判別非線性滑動軸承轉子系統臨界轉速新方法

王江輝　徐武彬　李　冰　李小磊

廣西科技大學，柳州，545006

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判別非線性滑動軸承轉子系統臨界轉速新方法

王江輝徐武彬李冰李小磊

廣西科技大學，柳州，545006

摘要：介紹了對數衰減法在非線性滑動軸承轉子系統中判別臨界轉速的計算原理和所存在不足之處。指出了對數衰減法的適用范圍：穩定性臨界曲線的量綱一偏心率在0.2～0.6之間。提出了一種可通過MATLAB編程實現并依據軸心軌跡圖形來判斷臨界轉速的新方法，并將其與對數衰減法進行了對比。結果表明：圖形法判斷的臨界轉速是正確的，并且彌補了對數衰減法的不足。

關鍵詞：對數衰減；臨界轉速；非線性；軸承轉子系統

0引言

非線性滑動軸承轉子系統的穩定性判斷一直是學者們的關注熱點，而非線性滑動軸承轉子系統臨界轉速決定了轉子系統是否穩定，因此對非線性轉子系統臨界轉速的準確判斷至關重要[1-3]。目前，對非線性滑動軸承轉子系統臨界轉速的判別并沒有一個實用的方法和標準，一般多采用對數衰減率法。但對數衰減率法在非線性轉子系統中的應用存在諸多不足，如判斷失真或無法判斷。廣義阻尼、穩定欲度、相鄰波谷插值對數比等都是對數衰減率概念的變形，在實際應用中并不能完全解決自身不足[4-6]。本文為了解決臨界轉速判斷失真現象，首先指出對數衰減率法在非線性軸承轉子系統臨界轉速判別的適用范圍，然后提出一種較準確且適用于非線性軸承轉子系統的臨界轉速判別新方法。

1軸心軌跡的計算

為了求出轉子系統的軸心軌跡，首先利用Reynolds方程解出系統的油膜壓力。通過有限差分法并用MATLAB編程求解簡化的Reynolds方程：

(1)

式中，x、z為轉子圓周和徑向方向的坐標，m；p為油膜壓力，Pa；U為軸頸表面速度，m/s；μ為流體動力學黏度，Pa·s；t為時間，s。

求出系統油膜壓力后，通過一維辛普森積分法就能得出軸頸上瞬時油膜力Fx、Fy：

(2)

式中，Fx、Fy分別為水平和豎向的油膜力，N；θ表示位置角，(°)。

軸心軌跡是旋轉機械監測的重要內容，能夠反映旋轉元件的運行狀態等基本信息，對軸承轉子系統穩定性的分析至關重要。如圖1所示，Oj為轉子圓心，為了求出系統軸心軌跡，首先利用式(2)求出的水平和豎向的油膜力Fx、Fy，然后運用牛頓定律計算出軸心水平與豎向的加速度，最終可以求出每個時間點的水平位移與豎向位移，每個時間點的位移軌跡即為軸心軌跡。

圖1　軸心瞬態軌跡模型

轉子軸心的水平與豎向加速度采用下式計算：

(3)

式中，Fxj、Fyj分別為節點j水平和豎向的油膜力；G為轉子重力，N；m為轉子質量，kg。

轉子軸心水平與豎向的瞬態速度及位移的計算式為

(4)

(5)

Δt=12/(5v)

式中，Δt為時間間隔，s；v為轉子的線速度，m/s。

滑動軸承轉子系統的軸心軌跡在不同的轉速下存在穩定、臨界和不穩定3種狀態，如圖2所示，由軸心軌跡可以得出3種狀態的時域圖。

(a)穩定狀態

(b)臨界狀態

(c)發散狀態圖2　軸心軌跡時域圖

2對數衰減法

為了說明對數衰減法判斷臨界轉速時的不足，引入

(6)

式中，x1、x2為波峰縱坐標；y1、y2、y3為波谷縱坐標。

對數衰減法是根據轉子系統時域圖3種不同狀態的2個相鄰的波峰或波谷的對數比來進行判斷的，根據轉子系統時域圖的3種不同狀態，它們之間的對數比會出現3種狀態，即Ld>0，Ld=0，Ld<0。Ld=0的點即為臨界轉速，根據Ld>0， Ld<0兩種不同的狀態，通過插值法就能求出臨界轉速。這種插值法并不能很準確地找出Ld=0的點，文獻[7]中給出了臨界轉速判斷范圍，即認為|Ld|<10-4時已達到臨界狀態，這種方法計算出的臨界轉速和理想的臨界轉速相差并不大，并且相差值對整個轉子系統穩定性的影響幾乎可以忽略。

圖3　穩定狀態時間與偏心率關系

實際計算中，軸承轉子系統時域圖中的偏心率不會隨時間平滑變化，當潤滑油的黏度發生變化時，轉子系統的時域圖也會發生變化。因此，當潤滑油黏度變化為較大值或較小值，甚至在轉子存在一定制造誤差時就會出現多個小波峰，如圖4所示。對數衰減法是依據波峰來判別臨界轉速的，波峰發生變化后，對數衰減法就不再適用。文獻[6]利用波谷兩相鄰插值的對數來判斷臨界轉速，這種方法實質上還是對數衰減法，且波谷的變化也并不總是那么有規則，對存在一定制造誤差的轉子系統也不能完全適用，計算精度也不高，因此，這種方法不能適用于所有的轉子系統。

圖4　一定黏度下時間與偏心率關系

3求臨界轉速新方法

由于對數衰減率法在求臨界轉速時存在諸多限制，所以對數衰減法在非線性軸承轉子系統臨界轉速的判別中存在較多的局限性，為了克服對數衰減法的諸多缺點，提出了一種通過軸心軌跡圖形的變化來判斷臨界轉速的方法，并用MATLAB編程實現。如圖2所示，轉子系統軸心軌跡在不同的轉速下存在3種不同的狀態，當軸心軌跡的形狀和大小重復性很好時，會形成一個長短軸相差不大的橢圓。這時轉子系統就達到了臨界轉速，無論潤滑油黏度如何變化、是否存在制造誤差。轉子系統達到臨界轉速時，其軸心軌跡都會出現這種重復性很好的橢圓。根據軸心軌跡這一特性，通過判斷軸心軌跡的重疊度來判斷其臨界轉速，并用MATLAB編程實現自動搜索。

圖5　軸心軌跡

方法原理：如圖5所示，當轉速接近臨界轉速時，軸心軌跡的內圈橢圓和外圈橢圓就會具有一定的寬度(臨界寬度b)。轉速越接近臨界轉速，臨界寬度b越小。為了測出臨界寬度b的大小，通過從圓點O發出一條射線OA。射線OA與軸心軌跡的內圈和外圈相交，取所有大于平均振幅即弧線BC的軌跡，內外兩個相交點之差即臨界寬度b。雖然軸心軌跡在接近臨界狀態時的重復性很好，但實際上，軸心每轉一周的軌跡是彼此交錯的，毫無規律，且軸心軌跡隨著參數的變化而變化。因此根據某一點的臨界寬度b來判斷是否達到臨界轉速的可信度并不高。為了提高可信度，本文在圖5的角度范圍(-90°～90°)之間每隔1.1Δt～1.5Δt(計算軸心軌跡時，步長的間距為Δt)掃描一次。臨界區域b太小，搜尋的難度增大、搜尋時間長；臨界區域b太大，計算的臨界轉速誤差增大，影響轉子系統穩定性判斷。一般根據實際計算b可以取10μm、11μm、12μm，滿足臨界寬度b的次數n一般取4、5、6、7。b與n的數值是在已確保本文新的判別方法正確的基礎上，經過反復大量的實驗、計算、修正，最終確定的，本文給出的值基本能夠滿足要求，確保不失真。

4穩定性臨界曲線

為了得出對數衰減法的適用范圍，并更直觀地對比兩種方法，引入了反映轉子系統穩定性臨界轉速的量綱一運行參數Op：

(7)

式中，g為重力加速度，m/s2；ω為轉子角速度，rad/s。

連續改變潤滑油的動力學黏度或轉子質量后，轉子系統臨界轉速發生相應改變，將不同臨界轉速對應的點連接起來即為穩定性臨界曲線。穩定性臨界曲線以量綱一參數Op為縱坐標，以量綱一偏心率e為橫坐標。量綱一偏心率求解方法：根據轉子系統隨潤滑油黏度變化而求出的不同的臨界轉速，再根據系統其他參數不變的條件求出SommerfeldNumber，進而求出量綱一偏心率[8]。

如圖6所示，本文采用與文獻[9]完全相同的參數，計算得出的穩定性臨界曲線幾乎和文獻[9]的曲線重合，表明了本文方法的正確性；與文獻[10](參數缺失)的結果對比可知，曲線的變化趨勢基本相同，存在小的偏差是因為每個轉子系統的參數并不是完全一致的，并受起點位置的影響。與文獻[9]、文獻[10]方法的對比表明，本文方法得出的穩定性臨界曲線理論方法是正確的。

圖6　穩定性臨界曲線

為了對比2種求臨界轉速的方法，采用相同的結構參數：轉子長度L=76.2mm，軸瓦內徑D=76.454mm，轉子直徑Dj=75.692mm，轉子質量m=18.5kg。偏心率e在0.2～0.6之間(這個區域相對穩定)時，域圖的波形都是較光滑的，說明對數衰減法在這一范圍計算較準確。從圖6可以看出，偏心率在0.1～0.6之間時，對數衰減法和本文方法得出的穩定性參數Op幾乎一致，說明了本文方法的可行性和準確性。Op應隨著偏心率的變化而平滑的變化，但從圖6、表1可以看出，偏心率e<0.2和e>0.6時，對數衰減法得出的Op有不規則變化。從表1可以看出：e<0.2時，2種方法的偏心率基本一致，Op發生了鋸齒形的變化；e>0.6時，對數衰減法的偏心率和Op都發生了不規則變化，潤滑油黏度很小時，對數衰減法就無法判斷出結果，因此其穩定性臨界曲線與本文方法對比時會缺少數據。偏心率e<0.2和e>0.6的區域是不穩定區域，但主要還是因為臨界轉速的判別失真造成的。同時也表明對數衰減法在這兩個區域的不適用性。

表1　數據分析

5結語

系統地介紹了對數衰減法的計算原理，指出了對數衰減法在非線性滑動軸承轉子系統的不足之處，并用穩定性臨界曲線說明了對數衰減法(包含變形的對數衰減法)在量綱一偏心率為0.2～0.6的范圍內能夠適用于非線性滑動軸承轉子系統，計算精度能夠滿足要求。

提出一種根據判斷軸心軌跡臨界區域寬度b來判斷臨界轉速的新方法，將對數衰減法和本文提出的圖形判別法進行了對比，并用穩定性臨界曲線驗證了方法的準確性，通過MATLAB編程準確搜尋出臨界轉速，且本圖形判別法不受潤滑油黏度、制造誤差等因素的影響，方法直觀、便捷。

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(編輯張洋)

收稿日期：2015-09-28

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51265004,50865001)

中圖分類號：TH16；TK263.61； TK263.64

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.021

作者簡介：王江輝，男，1987年生。廣西科技大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為滑動軸承轉子動力學。徐武彬，男，1966年生。廣西科技大學機械工程學院教授。李冰，女，1978年生。廣西科技大學機械工程學院副教授。李小磊，男，1987年生。廣西科技大學機械工程學院碩士研究生。

A New Method for Judging Criticat Speed of Nonlinear Bearing Rotor System

Wang JianghuiXu WubinLi BingLi Xiaolei

Guangxi University of Technology，Liuzhou，Guangxi，545006

Abstract：The theory of computation on discriminating the whirling speed and some shortcomings existing inside the nonlinear sliding bearing rotor system were introduced herein. The scope of the logarithmic decrement was pointed out,which was suitable for the stability critical curve dimensionless eccentricity between 0.2 and 0.6. A new method for judging the critical speed by MATLAB graphical programming was proposed, which was compared with the logarithmic decrement method.The results show that the graphic method to determine the critical speed is correct and the deficiency of the logarithmic decrement method is corrected.

Key words：logarithmic decrement； critical speed；nonlinear； bearing rotor system