基于準同步Prony的諧波和間諧波檢測算法

中國礦業大學（徐州） 山東能源棗礦集團供電工程處 張 浩

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基于準同步Prony的諧波和間諧波檢測算法

中國礦業大學（徐州） 山東能源棗礦集團供電工程處 張 浩

【摘要】針對傳統傅里葉變換在非同步采樣條件下存在頻譜泄露，以及諧波和間諧波在分析過程中相互之間存在干擾的問題，本文創新性地提出一種基于準同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony）。該算法首先使用基于頻移算法的準同步采樣技術，通過構造同步采樣序列，實現非同步采樣信號的準同步化。為了避免信號中諧波、間諧波之間的互擾問題，對頻移后的準同步序列使用梳狀FIR陷波型濾波器近一步分離。隨后采用Prony譜分析法，使用指數函數的線性組合來擬合采樣數據，并提取信號的頻率、幅值、相位等特征量。在不同強度的噪聲干擾環境下對比驗證了加窗插值FFT算法（WI-FFT）、準同步-梳狀濾波器分離-加窗插值FFT算法（QS-WI-FFT）、準同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony）的準確度。實驗結果表明QS-Prony法可以有效解決非同步問題，有效避免了諧波、間諧波之間的互擾，并且相比FFT算法具有較高的頻率分辨率。

【關鍵詞】諧波；間諧波；Prony算法；梳狀濾波器；Matlab

0　引言

當今社會越來越多的高科技設備采用新工藝，新技術，其對電源的敏感性也越來越高，因此社會對于電能質量的要求也越發的提高。但與此同時，隨著大量電力電子設備投入到電力系統中，其所具有的負荷非線性、非對稱性、沖擊性等特性向電力系統注入各種電磁干擾，對電力系統的電能質量和用戶設備的安全運行造成不良影響，甚至引發嚴重的安全生產事故。

目前諧波、間諧波的分析方法主要有傅里葉變換［1］，小波變換，基于瞬時無功功率理論的檢測法，現代譜估計法。快速傅里葉變換（ fast fourier transformation，FFT）由于其簡單、快速的優點，但是信號基頻變化導致非同步采樣時，會存在嚴重的頻譜泄露問題，影響諧波測量的準確性［2］；小波變換有較高的時頻分辨率，在波動快速、頻繁的諧波檢測方面具有較大優勢，但對噪聲敏感［3-4］；基于瞬時無功功率理論的檢測法在進行電流檢測時，不受電網波動的影響，檢測幾乎無延時，實時性很好，但由于該技術是針對電力有源濾波器開發出來的，因此它僅需或僅能得到三相電路的總諧波電流含量。現代譜估計法是一種新興的諧波檢測算法。現代譜估計算法的優點是：對有限的窄帶信號沒有頻率分辨率的限制，可以分析無限小頻率間隔的相鄰兩頻率成分。Prony算法將非線性問題轉化為了線性問題，具有更好的頻率分辨率，對于間諧波的分析具有廣闊的應用前景。

針對傳統傅里葉變換在非同步采樣條件下存在頻譜泄露，以及諧波和間諧波在分析過程中相互之間存在干擾的問題，創新性地提出一種基于準同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QSProny）。該算法首先使用基于頻移算法的準同步采樣技術，通過構造同步采樣序列，實現非同步采樣信號的準同步化。為了避免信號中諧波、間諧波之間的互擾問題，對頻移后的準同步序列使用梳狀FIR陷波型濾波器近一步分離。隨后采用Prony譜分析法，使用指數函數的線性組合來擬合采樣數據，并提取信號的頻率、幅值、相位等特征量。在不同強度的噪聲干擾環境下對比驗證了加窗插值FFT算法（WI-FFT）、準同步-梳狀濾波器分離-加窗插值FFT算法（QS-WI-FFT）、準同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QSProny）的準確度。

本文通過實驗結果驗證表明QS-Prony法可以有效解決非同步問題，有效避免了諧波、間諧波之間的互擾，并且相比FFT算法具有較高的頻率分辨率。

1　基于頻移的準同步方法

假設諧波信號模型為：

式中：f0是基波頻率，A0是幅值，是初相位。

進一步應用DFT求取x（n）頻譜時，相當于在頻域范圍內對等間隔抽樣N點，則峰值對應的頻率fm為：

圖1　意義的具體描述

式中，k0為采樣信號實際的頻率分布譜線，fs為采樣頻率。fm在實際情況中總是會偏移真實譜線的頻點，也就是說k0通常不是整數值。所以假設，其中k1是整數，是頻移量，δ的具體描述如圖1所示。

頻移條件判定：首先取k1為被測信號的離散頻點對應的一條峰值譜線，假如該峰值譜線鄰近的兩條峰值譜線k1+1、k1-1的幅值滿足：

那么就表明第k1+1條譜線峰值和第k1-1條譜線峰值相差很小，進一步說明被測信號的峰值譜線和同步采樣時的峰值譜線之間的頻域間隔相差很小，不需要頻移；相反假如兩條峰值譜線k1+1、k1-1的幅值滿足：

那么就表明第k1+1條譜線峰值和第k1-1條譜線峰值相差較大，進一步表明被測信號的峰值譜線和同步采樣時的峰值譜線之間的頻域間隔相差較大，需要校正被測信號，通過頻移，消除非同步采樣造成的誤差，實現準同步采樣。

頻譜搬移的頻移量為：

圖2　加窗頻移算法流程圖

2　梳狀FIR濾波器的設計

諧波與間諧波之間的相互干擾會進一步降低檢測結果的準確性，采用諧波、間諧波分離并分別檢測可以有效抑制互擾問題。本設計采用梳狀FIR濾波器將采樣信號中的諧波信號與間諧波信號進行分離。

由陷波濾波器的歸一化（Normalization）響應可知，采樣頻率必須為陷波帶間帶寬的整數倍，若不滿足此要求，經濾波后的信號會出現頻譜泄露現象，影響檢測精度。因此，梳狀濾波器必須在同步采樣前提下使用。

對生成的多項式F（ω）進行歸一化（Normalization）處理，可得到梳狀FIR濾波器的零相位傳遞函數Q（ω）：

則歸一化常量C為：

在濾波器設計過程中，實數階數n應取距離n值較近的偶數整數值，且此偶數整數值須大于等于n。變大的n值不會引起預設的陷波帶數目和陷波帶寬度改變，但是會影響通頻帶的增益。當對n進行近似處理后，通頻帶增益α［dβ］將會略微變小。濾波器的沖激響應h（m）中包含2nr+1個系數，其中有n+1個為非零量。

由以下公式評價濾波器的實際帶通衰減：

設計一個具有10個陷波帶數的等紋波梳狀濾波器，陷波帶寬度為，最大的通帶衰減為。綜合考慮諧波、間諧波的分離效果和階數對濾波器的影響，設計濾波器：，其中表示采樣點個數。設采樣序列經過準同步化后，采樣頻率變為10kHz，計算出的基波頻率為50.2Hz，則r =214。濾波器的仿真結果如圖3所示。

圖3　梳狀FIR濾波器沖激響應和幅頻響應

3　Prony譜分析算法

Prony譜分析法用一組指數函數的線性組合來擬合等間距采樣數值，其將自回歸思想或者自回歸滑動思想以及最小二乘法結合起來，來檢測被測信號的幅值、頻率以及相位。

構造表示擬合誤差值的目標函數為：

假設誤差平方和ε為最小，那么可以通過解非線性方程組，求取得到參數的值。但是這種方法計算過程非常復雜。Prony算法最為核心的思想就是可以把被測信號采樣序列通過式（9）擬合成求解一常數線性差分方程的齊次解。

式中，階數P是通過自回歸模型的奇異值分解來選擇的。通過求解式（11）得到zi（i=1,2,…，p），進一步推出：

根據式（12）可得矩陣方程Vb=x：

其中：

式（13）的最小二乘解為：

由bi（i=1,2,…，p）可得：

4　仿真結果

我們分別對目前廣泛采用的加窗插值FFT算法，基于準同步采樣的梳狀濾波加窗查值FFT算法，以及基于準同步采樣的梳狀濾波Prony譜分析法進行對比仿真分析。

（1）加窗插值FFT算法（WI-FFT）［5-7］，使用Hanning窗抑制頻譜泄漏，使用譜線插值算法減小柵欄效應，由FFT諧波測量公式計算各次諧波的參數。其程序算法框圖如圖4所示。

圖4　加窗插值FFT算法（WI-FFT）程序框圖

（2）基于準同步采樣-梳狀濾波器-加窗差值FFT算法（QS-WIFFT）［8］，使用頻移算法計算頻率偏移因子，形成準同步采樣序列。用時域平均法將諧波信號與間諧波信號進行分離，并使用加窗查值FFT算法對諧波、間諧波信號分別檢測。其程序算法框圖如圖5所示。

圖5　基于準同步采樣-梳狀濾波器-加窗差值FFT算法（QS-WI-FFT）程序框圖

（3）基于準同步-梳狀濾波器分離-Prony譜分析算法（QS-Prony），在上述算法（2）中分離的諧波、間諧波準同步序列的基礎上，采用Prony譜分析法擬合得到各次諧波的各項參數。其程序算法框圖如圖6所示。

設定電網諧波、間諧波信號模型為：（17）

表1　諧波、間諧波參數設定值

被測信號的頻率、幅值、相位參數設定值如表1所示，所設定的諧波，間諧波的頻率值，其整數倍數不等于采樣頻率，故本次采樣為非同步采樣［11］。

表2　WI-FFT、QS-WI-FFT、QS-Prony頻率仿真結果

表3　WI-FFT、QS-WI-FFT 、QS-Prony幅值仿真結果

表4　WI-FFT、QS-WI-FFT 、QS-Prony相位仿真結果

WI-FFT算法受非同步采樣的影響，無法精確檢測頻率、幅值、相位信息，QS-WI-FFT和QS-Prony均可較為精確地檢測各次諧波、間諧波信號。QS-Prony相較FFT算法可以實現較高的頻率分辨率，檢測結果符合IEC檢測標準，且比傳統的FFT改進算法具有更高的諧波、間諧波檢測精度。

5　結論

基于頻移算法的準同步諧波和間諧波檢測實現非同步采樣信號的準同步化，提高諧波和間諧波的分離精度。采用梳狀濾波的分離方法可以有效分離信號中諧波與間諧波信號，實現兩者的分別檢測。Prony譜分析法用一組指數函數的線性組合來擬合等間距采樣數值，相較FFT算法可以實現較高的頻率分辨率，實現了更高的檢測精度。

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作者簡介：

張浩（1979—），山東棗莊人，畢業于哈爾濱理工大學，中國礦業大學在職研究生，現從事煤礦供電技術的研究工作。

Harmonic and interharmonic detection algorithm based quasi-synchronous Prony technique

Abstract：For the spectral leakage problem of traditional Fourier transform under non-synchronous sampling，and for the interference problems between the harmonic and inter-harmonic，this paper innovatively puts forward a method called quasi-synchronous-comb filter-Prony spectrum algorithm（QSProny）.In this algorithm，the frequency shift method is used to realize the quasi-synchronization of asynchronous sampling signals.In order to avoid the mutual interference between harmonics and inter-harmonics，this quasi-synchronization sequence is further separated by the FIR notch filter.Then，the linear combination of exponential function is utilized by the Prony spectral analysis method to fit the sample data，and the frequency，amplitude and phase of the signal were extracted by using this process.Through the comparison of windowed interpolation FFT algorithm（WI-FFT），quasisynchronous-comb filter separates-windowed interpolation FFT algorithm（QS-WI-FFT）and quasi-synchronous-comb filter separates-Prony spectrum analysis method under different noise environment，it shows that the QS-Prony method can effectively solve the problem of non-synchronization，avoiding the mutual interference problems between harmonic and inter-harmonic effectively.In addition to this，this algorithm has higher frequency resolution compared with the FFT algorithm.

Key words：Harmonic；Inter-Harmonic；Prony algorithm；Comb filter；Matlab