談“相關變化率問題”的求解

歐平 羅佳生

（張家界航空工業職業技術學院）

談“相關變化率問題”的求解

歐平 羅佳生

（張家界航空工業職業技術學院）

本文闡述了相關變化率的應用及求解方法，并舉例說明了相關變化率問題的求解。

導數；相關變化率；求解

我們知道，函數在某一點處的導數即函數在該點處的瞬時變化率，也就是平均變化率的極限。微分學研究變化率的問題，它使人們能夠定義曲線的切線斜率，計算運動著的物體的速度和加速度，求得炮彈能達到其最大射程的發射角。在工業的經營管理中，計算邊際成本和邊際收入等等。變化率問題已經廣泛地應用在各個領域中。用一個能直接求得的變化率來求一個不能直接求得的變化率的問題，稱為相關變化率問題。如下例：

例1設以10m3/s的速率將氣體注入球形氣球內，當氣球半徑為4m時，氣球表面積的變化速率是多少？

對學生而言，解決相關變化率應用問題的困難依次在于：把實際問題用數學語言翻譯為明確的數學問題，然后來求解這個數學問題。為幫助學生解決這些難題，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，本文指出相關變化率問題的求解方法和要點，并舉例說明。

相關變化率問題的求解方法。

第一步：設出與問題有關的變量及函數，畫出示意圖。

第二步：寫出已知的數值信息及所求的量（通常是用導數表示的變化率）。

第三步：找出變量之間的關系公式（通常是客觀存在的關系或問題中已知的關系）。

第四步：對上述關系式求導（把所求的變化率用已知其值的變化率和變量表示出來）。

第五步：代入求值并解釋。

例1解：第一步：設t表示時間，r（t）表示氣球半徑，V（t）表示氣球的體積，S（t）表示氣球的表面積。

第三步：變量之間的關系式

得：

例2正在追逐一輛超速行駛汽車的一輛警察巡邏車從北向南駛向一個直角路口，超速汽車已拐過路口向東駛去。當巡邏車離路口向北0.6英里而汽車離路口向東0.8英里時，警察用雷達確定了兩車之間的距離正以20英里/h的速率在增長。如果巡邏車在該測量時刻以60英里/h的速率行駛，試問該瞬間超速汽車的速率是多少？

解第一步：設 t表示時間，x（t）表示時刻 t汽車的位置，y（t）表示時刻t巡邏車的位置，s（t）表示汽車與巡邏車之間的距離，如圖1所示。

第二步：已知 x（t）=0.8 英里，y（t）=0.6 英里時，=20英里/h。求

圖1

第三步：變量之間的關系式

第四步：求導

第五步：代入求值

解釋：該瞬間超速汽車的速率是70英里/h。

[1]同濟大學，天津大學，浙江大學，重慶大學，等.高等數學.高等教育出版社，2002，8.

[2]geogre B thomas等著.葉其孝，等譯.托馬斯微積分.高等教育出版社，2003，5.

O172.1

A

1004-7344（2016）12-0272-01

2016-4-10