整體最小二乘算法及測量應(yīng)用研究綜述

郭金運，徐曉飛，沈　毅

(山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

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整體最小二乘算法及測量應(yīng)用研究綜述

郭金運，徐曉飛，沈毅

(山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

摘要：近30年來整體最小二乘法(TLS)被廣泛應(yīng)用于通信、大地測量與攝影測量以及圖像處理等領(lǐng)域，成為測量數(shù)據(jù)處理的新方法。本文根據(jù)整體最小二乘法的基本思想，分析了基于奇異值分解與拉格朗日逼近的解算方法，總結(jié)歸納了加權(quán)整體最小二乘、混合整體最小二乘、帶有約束的整體最小二乘以及病態(tài)情形下的整體最小二乘解算方法，綜述了整體最小二乘在測繪領(lǐng)域的應(yīng)用,補充了測量數(shù)據(jù)處理理論研究。

關(guān)鍵詞：整體最小二乘；EIV模型；系數(shù)矩陣；奇異值分解；數(shù)據(jù)處理

最小二乘法(Least Squares，LS)是經(jīng)典測量數(shù)據(jù)處理中最基本方法，該方法僅考慮觀測量的偶然誤差，可以得出最優(yōu)一致無偏估計[1]。在實際測量數(shù)據(jù)處理中，不僅觀測向量具有相應(yīng)的隨機(jī)模型，而且系數(shù)矩陣也常常含有誤差，這種情況下使用LS得到的解是不準(zhǔn)確的。因此，如何解決觀測量與系數(shù)矩陣同時存在誤差的問題，是測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域的難點之一。目前，處理這類問題最常用的方法是整體最小二乘法(Total Least Squares，TLS)。

TLS是近30年發(fā)展起來的能解決觀測量與系數(shù)矩陣同時存在誤差的一種數(shù)據(jù)處理方法。Gloub與Van Loan[2]于1980年在數(shù)值分析領(lǐng)域提出TLS的概念?；谄娈愔捣纸?，他們對這個問題進(jìn)行了分析，并設(shè)計了相應(yīng)算法。盡管在測量領(lǐng)域進(jìn)行TLS研究是從20世紀(jì)90年代開始的，但是結(jié)合本領(lǐng)域?qū)嶋H測量問題也獲得了十分豐富的研究成果[3]。

本文總結(jié)和分析整體最小二乘法及其解算方法，歸納其在測量實際中的應(yīng)用，并對今后整體最小二乘法在測量中的應(yīng)用做了進(jìn)一步展望。

1經(jīng)典TLS問題及其解算方法

一個簡單的隨機(jī)誤差EIV(Error-In-Variable)模型[4]可定義為：

函數(shù)模型：

L=(A-EA)X+el；

(1)

隨機(jī)模型：

(2)

在同方差的條件下，令

QL=In，QA=Imn

可得

(3)

經(jīng)典TLS問題，就是求解下列約束優(yōu)化問題[2,5]：

(4)

L-el∈Range(A-EA)。

(5)

1.1基于奇異值分解的算法

為了解決TLS問題，可將式(1)中的EIV模型改寫為[6]：

(6)

(7)

(8)

對上述SVD分解后的矩陣進(jìn)行分塊，即：

(9)

(10)

在式(7)的約束條件下，根據(jù)Echart-Young-Mirsky矩陣逼近定理[7]，可得調(diào)整后的矩陣：

(11)

由式(8)和式(11)，可得出滿足式(4)的最小誤差矩陣E，即：

(12)

一個最小二乘解是存在且唯一的，當(dāng)且僅當(dāng)V22≠0，σn≠σn+1。在整體最小二乘解存在且唯一的條件下，未知參數(shù)的最佳估值為[2]：

(13)

那么整體最小二乘的奇異值分解(SVD)解算步驟為：

1)給出EIV模型：L=(A-EA)X+el；

1.2基于傳統(tǒng)Lagrange逼近的解算算法

求解TLS問題，使用最廣泛的方法就是基于以下目標(biāo)方程[8]：

(14)

使得

L-el-AX+EAX=0；

(15)

由上述TLS問題的目標(biāo)方程，可得Lagrange函數(shù)：

(16)

其中：

(17)

其中，算子?表示Kronecker積。

相應(yīng)的Euler-Lagrange必要條件為：

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(19)

綜合上述各式，易得調(diào)整后的誤差矩陣：

(20)

(21)

因此目標(biāo)方程(14)可以改寫為：

(22)

將式(19)和(21)代入式(18d)，可得[8]

(23)

(24)

(25)

通過等式(25)，可得

(26)

通過聯(lián)立等式(13)和(26)，得到了特征值問題(EVP)：

(27)

(28)

為了解決TLS問題，將式(23)改寫為[6]：

(29)

使用迭代法解決上述TLS問題，解算步驟為：

2)用1)的解作為初始值進(jìn)行迭代：

2擴(kuò)展的TLS

2.1加權(quán)整體最小二乘法

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，加權(quán)整體最小二乘法(theWeightedTotal-LeastSquares，WTLS)的EIV模型為：

L=(A-EA)X+el，

(30)

且

(31)

這里P0為系數(shù)矩陣的列向量權(quán)陣，PX為系數(shù)矩陣的行向量權(quán)陣。

在上述條件下計算加權(quán)整體最小二乘解，可得目標(biāo)方程[4]：

(32)

使得：

(33)

為了表達(dá)出條件(26),對誤差矩陣矢量化，使用了恒等式：

(34)

由傳統(tǒng)的Lagrange逼近，可以得到以下的目標(biāo)方程：

(35)

這里λ是一個n×1維的Lagrange算子，為了計算它的不動點，利用Euler-Lagrange條件[6,9-12]：

(36a)

(36b)

(36c)

(36d)

實際上，既然有足夠條件求解上述等式，那么其解就是要求目標(biāo)方程(32)的最小值。對目標(biāo)方程求二階導(dǎo)數(shù)，可以得到Hessian矩陣[10]：

(37)

其為正定矩陣，因此解必然存在。

由(36a)和(36b)可得：

(38)

(39)

(40)

將(38)、(39)帶入(40)中，可得：

(41)

因此：

(42)

將(42)重新帶入式(38)和(39)中，可得：

(43)

(44)

(45)

其中

(46)

(47)

將式(43)和(44)重新代入目標(biāo)方程，可以得到加權(quán)殘差的平方和：

(48)

相應(yīng)的單位權(quán)方差估值為：

(49)

其中，r是指多余觀測或自由度：

(50)

WTLS問題的迭代解法為：

2.2附有約束條件的整體最小二乘法

在建立整體最小二乘模型中，認(rèn)為未知的參數(shù)都是相互獨立的。但是實際中，參數(shù)估計中遇到存在約束條件的情況，這時引進(jìn)帶有約束條件的整體最小二乘法(theTotalLeastSquareswithConstrains)，將最初的模型(1)加上線性跟二次約束，就變成了以下的帶有線性跟二次約束的EIV模型[4,13]：

(51)

(52)

必要的Euler-Lagrange條件方程為：

(53a)

(53b)

(53c)

(53d)

(53e)

(53f)

令：

(54)

通過使用(53b)和(53c)的結(jié)果，可以得到：

(55)

將(53d)跟(55)聯(lián)立，可得：

(56)

其中：

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

其中：

可以看出，修正后的特征方程存在多解，需要求如下隱性特征值問題(IEVP)[4]：

(62)

殘差平方和(the sum of squared residuals，SSR)為：

(63)

單位權(quán)方差估計公式為：

(64)

對于帶有線性約束的TLS問題，則解算步驟為：

2)

對于帶有一個二次約束的TLS問題，則解算步驟為：

2)

對于帶有線性跟二次約束的TLS問題，則解算步驟為：

1)

2)

2.3混合整體最小二乘法

實際的線性參數(shù)估計當(dāng)中，系數(shù)矩陣部分是由觀測值組成，即系數(shù)矩陣只有部分存在誤差，要解決這類問題就要用到混合整體最小二乘法(LS-TLS)[14]：

估計數(shù)據(jù)矩陣誤差和觀測向量誤差，可以得出LS-TLS問題的函數(shù)模型：

(65)

因此，求解上述LS-TLS方法可表示為求解以下帶有約束的優(yōu)化問題：

(66)

約束條件為

L-el∈Range(A2+EA2)

式(65)可以改寫為：

(67)

(68)

其中，tr表示矩陣的跡。

(69)

(70)

R11X1+R22X2≈R1L；

(71)

R22X2≈R2L；

(72)

(73)

其中

(74)

(75)

于是TLS解為：

(76)

(77)

2.4病態(tài)整體最小二乘問題

在EIV模型中，如果系數(shù)矩陣的條件數(shù)特別大，即使很小的觀測誤差，也會使待估的參數(shù)嚴(yán)重偏離真值。為了解決這種病態(tài)的整體最小二乘模型，可以使用Tikhonov正則化理論[15-16]。根據(jù)最小二乘正則化模型，整體最小二乘的Tikhonov正則化模型可表示為[17]：

(78)

使得

(79)

(80)

其中，δ為一任意小常數(shù)，M通常為約束矩陣。存在一個參數(shù)λ，使得(79)的解滿足：

(81)

其中，λ就是整體最小二乘的正則化因子。在文獻(xiàn)[17]中，整體最小二乘的正則化解滿足：

(82)

(ATA+λIMIn)X=ATL。

(83)

其中，λIM=λI+λM。

因此可得到病態(tài)TLS問題正則化的迭代解算方法：

3測量應(yīng)用

TLS在信號處理、圖像處理等眾多領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用[18]。TLS自20世紀(jì)80年代起，在數(shù)值計算領(lǐng)域得到廣泛研究，但是由于其計算過程復(fù)雜，大都是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)，因此在測量領(lǐng)域沒有得到廣泛應(yīng)用。在測量領(lǐng)域TLS是從20世紀(jì)90年代開始得到逐步應(yīng)用的[3]。

在測量中，TLS的主要研究領(lǐng)域有：在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，針對傳統(tǒng)的G-M模型并沒有考慮系數(shù)矩陣誤差[19-20]，學(xué)者們陸續(xù)開始進(jìn)行基于TLS的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換研究。文獻(xiàn)[21-22]研究了等權(quán)觀測條件下普通整體最小二乘法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用；在相關(guān)觀測或不等權(quán)條件下，文獻(xiàn)[9,23-24]研究了基于加權(quán)整體最小二乘法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。考慮到直線擬合中，自變量和因變量都可能存在誤差，且設(shè)計矩陣時因部分?jǐn)?shù)據(jù)是準(zhǔn)確的，因此文獻(xiàn)[25]研究了等權(quán)條件下基于混合整體最小二乘的直線擬合；針對實測數(shù)據(jù)中的粗差或異常值，文獻(xiàn)[26]提出了穩(wěn)健整體最小二乘的直線擬合?？紤]到實際測量中數(shù)據(jù)點坐標(biāo)在x，y，z三個方向上都會存在誤差，文獻(xiàn)[27]研究了基于整體最小二乘法的空間直線擬合。在利用標(biāo)靶球方法完成點云配準(zhǔn)時，由于點云數(shù)據(jù)存在誤差，因此系數(shù)矩陣同樣會存在誤差，文獻(xiàn)[28]提出了基于整體最小二乘的標(biāo)球定位方法。在空間后方交會解算中，控制點的像片坐標(biāo)和地面坐標(biāo)都會存在誤差，文獻(xiàn)[29]在等權(quán)觀測條件下研究了整體最小二乘在空間后方交會解算當(dāng)中的應(yīng)用。在利用邊長變化反演應(yīng)變參數(shù)時，針對LS方法并沒有顧及測線方位角量測誤差的問題，文獻(xiàn)[30-31]在系數(shù)矩陣不含有常數(shù)列的情況下研究了基于整體最小二乘法的應(yīng)變參數(shù)反演。顧及觀測站數(shù)目較少和觀測噪聲較大對定位效果有很大影響的特點，文獻(xiàn)[32]基于正則約束整體最小二乘研究了無源測角定位的新算法。在GNSS高程擬合中，針對LS方法并沒有考慮高程異常值誤差的問題，文獻(xiàn)[33-34]分別在等權(quán)跟不等權(quán)情況下，研究了整體最小二乘法在GNSS高程擬合中的應(yīng)用。顧及可量測影像的定位定姿觀測方程中系數(shù)矩陣存在誤差且不等權(quán)的情況，文獻(xiàn)[35]研究了基于加權(quán)整體最小二乘的可量測序列影像定位定姿算法。針對遙感圖像配準(zhǔn)的控制點選取過程中也會存在誤差，文獻(xiàn)[36]研究了基于加權(quán)整體最小二乘法的無人機(jī)影像配準(zhǔn)。

4結(jié)束語

由于在測量領(lǐng)域存在大量觀測向量跟系數(shù)矩陣都存在著誤差的情況，因此20世紀(jì)80年代出現(xiàn)的TLS方法在這些情況下得到了成功的應(yīng)用。故要深入研究TLS在測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域的應(yīng)用，完善測量平差理論體系，得出更加精確的估值。

測量上的病態(tài)問題主要表現(xiàn)為解的不穩(wěn)定性，即觀測值或系數(shù)矩陣微小的誤差都會使解產(chǎn)生很大變化。某些控制網(wǎng)平差、大地測量反演、攝影測量中內(nèi)外方位元素的解算等方面都是測量中典型的病態(tài)問題[37]，在這些情況下TLS方法得出的解是不準(zhǔn)確的，因此如何用正則化方法或者截斷奇異值方法來解決這些測量上的病態(tài)問題，這是在今后大地測量數(shù)據(jù)處理中該重點考慮的。測量平差中，觀測誤差還可能含有粗差，粗差是不服從高斯分布的[38]。如果考慮粗差的存在，按TLS方法得到的解將遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真值，影響數(shù)據(jù)處理的質(zhì)量。因此，在測量中考慮粗差的時候，如何使用抗差整體最小二乘還需要進(jìn)行深入研究。

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(責(zé)任編輯：高麗華)

收稿日期：2016-03-11

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(41374009,40974004,40974016)；山東省自然科學(xué)基金項目(ZR2013DM009)；國家科技基礎(chǔ)性工作專項(2015FY310200)

作者簡介：郭金運(1969—)，男，山東巨野人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事空間大地測量、海洋大地測量和物理大地測量等方面的研究工作.E-mail:jinyunguo1@126.com

中圖分類號：P207+.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)04-0001-12

Review on Total Least Squares Methods and Applications in Surveying

GUO Jinyun, XU Xiaofei, SHEN Yi

(College of Geomatics, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590, China)

Abstract:In recent 30 years, the total least squares (TLS) method, a new method for surveying data processing, has been widely applied in telecommunications, geodesy, photogrammetry and image processing. According to the basic theory of TLS, the solutions based on the singular value decomposition and the Lagrange approach were analyzed. Methods to solve the weighted TLS, mixed TLS, the TLS with constraints, and the ill-posed TLS were summarized. Finally, the applications of TLS in surveying were expounded in detail, and the survey data processing theory was complemented.

Key words:total least squares；error-in-variable model；coefficient matrix；singular value decomposition；data processing