基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的濾波*

步衍瀚　王平波

(海軍工程大學(xué)　武漢　430033)

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基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的濾波*

步衍瀚王平波

(海軍工程大學(xué)武漢430033)

摘要分?jǐn)?shù)階傅里葉變換是一種較好的濾波處理工具。利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行濾波處理是基于時(shí)頻平面旋轉(zhuǎn)的信號(hào)濾波方法，即將信號(hào)在時(shí)頻平面上旋轉(zhuǎn)特定的角度，使得信號(hào)在新的時(shí)頻平面上退化為單頻正弦信號(hào)。基本思路是利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)分離，從而達(dá)到抑制噪聲的目的。分離出的信號(hào)通過對(duì)時(shí)頻平面的反向旋轉(zhuǎn)，恢復(fù)出原信號(hào)。通過對(duì)算法的分析論證，分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波算法性能優(yōu)于其他濾波算法。仿真結(jié)果表明，該方法不僅效果明顯，而且信號(hào)失真小。和其它濾波算法相比，計(jì)算復(fù)雜度低更容易實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞分?jǐn)?shù)階傅里葉變換； 信號(hào)處理； 濾波

Class NumberTN911

1　引言

對(duì)于從事信號(hào)處理方面研究的工作者來說，濾波是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)過各種信道傳輸后，傳播的信號(hào)將不可避免地混有噪聲[1]。從時(shí)頻域上分析，經(jīng)典的濾波方法大都只是從時(shí)域或頻域上入手進(jìn)行信號(hào)分離，但由于很多信號(hào)是寬帶信號(hào)，在時(shí)頻域上都有較強(qiáng)的耦合，使得經(jīng)典的濾波方法難以實(shí)現(xiàn)有效的濾波[2]。

近年來，被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域的一種工具——分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)，成為濾波處理的一種實(shí)用好用的方法[3]。目前隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的深入研究，基于分?jǐn)?shù)階傅里葉域的濾波技術(shù)日趨成熟。下文中將對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉域與傳統(tǒng)的時(shí)頻域做一個(gè)形象的論述，對(duì)于初次接觸分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的研究者來說會(huì)有所幫助。

從分?jǐn)?shù)階傅里葉域與時(shí)域頻域之間的關(guān)系來看分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換[3]，同時(shí)反映了信號(hào)在時(shí)域、頻域的信息。它和常用的二次型時(shí)頻分布不同的是，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換用單一變量表示時(shí)頻信息且沒有交叉項(xiàng)。與傳統(tǒng)傅里葉變換相比，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換更適合處理非平穩(wěn)信號(hào)，尤其是線性調(diào)頻信號(hào)[4]。利用線性調(diào)頻信號(hào)在不同階數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉域呈現(xiàn)不同的能量聚集特性，通過對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉域進(jìn)行峰值二維搜索，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)[5]。基于此本文做出這方面的仿真實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)傅里葉變換濾波做了對(duì)比，可以很好的看出濾波效果更好。

2　分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本定義

2.1分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義

作為傅里葉變換的廣義形式，p階傅里葉變換可以看做信號(hào)在時(shí)頻域上坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)pπ/2角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的表示[6]。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為π/2時(shí)即為傅里葉變換。如圖1所示。

圖1　分?jǐn)?shù)階Fourier域(u，v)

在t域的函數(shù)x(t)的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義為

(1)

(2)

(3)

其中p≠2n。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的逆變換為

(4)

2.2從時(shí)域和頻域到分?jǐn)?shù)階傅里葉域

下面用直觀的表述方法來分析分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，對(duì)初接觸這一領(lǐng)域的研究人員來說更易理解。信號(hào)可以展開成n組正弦波的疊加[7]，其時(shí)域頻域圖像如圖2。

傳統(tǒng)傅里葉變換從時(shí)域旋轉(zhuǎn)π/2角度后到頻域的變換。結(jié)合圖2和圖1，p階傅里葉變換就是時(shí)頻域旋轉(zhuǎn)角度為pπ/2構(gòu)成的新的(u，v)域。

2.3分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的性質(zhì)

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本性質(zhì)有線性、酉性、階數(shù)可加性、交換性、結(jié)合性等。其中一個(gè)重要性質(zhì)是階數(shù)可加性(又稱旋轉(zhuǎn)可加性)，如0.3階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的0.5階變換是0.8階變換。而p階的-p階變換即為原信號(hào)。基于此我們?cè)趐階分?jǐn)?shù)階傅里葉域做完濾波處理再進(jìn)行-p階變換，得到的便是濾波后的信號(hào)。

圖2　時(shí)域和頻域(t,ω)

2.4信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換分布圖

設(shè)一初始頻率為100Hz，截止頻率為200Hz，脈寬0.1s的線性調(diào)頻信號(hào)。經(jīng)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換Matlab仿真，該信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域上的分布如圖3所示。

圖3　信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的分布

其中采樣頻率為1000Hz，采樣點(diǎn)取100，當(dāng)p=0.83時(shí)信號(hào)能量聚集最大。

3　分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波原理和步驟

以線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)為例，設(shè)被觀測(cè)信號(hào)為混有加性高斯白噪聲的LFM信號(hào)。其表示為

x(t)=s(t)+ω(t)

=a0exp(jπm0t2+j2πf0)+ω(t)

(5)

其中a0,m0,f0為未知參數(shù)，ω(t)為加性高斯白噪聲。a0為其包絡(luò)函數(shù)，m0是線性調(diào)頻率，f0為初始頻率。濾波算法的第一步是進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，檢測(cè)含有未知參數(shù)的LFM信號(hào)基本思路是以旋轉(zhuǎn)角α為變量做二維掃描，形成(a,u)二維平面，在此平面上對(duì)各峰值做遮隔處理。其檢測(cè)和估計(jì)過程可以描述為

(6)

其中：

(7)

雖然檢測(cè)方法看上去較為直觀，但實(shí)際操作起來會(huì)面臨著一些問題：比如當(dāng)參數(shù)精度要求較高時(shí)，必須選擇較小步長(zhǎng)，這會(huì)大大增加運(yùn)算量及計(jì)算的復(fù)雜程度。文獻(xiàn)[8]中給出了一種兩級(jí)搜索的方法。首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)選用大的搜索步長(zhǎng)，采用較低的分辨率進(jìn)行直接搜索對(duì)參數(shù)進(jìn)行粗略估計(jì)；然后以這一估計(jì)值為初始值利用擬牛頓法進(jìn)行迭代搜索，得到精確估計(jì)。其過程為

(8)

其選取的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉域要遵循兩個(gè)原則：一是信號(hào)要有很好的聚集性，二是信號(hào)和噪聲盡量沒有耦合。

在得到參數(shù)估計(jì)之后，濾波算法的步驟如下：

1) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行p階FPFT，得到旋轉(zhuǎn)角度α0=pπ/2后信號(hào)表示為

Xp(u)=Sp(u)+Np(u)

(9)

其中Sp(u)為信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，Np(u)為噪聲的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。在u域上Np(u)一般不會(huì)出現(xiàn)聚集特性。

2)在u域上進(jìn)行尖峰遮隔處理：

=Sp(u)Mp(u)+Np(u)Mp(u)

(10)

其中Mp(u)是中心頻率為u0的帶通濾波器。選擇適當(dāng)?shù)膸捒梢杂行V除大部分噪聲能量。但由于帶寬越大信號(hào)兩端越平滑，較大帶寬濾波會(huì)形成一個(gè)鐘形脈沖。因此對(duì)等幅信號(hào)進(jìn)行濾波要想較好還原波形，帶寬選擇不宜過大。

3)對(duì)處理結(jié)果進(jìn)行p階反變換，便可得到濾波后的原信號(hào)。

4　仿真結(jié)果

設(shè)信號(hào)是一個(gè)混有均值為零的加性高斯白噪聲的單分量線性調(diào)頻信號(hào)，信噪比為-3dB。圖4(a)為原信號(hào)波形，圖4(b)給出了疊加噪聲后的波形。濾波過程如下：首先，對(duì)疊加信號(hào)在(a,u)平面進(jìn)行二維搜索，搜索范圍p=0～2(p=2α/π)，搜索步長(zhǎng)(間隔)0.01。得到峰值點(diǎn)p0=1.63和u0=279，(a，u)平面上其幅值分布如圖4(c)。然后，對(duì)疊加信號(hào)做1.63階FRFT變換，在u域上進(jìn)行窄帶通濾波(尖峰遮隔)，濾波前后u域幅值如圖4(d)、圖4(e)。最后，將濾波后的信號(hào)做1.63階的反變換，還原到時(shí)域波形便得到了除噪后的信號(hào)，見圖4(f)。

圖4　分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波處理

對(duì)比圖4(f)和圖4(a)，可以看出由于噪聲影響及濾波處理，還原的信號(hào)和原信號(hào)有一定的相位差，但這不影響信號(hào)中包含的信息：LFM信號(hào)的信息量在包含頻率中。

5　結(jié)語

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和其他時(shí)頻分析方法相比，計(jì)算量和復(fù)雜程度更低，實(shí)現(xiàn)起來更為簡(jiǎn)便[10]。分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波也可以說是一種最優(yōu)濾波方法，相對(duì)于其他方法設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單。本文介紹了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本概念以及對(duì)LFM信號(hào)的濾波方法，其基本思路是利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)信

號(hào)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)分離，從而達(dá)到抑制噪聲的目的。通過本文提出的方法可以有效進(jìn)行單分量LFM信號(hào)的濾波處理。另外本文直觀形象地用立體圖對(duì)比表述了時(shí)域頻域和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的關(guān)系，對(duì)初學(xué)者而言更容易理解和入門。通過仿真對(duì)比，本文提出的方法步驟簡(jiǎn)單明了，易于操作實(shí)現(xiàn)。

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*收稿日期：2015年10月28日,修回日期：2015年11月10日

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(編號(hào):4355163606)資助。

作者簡(jiǎn)介：步衍瀚，男，碩士研究生，研究方向：水聲信號(hào)處理。王平波，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：水聲信號(hào)處理。

中圖分類號(hào)TN911

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.04.010

Filtering Based on Fractional Fourier Transform

BU YanhanWANG Pingbo

(Naval University of Engineering, Wuhan430033)

AbstractFRFT(Fractional Fourier Transform) is a good filtering processing tool. Using FRFT to process the signal is a signal filtering method that based on the time-frequency plane rotary. From the signal in the time-frequency plane rotation specific angle, the signal is made degradation in the new time-frequency planefor single frequencysine signal to do processing, making signal-noise separation. A reverse rotation recovers the singal without noise. Through the argumentation and the simulation results, this method not only has obvious offect but also is simple, and has small amount of calculation. Compared with other fiteringalgorithm, this algorithm has low computation and is easy to implement.

Key Wordsfractional fourier transform, signal processing, filter