信號有效奇異值的數量規律及其在特征提取中的應用

趙學智 聶振國 葉邦彥 陳統堅

摘要： 針對信號的有效奇異值選擇問題，發現了有效奇異值和信號頻率個數之間存在重要聯系，研究結果表明有效奇異值數量由信號中的頻率個數決定，而與頻率大小及其幅值無關，只要信號所構造矩陣的維數大于信號中頻率個數的兩倍，則每一個頻率成分產生兩個有效奇異值。研究了噪聲干擾下有效奇異值的分布規律，發現隨著矩陣維數的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產生的奇異值則會被分離到有效奇異值之后。基于每一個頻率成分產生兩個奇異值這一特性，提出利用SVD提取由一個或多個特征頻率構成的特征信號時域波形，并將這一方法用于軸承和轉子振動的波形特征提取，其效果優于小波變換。

關鍵詞： 信號處理； 奇異值分解； 有效奇異值； 特征提取

中圖分類號： TN911.7； TH165+.3 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2016）03-0532-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.020

引 言

近年來，奇異值分解（Singular value decomposition， SVD）在振動模態[1]、心電信號[23]、聲發射信號[4]、機械故障診斷[56]、小波變換[7]、地球電磁場信號[8]等方面獲得了廣泛的應用。如Araujo等利用SVD中的左奇異向量來估計梁的振動模態[1]；Ahmed等將SVD和小波變換相結合用于心電信號的壓縮[2]；Jung WooHyuk等則利用SVD方法來提取心電信號的R波峰[3]；Samraj等利用SVD提取刀具聲發射信號的特征，用于對刀具磨損的監測[4]；Su Zhongyuan等將SVD和HilbertHuang變換相結合，用于對齒輪箱故障的識別和分類[5]；Cong Feiyun等提出了一種短時序列矩陣的SVD方法，用于軸承故障診斷[6]；此外，SVD對Morlet小波變換冗余數據的壓縮[7]和信號消噪[8]也有很好的效果。總的說來，在這些應用中，都會面臨著一個重要問題，那就是有效奇異值的確定問題，它決定著SVD的信號處理效果，但是這一問題從來沒有很好地解決。以信號降噪為例，其關鍵是選擇出合理的奇異值進行SVD重構，才能得到既消除了噪聲，又保留了原信號所有頻率信息的處理結果，然而對于一個有著特定頻率個數的信號，它到底有多少個有效奇異值的問題很少有人認真去研究過。文[9]在估計正弦信號的奇異值時，認為一個頻率對應一個奇異值，但這一結果值得商榷。此外更多的研究都是集中于利用奇異值進行各種運算得到一些特征點來確定有效奇異值，如差分譜法[10]、奇異熵法[11]、聚類法[12]等等，這些方法并沒有從根本上分析信號的有效奇異值個數問題，只是通過對奇異值序列進行不同運算得到一些特征點，由此來選擇有效奇異值，但是在實際應用中總是難以適應各種不同的情況。文[13]利用SVD來獲得彼此獨立的分量信號，文中討論了矩陣行數和列數對分量信號獨立性的影響，并認為矩陣行數大于15時可以獲得具有獨立性的一組分量信號。文[14]則將這種方法引入到軸承的故障診斷中，并分別采用大的奇異值和分量信號的能量作為神經網絡的輸入來識別軸承的故障。在這兩篇論文中均未涉及到奇異值數目和頻率個數的關系問題，也未涉及到單個頻率的分離問題，而這兩個問題是本文的研究核心。通過研究，發現了有效奇異值個數和信號所含頻率個數之間的內在關系，指出有效奇異值數目僅由頻率個數確定，而與頻率大小、頻率的幅值和相位無關，對于具有確定頻率個數的信號，明確地指出了其有效奇異值的數目；文中進一步分析了噪聲干擾下信號的奇異值分布規律，分析了頻率的幅值和奇異值大小的關系，這些結果為有效奇異值的選擇具有明確的指導作用。文中的研究結果還表明，利用頻率和奇異值的內在聯系，SVD還可對由一個或多個特征頻率構成的特征信號進行提取，這種時域波形特征提取不同于通常的SVD消噪，也和利用SVD的左右奇異向量的正交性實現對特征向量的正交化有本質不同。

4 結 論

有效奇異值的選擇一直是SVD研究中的一個重要問題，本文發現了有效奇異值個數和頻率數量的內在聯系，并分析了含噪信號的奇異值分布規律，這除了可為有效奇異值的選擇提供明確的依據外，還可以利用SVD實現對由單個或多個頻率構成的特征信號的時域波形進行提取。總結全文，可以得到如下結論：

（1） 在Hankel矩陣方式下，信號的有效奇異值數量只與信號中的頻率個數有關，而與頻率大小及其幅值和相位無關，每一個頻率成分總是最多只產生兩個非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對應的兩個奇異值也越大，且這兩個奇異值總是一前一后緊密排在一起不會分開。

（2） 對于含有r個頻率成分的含噪信號，只要其構造的Hankel矩陣的維數大于2r，則其有效的奇異值個數為2r，并且隨著矩陣維數的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產生的奇異值則會被分離到這2r個有效奇異值之后。

（3） 基于每個頻率產生兩個非零奇異值這一特性，可以利用SVD對由單個或多個頻率構成的特征信號的時域波形進行提取，提取的結果沒有相位滯后，是一種零相移提取方法。文中利用這種方法提取到了軸承振動的基頻波形，結果顯示這基頻振動幅值是逐漸增長的，并通過這一方法提取到了轉子系統由轉頻和二倍轉頻構成的時域波形以及各自單獨的時域波形，結果顯示了二倍轉頻振動先逐漸增大、后有所減小這一過程，這種特征提取效果遠優于小波變換。

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