一種基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的圖像加密算法*

潘靈剛　周　千　張　蒙

(西安航空學院理學院　西安　710077)

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一種基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的圖像加密算法*

潘靈剛周千張蒙

(西安航空學院理學院西安710077)

摘要提出一種新的基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的圖像加密算法。該算法設計簡單、運算快速、解密準確，避免了常用置亂變換算法固有的缺陷及密碼強度的不足，具有很高的安全性。

關鍵詞混沌; Logistic映射; 圖像加密; Bernoulli移位映射

Class NumberTP391

1引言

隨著信息技術的快速發展，圖像安全越來越受到人們的普遍關注。對于圖像加密方法，經常采用置亂技術法,主要有Arnold變換、幻方變換、Gray碼法等[1～4]。總體而言，基于置亂技術的圖像加密技術可以等效為對圖像矩陣進行有限步的初等矩陣變換，即設法另行排列各像素點從而加密圖像，但各像素點灰度值在排列過程中卻并未發生相互聯系[5]。但置亂技術由于其算子具有周期性，并且密鑰和算法未有效分離，所以它與密碼學Kerckhoffs準則不符[6～7]。另外，這種排列變換還時常因為圖像的自相似性等特性導致加密失敗[1]。如何保護數據量大、高冗余度的圖像的安全性,成為密碼學研究的熱門課題[8]。針對上述各種置亂算法的不足以及圖像自身特點，本文所提圖像加密算法構造簡單，運算速度快，并且能準確地解密，既實用，又安全。

2算法描述

2.1背景知識

2.1.1混沌系統

混沌現象是一種貌似無規則的運動，是在確定論系統中出現的類似隨機的行為過程[9]，其存在于不可積分的非線性系統中。混沌具有拓撲傳遞性，并且具有對初值敏感的性質，即初始狀態只要有微小的差別的兩個同構混沌系統在較短的時間后就會產生兩組完全不同的、互不相關的混沌序列[10]。混沌信號包含周期性和隨機性，可以用來產生符合安全性要求的序列密碼[11]。此外，混沌對參數與初值非常敏感則意味著密碼對密鑰的敏感性，因而混沌加密算法如果構造合理就會非常簡單。

本文提出了一種基于Logistic映射和Bernoulli移位映射的一個二次加密系統。兩種映射如下所述：

2.1.2Logistic映射

Logistic映射的定義如下：

xn+1=f(xn,μ)=μxn(1-xn)

式中μ為控制參數，且0≤μ≤4，x∈[0,1]。當參數μ在(μ∞,4]區間中取值時(其中μ∞=3.57)，Logistic映射就會出現混沌。即當μ>3.57=μ∞時，Logistic映射生成的時間序列像在區間[0,1]上具有隨機成分，并且μ在接近4的范圍內長成的混沌序列的隨機成分較強[12]。

2.1.3Bernoulli移位映射

Bernoulli移位映射定義如下：

xn+1=axn(mod1)

式中，a為正整數，xn∈(0,1)，n=0,1,2…。當a>1時，該映射的Lyapunov指數為lna>0,且模運算使迭代序列有界，所以該映射是混沌的[13]。

2.2加密原理

若{Pn}表示明文，{Kn}表示密鑰，{Cn}表示密文，那么基于混沌的加密算法為

{Cn}={Pn}⊕{Kn}

而解密算法就是：

{Pn}={Cn}⊕{Kn}

2.3算法流程

步驟1:數字圖像P是m×n(m是P的行像素數,n是P的列像素數)的矩陣,將矩陣的元素值轉成二進制,得到m×n階矩陣P′。

步驟3：利用Bernoulli移位映射xn+1=axn(mod1)生第二個混沌加密矩陣K2。

步驟4:矩陣P′的元素與圖像二進制像素值元素一一對應,將矩陣P′的元素P′[i,j]與加密矩陣K1,K2的元素作兩次位異或運算,得到矩陣C(其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)。

步驟5:C是一個m×n的矩陣,對矩陣C的元素值進行十進制轉換得C′矩陣，即為加密后的圖像。

和加密算法一樣，解密算法只需要把步驟1中的圖像P換成加密后的圖像C′，并將加密時兩映射的順序互換，則由步驟4得的圖像就是原圖像，這樣就可以實現解密了。

3實驗結果

本文用Matlab程序實現了加密/解密算法，將Lena圖像用算法程序加密與解密，結果如圖1所示。

圖1　算法對Lena圖像的加解密結果

4算法特點與安全性分析

4.1算法優點

由圖1可見,加密后的圖像與原圖像直方圖完全不一樣,正確密鑰解密的圖像與原圖一樣，而錯誤的密鑰解密會得到與原圖像沒有關系的圖像。利用本算法進行加密已完全改變了原圖像的像素值,而不是像置亂算法那樣只是將原圖像像素重新排列,這樣才真正對圖像進行了加密。由于算法采用了取模運算,避免了因機器原因產生解密誤差。同時,按位進行異或運算是一種可逆運算,要解密只要再進行一次異或運算即可。本算法采用了雙映射加密,這樣大大提高了密鑰量,是單個映射的兩倍或者更多,不僅要確定各個初值和參數,同時還必需確定兩映射的加密次序,當然我們可以也通過來回進行交叉加密來提高密鑰量。

4.2安全性分析

利用上述算法對圖像進行加密,這里采用的密鑰是：對于Logistic映射，μ=3.99,x0=0.61032；對于Bernoulli移位映射，a=999,x0=0.70331。由圖1(b)看出，加密后的圖像分辨不出人物或其輪廓,從而無法得知密鑰，破譯加密圖像就非常困難。加之混沌序列對初始值的敏感性,即使密鑰稍有變化也會導致解密失敗。如圖1(d)其解密密鑰為μ=3.99，x0=0.61031,a=999,x0=0.70331，偏差雖小，但卻與原圖毫無關系。若想得到正解而用唯密文攻擊,因為算法有四個參數，所以要搜索的密鑰量高就相當之高，除了兩個初值x0，還必須確定正確的μ，a。如若圖像數據量加大,那么密鑰量也就更加龐大,故算法足以抵御唯密文的攻擊。對比圖1(e)(f),因為加密圖像的灰度分布與原圖灰度分布完全不同,所以想從灰度直方圖窺測圖像內容是不可能的。最后,為了提高保密程度,也可以通過變換兩映射的加密次序和增加加密次數來提高安全性。

5結語

本加密算法基于Logistic映射和Bernoulli移位映射兩個混沌系統，算法中初值條件、Logistic映射參數、Bernoulli映射參數都可當密鑰，初值的選取在一定程度上是隨機的，并且選取初值時范圍大、解密密鑰對初值也非常敏感，因而系統的保密性能非常高，預期效果也非常好。相比而言本算法優點有加密算法簡便、加密速度快、加密效果好，并且實用性很強。

參 考 文 獻

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收稿日期:2016年1月10日,修回日期:2016年2月20日

基金項目:陜西省教育廳專項科研計劃項目(編號：15JK1379)資助。

作者簡介:潘靈剛,男,碩士,助教,研究方向：圖像處理。周千,男,碩士,講師,研究方向：圖像處理。張蒙,男,講師,研究方向：數學教學與數學建模。

中圖分類號TP391

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.07.033

An Image Encryption Algorithm Based on Logistic Map and Bernoulli Shift Map

PAN LinggangZHOU QianZHANG Meng

(School of Science, Xi’an Aeronautical University, Xi’an710077)

AbstractOn the basis of Logistic map and Bernoulli shift map, a new image encryption algorithm is presented. In this algorithm the computational speed is fast because of simple design. At the same time,it could decrypt cipher text accurately. The algorithm also avoids inherent defects and inadequateness of cryptological intensity of other algorithms adopting permutation transform and thus has super security.

Key Wordschaos, Logistic mapping, image encryption, Bernoulli shift mapping