀軌面曲率分布云圖

(2)根據算法進行擬合誤差進行仿真分析，取加工立銑刀半徑為9 mm，分別利用等參數最小二乘法(利用等參數離散法獲得初始數據點，利用最小二乘法擬合刀軌直紋面)、敏感點最小二乘法(利用曲率敏感點自適應離散法獲得初始數據點，利用最小二乘擬合刀軌直紋面)、敏感點擬合修正法(利用敏感點最小二乘法獲得擬合刀軌直紋面，基于誤差敏感點調整刀軌直紋面形狀)三種算法對刀軌曲面進行擬合。根據實際加工精度要求，設定加工誤差臨界值δ*=0.01 mm。若NURBS刀軌直紋面在某區域內的擬合誤差δ≤δ*，則認為該區域擬合誤差足夠小，刀軌逼近精度能夠滿足實際加工的精度要求，仿真結果圖上用淺色表示此區域；反之則認為擬合誤差過大，用深色表示。仿真結果如圖8～圖10所示，可以看出基于NURBS擬合敏感點算法能夠獲得最好的曲面逼近效果。

圖8　基于等參數最小二乘法的擬合面誤差分布圖

圖9　基于敏感點最小二乘法擬合面誤差分布圖

圖10　基于NURBS擬合敏感點修正法擬合面誤差分布圖

(3)分別利用三種算法對刀軌曲面進行擬合，在中線(直紋面母線等參數二分點所在曲線)上對擬合誤差進行數據采集，采集分度區間為0°～90°，對應的非等徑刀具運動理論展開線的波谷和波峰作為采集區間的起始點和終點，所采集10個數據點的等分區間大小相同，在三種方法下擬合刀軌曲面的誤差波動情況如圖11所示。

圖11　三種方法理論加工誤差分布圖

根據圖11可得，敏感點修正算法對刀軌直紋面誤差控制能力優于敏感點最小二乘法，敏感點最小二乘法優于等參數最小二乘法，誤差敏感點擬合修正算法在曲率較大的區域能夠較好地控制擬合誤差，并能夠有效減小最大刀軌擬合誤差。但在曲率較小的區域，敏感點修正算法誤差控制能力并不優于其他兩種算法，這是由于該算法在曲率較小的區域獲得的數據點較少，降低了算法在該區域的誤差控制能力。

(4)利用三種算法，對不同半徑立銑刀加工的擬合誤差進行計算，得到最大加工理論誤差結果，如表1所示。

表1　最大加工理論誤差δmax

通過表1可以看出，在使用不同半徑立銑刀時，NURBS擬合敏感點算法的擬合誤差小于敏感點最小二乘法擬合誤差，敏感點最小二乘法擬合誤差小于等參數最小二乘法擬合誤差。

6結論

(1)根據NURBS曲面重構原理，提出了一種減小NURBS直紋面擬合誤差的方法。定義理論非等徑刀軌面上曲率的最值點和誤差最值點為敏感點，利用敏感點建立誤差約束算法模型，對空間凸輪側銑刀軌直紋面的擬合誤差進行了控制，提高了空間凸輪理論非等徑加工的精度。

(2)在凸輪理論刀軌曲面敏感點計算過程中，提出了一種基于運動曲線表達式的空間凸輪非等徑理論刀軌曲面的推導算法。該算法簡化了刀軌曲面表達式的推導過程，并能精確計算出非等徑刀軌曲面上任意點曲率的數值，為進一步研究空間凸輪刀軌曲面的相關性質提供了算法依據。

(3)根據本文算法設計了相關模擬實驗，通過數值仿真計算，驗證了基于NURBS擬合敏感點刀軌優化算法的有效性，為減小NURBS曲面重構誤差提供了理論依據。

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(編輯張洋)

收稿日期：2016-02-01

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51475146)；河南省教育廳重大科技攻關項目(13A520232)

中圖分類號：TH132.47

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.013

作者簡介：胡東方，男，1967年生。河南科技大學機電工程學院副教授。主要研究方向為虛擬產品設計與開發。 獲河南省科技進步獎二等獎 1項、三等獎1項。出版專著1部。發表論文 30余篇。張文博，男，1989年生。河南科技大學機電工程學院碩士研究生。

Flank Milling Cutter Path Optimization Method in Spatial Cam Machining Based on Reconstruction of NURBS Ruled Surface Driven by Sensitive Points

Hu DongfangZhang Wenbo

Henan University of Science and Technology,Luoyang，Henan，471003

Abstract:A new method to improve the tool path accuracy of frank milling was proposed based on the sensitive points affecting the NURBS ruled surface reconstruction for cam machining. The approach for the surface reconstruction was analyzed, and the curvature extreme points and the points with the maximum path error were defined as the sensitive points. The original data points was obtained by the adaptive sampling mesh planned by the curvature extreme points. Based on the least square method, the shape of the ruled surface reconstructed was modified by the constraint curve defined by the error sensitive points. At last, the numeral calculation and simulation experiments of the theoretical machining error model show the effectiveness of the algorithm.

Key words:spatial cam; flank milling; sensitive point; NURBS ruled surface; shape modification